4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел

Рассмотрим применение законов сохранения механической энергии и импульса к расчету абсолютно упругого центрального удара двух тел.

Абсолютно упругим называют такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара с массамиm₁иm₂до удара движутся поступательно со скоростямиv₁ и v₂, направленными в одну и ту же сторону вдоль линии их центров, причемv₁ v₂. Нужно найти скорости шаровu₁ и u₂ после соударения (рис. 4.5).

В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой. При абсолютно упругом ударе она, кроме того, консервативна. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, т.е. потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем

. (4.31)

По закону сохранения импульса

. (4.32)

При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара направлены вдоль одной прямой – линии удара. Поэтому из (4.32) следует, что

, (4.33)

где v₁, v₂ , u₁ и u₂  проекции векторов и на ось координат, параллельную линии удара. Совместное решение уравнений (4.31) и (4.33) дает

, . (4.34)

В формулах (4.34) скорости v₁ и v₂ могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки в зависимости от направлений векторов и .

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Массы шаров одинаковы (m₁ = m₂ = m). Тогда из выражения (4.34) следует, что

u₁ = v₂ , u₂ = v₁ ,

т.е. при ударе шары обмениваются скоростями.

2. Масса второго шара во много раз больше массы первого (m₂ >>m₁). Тогда

u₁2v₂ – v₁ , u₂ v₂ .

Если при этом второй шар до удара был неподвижен (v₂ = 0), то

u₁ =  v₁ , u₂ = 0 ,

т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью u₁ = v₁ .

При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не соблюдается. Из выражения (4.35), положив u₁ = u₂ = u, найдем скорость движения шаров после абсолютно неупругого удара:

.

В заключение приводятся таблица аналогий в описании поступательного и вращательного движений (характеристики и законы).

Таблица 4.1

Аналогии в описании поступательного и вращательного движений

Поступательное движение	Вращательное движение
Nпост =Fτ v	Nвр = Мврω

Вопросы для самоконтроля

1. Какая величина называется энергией, а какая – работой?

2. Какая из двух величин – энергия и работа – является функцией состояния, а какая – процесса?

3. Как выражается в поступательном движении механическая работа: а) постоянной силы, направленной под углом к перемещению; б) нескольких постоянных сил; в) переменной силы; г) силы упругости; д) силы тяготения?

4. Изобразить графически работу: а) постоянной силы; б) переменной силы;

5. Как выражается работа во вращательном движении: а) при М = const; б) при М = f(t) ?

6. Какая величина называется мощностью?

7. Как записывается выражение средней мощности и мгновенной мощности?

8. Каково выражение мощности во вращательном движении?

9. Какая энергия называется кинетической, а какая – потенциальной?

10. Как выражается кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях?

11. Какие системы называются консервативными, а какие диссипативными?

12. Какие силы называются консервативными, какие – неконсервативными?

13. Сформулируйте закон сохранения энергии.

14. Как выражается потенциальная энергия?

15. Какой удар называется абсолютно упругим, какой – абсолютно неупругим?

16. Написать законы сохранения энергии и импульса для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.