2.10. Практическое применение законов Ньютона

Для того чтобы описать движение тела, нужно, прежде всего, установить, какие силы действуют на рассматриваемое тело, точнее – действие каких сил существенно. Например, для тела, соскаль­зы­ва­ю­щего по наклонной плоскости (рис. 2.7), существенно воздей­ствие со стороны Земли (оно характеризуется силой ) и воз­дей­­ствие со стороны плоскости (оно характе­ризу­ется силами нор­маль­ной реакции опоры и тре­ния ; векторную сумму этих двух сил часто называют силой реакции опоры).

Определив действующие на тело силы, записывают в векторной форме уравнение второго закона Ньютона. В нашем примере оно имеет вид

.

Далее нужно перейти от векторного уравнения движения к скалярным уравнениям – его проекциям на оси выбранной системы координат. При этом используются следующие свойства проекций:

• равные векторы имеют одинаковые проекции;

• проекция вектора, получающегося умножением какого-то другого вектора на скаляр, равна произведению проекции этого вектора на скаляр;

• проекция суммы векторов равна сумме проекций складываемых векторов.

Обычно для удобства одну из координатных осей направляют вдоль направления движения или направления ускорения. В нашем случае ось абсцисс удобно направить параллельно наклонной плоскости к ее основанию, а ось ординат – перпендикулярно ей вверх. Получим:

проекция на ось х:ma = mgsinF_тр

проекция на ось y: 0 = –mgcos+F_n

Учитывая (2.21), исключим силы трения и реакции опоры и получим:

ma = mg sin   kmg cos ,

откуда легко найти ускорение а.

2.11. Движение тела с переменной массой

Основной закон динамики поступательного движения (2.5) не предполагает постоянства массы движущегося тела. Масса тела может меняться в процессе движения в результате не только изменения скорости, но и за счет присоединения или отделения частиц (сматывание рулона бумаги или ткани, движение поливальной машины, самолета, ракеты и т.д.). Наиболее ярко этот эффект проявляется в реактивной технике. В этом случае система состоит из тела ракеты и вытекающего из его сопла газообразного продукта сгорания (рис. 2.8). Масса ракеты непрерывно уменьшается по мере расхода горючего топлива.

Пусть m и v – масса ракеты и ее скорость в момент времени t, а mdm и v+dv – те же величины в момент времени t+dt. Тогда согласно второму закону Ньютона:

(m–dm)(v+dv) + dm (v+dv + U) – mv = Fdt ,

где dm – масса выброшенных продуктов сгорания, U – скорость выброса частиц относительно ракеты, F - внешняя сила. Раскрыв в последнем уравнении скобки и поделив на dt, получим

m (dv/dt) = F – U (dm/dt). (2.23)

Уравнение (2.23) впервые получено И. В. Мещерским (1897 г.), профессором Петербургского университета, и носит его имя.

Слагаемое –U (dm/dt) в уравнении (2.23) обусловлено переменностью массы тела, имеет размерность и физический смысл силы и называется реактивной силой:

F_p =  U (dm/dt) . (2.24)

Из формулы (2.24) видно, что реактивная сила, возникающая при отделении или присоединении частиц, зависит:

• от быстроты изменения массы тела dm/dt (в случае присоединения частиц масса тела увеличивается, в случае отделения час­тиц масса тела уменьшается);

• от величины и направления скорости U, с которой частицы покидают тело или присоединяются к нему.

Реактивная сила, действующая на тело, совпадает по направлению с направлением U, если частицы присоединяются, и противоположна этой относительной скорости, если частицы отделяются.

Из уравнения (2.23) видно, что движение ракеты будет происходить и тогда, когда внешняя сила F =0, за счет только действия реактивной силы. Таким образом, ракета – единственный аппарат, способный приходить в движение и изменять его без опоры (без посредства внешней среды), а реактивный двигатель является единственно возможным двигателем космических снарядов и кораблей.