5.6. Вынужденные колебания

Теперь пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

F_x = F₀ cos t . (5.59)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

.

Используя обозначения (5.51), запишем это уравнение следующим образом:

, (5.60)

где

f₀ = F₀ /m (5.61)

является амплитудой удельной силы (т.е. силы на единицу массы).

Уравнение (5.60) описывает вынужденные колебания. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, совпадающее с уравнением (5.53),нам уже известно. Оно имеет следующий вид:

x = A₀ e^{ t} cos ( t + ) , (5.62)

где . Найдем частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (5.60). Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм.

Предположим, что частное решение уравнения (5.60) имеет вид

x = A cos (t  ) . (5.63)

Тогда

=  A sin (t  ) = A cos (t   +/2) , (5.64)

=  ²A cos (t  ) = ²A cos ( t   + ) . (5.65)

Подстановка выражений (5.64) и (5.65) в уравнение (5.60) приводит к соотношению

²Acos(t   + ) + 2Acos (t   + /2) + A cos (t  ) = f₀ cos t.(5.66)

Из (5.66) следует, что постоянныеА и  должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f₀ cos t была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Если изобразить функцию Acos (t  ) вектором длины , направленным вправо (рис. 5.15), то функция 2A cos (t   + /2) изобразится вектором длиной 2А, повернутым относительно вектора против часовой стрелки на угол /2, а функция ²А cos (t   + /2) – вектором длиной ²А, повернутым относительно вектора на угол .Чтобы уравнение (5.60) было удовлетворено, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функциюf₀ cos t.

Из рис. 5.15 , видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды А, которое определяется условием

( ²) А² + 4²²А² = , (5.67)

откуда

. (5.68)

Рис. 5.15 позволяет получить также и значение , которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (5.63) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка следует, что

. (5.69)

Подставив в (5.63) значения А и , определяемые формулами (5.68) и (5.69), получим функцию, представляющую собой решение неоднородной части уравнения (5.60):

cos (t – arctg ) . (5.70)

Функция (5.70) в сумме с (5.62) дает общее решение уравнения (5.60), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях:

cos (t – arctg ) + A₀ e ^{ t} cos (t + ) (5.71)

Второе слагаемое в уравнение (5.71) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 5.16). С течением времени из-за экспоненциального множителя e^t роль этого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь первое слагаемое.

Таким образом, функция (5.70) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (5.68) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы (см. (5.69)).

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний называется резонансом.

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от параметров  и  и построим кривые (рис. 5.17). Из выражения (5.68) следует, что независимо от величины  при  = 0 амплитуда А = const = А₀ (действует стати­ческая сила)

. (5.72)

При  А. Явление резонанса возникает при частоте_рез, которую можно найти, исследовав на экстремум функцию (5.68). Эта функция максимальна, когда ее знаменатель минимален. Продифференцировав подкоренное выражение в знаменателе (5.68) по  и приравняв это к нулю, получим условие для определения _рез.:

2(2_рез² = 0,

откуда

. (5.73)

Таким образом, максимум резонансной кривой смещен влево по оси  от ₀; это смещение будет тем больше, чем больше коэффициент затухания . Подставив (5.73) в (5.68), получим выражение амплитуды при резонансе:

. (5.74)

Формула (5.74) показывает, что, чем меньше коэффициент затухания, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса и тем «острее» и выше получается максимум кривой вплоть до ее разрыва при  = 0 (см. рис. 5.17).

Вредные и полезные явления резонанса широко распространены в природе и технике. Явление резонанса важно в тех случаях, когда необходимо обнаружить слабые колебания или усилить их. На этом явлении основана вся аппаратура, воспринимающая и усиливающая звуковые и электрические колебания.

Нередко явление механического резонанса служит причиной катастроф. Например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае могут возникнуть разрушения. При вращении плохо отцентрированного мотора вследствие явления резонанса может произойти его поломка и повреждение фундамента здания, на котором расположен мотор.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение называется колебательным?

2. Какое колебание называется периодическим, гармоническим?

3. Необходимое условие возникновения колебательного движения.

4. Какие колебания называются свободными (собственными)?

5. Какие колебания называются собственными незатухающими? В каких системах они возможны? Приведите примеры.

6. Без наличия какой силы невозможно возникновение колебательного движения?

7. Запишите второй закон Ньютона для свободных незатухающих колебаний.

8. Запишите дифференциальное уравнение для свободных незатухающих колебаний.

9. Какой вид имеет уравнение гармонического колебания?

10. Каков физический смысл величин, входящих в уравнение гармонического колебания?

11. Что такое амплитуда колебаний, фаза колебаний?

12. Различия между частотой и циклической частотой.

13. Какая величина называется периодом колебаний и какова связь периода с частотой и циклической частотой?

14. Как выражаются в функции времени скорость и ускорение при гармоническом колебании? Как они сдвинуты по фазе относительно смещения от положения равновесия?

15. Как выражается энергия (кинетическая, потенциальная, полная) гармонического колебания?

16. Как изображается гармоническое колебание: а) графически, б) векторной диаграммой?

17. Какой маятник называется математическим, физическим?

18. Как выражается период колебаний математического маятника, физического маятника?

19. Какая величина называется приведенной длиной физического маятника?

20. Запишите амплитуду и начальную фазу колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой.

21. Запишите уравнение колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой.

22. При какой разности фаз амплитуда результирующего колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одной частотой, будет иметь максимальное значение, минимальное значение?

23. Какой вид имеет уравнение траектории точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковой частотой?

24. При каких условиях траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковой частотой, превращается в окружность, в прямую?

25. Что называется фигурами Лиссажу?

26. Какие колебания называются затухающими?

27. Запишите второй закон Ньютона для собственных затухающих колебаний.

28. Напишите дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона) для собственных затухающих колебаний.

29. Запишите выражение для смещения от положения равновесия в случае собственных затухающих колебаний.

30. Запишите математическое выражение амплитуды затухающих колебаний. Изобразите графически изменение амплитуды затухающих колебаний со временем.

31. Изобразите графически собственные затухающие колебания.

32. Как зависит циклическая частота и период затухающих колебаний от коэффициента затухания?

33. Что называется коэффициентом затухания, декрементом затухания, логарифмическим декрементом затухания, временем релаксации, добротностью колебательной системы?

34. Какие из величин, характеризующих затухание в колебательной системе, определяются теоретически, а какие экспериментально и почему?

35. Какие колебания называются автоколебаниями?

36. Какие колебания называются вынужденными?

37. Запишите второй закон Ньютона для вынужденных колебаний.

38. Напишите дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона) для вынужденных колебаний.

39. Чему равна частота установившихся вынужденных колебаний?

40. От каких величин зависит амплитуда установившихся вынужденных колебаний, начальная фаза вынужденных колебаний?

41. В чем заключается механический резонанс?

42. Изобразите резонансные кривые. Обратите внимание, что при этом откладывается на осях. Как изменяются резонансные кривые в зависимости от параметров системы?

43. Совпадает ли частота механического резонанса с частотой собственных незатухающих колебаний системы? Запишите выражение равновесной частоты.

44. Как усилить (ослабить) механический резонанс?