5.3.2. Физический маятник

Физическим маятником называется любое твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной оси, не совпадающей с его центром инерции (рис. 5.4). По аналогии с уравнением для математического маятника запишем уравнение для физического маятника:

=  mgl sin  , (5.24)

гдеm – масса маятника; l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции С маятника (рис. 5.4). Знак минус в выражение (5.24) имеет то же значение, что и в формуле (5.16).

В случае малых колебаний выражение (5.24) переходит в уже известное нам уравнение

. (5.25)

В данном случае

. (5.26)

Момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, можно представить в виде:

. (5.27)

Выражение (5.25) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Решение уравнения (5.25) имеет вид:

 = ₀ cos (₀ t +) . (5.28)

Из уравнения (5.28) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника. В соответствии с (5.26) период колебания физического маятника определяется выражением

. (5.29)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Из сопоставления формул (5.23) и (5.29) следует, что приведенной длиной физического маятника будет выражение

. (5.30)

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О на рис. 5.4).

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

5.4. Сложение гармонических колебаний

Векторное изображение колебаний облегчает и делает более наглядным решение ряда практически важных задач, в частности сложение нескольких колебаний одинаковой частоты.Если изображать колебания графически с помощью векторов, вращающихся с угловой скоростью ₀, равной собственной частоте колебания, то полученная таким способом схема, называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х (рис. 5.5). Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины А, образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ₀, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от А до +А, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:

х =А cos (₀ t +).

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание, амплитуда которого равна длине вектора, круговая частота угловой скорости вращения вектора, а начальная фазауглу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

На практике часто приходится иметь дело с таким движением, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких колебаниях. Например, если груз подвешен на пружине к потолку вагона, то груз совершает колебания относительно точки подвеса, которая, в свою очередь, колеблется на рессорах вагона. Таким образом, груз совершает движение, складывающееся из двух колебаний одного направления.

Примером сложения колебаний различного направления является движение пучка электронов в электронно-лучевой трубке под действием двух взаимно перпендикулярных электрических полей.

Рассмотрим два наиболее простых случая сложения гармонических колебаний.