Для характеристики волн используется волновое число

, (6.8)

которое характеризует число волн, укладывающихся на отрезке 2 радиан.

Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид

(x, t) = A cos (t – kx + ₀), (6.9)

где (t – kx + ₀) – фаза распространяющейся волны. Знак «минус» перед слагаемым kx связан с явлением запаздывания.

Рассмотрим точку пространства такую, что для нее фаза волны постоянна, т.е.

(t – x/v)+₀ = const . (6.10)

Продифференцировав выражение (6.10) и сократив его на , получим dt – dx/v= 0, откуда

. (6.11)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (6.11) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

(r, t) = cos (t – kr + ₀) , (6.12)

где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r, поскольку энергия волновой поверхности распространяется по все большей площади (S = 4r²).

Если фазовая скорость волн зависит от их частоты, то это явление называется дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн,  диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:

(6.13)

или

, (6.14)

где v – фазовая скорость;  оператор Лапласа. Решением уравнения (6.14) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

. (6.15)

6.4. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к волнам применим принцип суперпозиции. При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результи­ру­ю­щее смещение частицы среды в любой момент времени равно геомет­ри­чес­кой сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции, любая волна может быть пред­став­лена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета, или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси хгармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем d<<и dk << k(d – разница этих частот; dk– разница волновых чисел). Тогда в результате наложения этих волн смещение

 = А₀ cos(t–kx) +A₀ cos(+d)t– (k+dk)x=2A₀ coscos(t–kx).

Полученная волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция координаты хи времениt.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что td xdk= const, получим

, (6.16)

где скорость uназываютгрупповой скоростью.Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет.

Рассмотрим связь между групповой (6.16) и фазовой (6.13) скоростями. Учитывая что (см. (6.8)), получим

или

. (6.17)

Из формулы (6.17) вытекает, что uможет быть как меньше, так и большеv в зависимости от знака. В недиспергирующей средеи групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т.д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость uc, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.