4.6. Силы и потенциальная энергия

Зная потенциальную энергию как функцию координат взаимодействующих материальных точек, можно вычислить действующие на эти точки силы.

Рассмотрим сначала отдельную материальную точку, находящуюся в силовом поле неподвижных тел. Если силы консервативные, то можно ввести потенциальную энергию Е_п, которой обладает материальная точка в рассматриваемом силовом поле. Величина Е_п будет функцией радиуса-вектора этой точки или ее координатx, y, z. Пусть точка переместилась на бесконечно малую величину . ЕслиF  сила, действующая на нее, то работа этой силы при таком перемещении будет равна убыли потенциальной энергии:

. (4.23)

В проекциях x, y, z уравнение (4.23) запишется в виде

F_xdx + F_ydy +F_zdz =  dE_п . (4.24)

Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например х. Тогда F_xdx = [dE_п]_y,z и, следовательно,

.

Индексы y, z означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты y и z не должны изменяться. Величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции Е_п. Они обозначаются символом , в отличие от символа d, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей y, z. Таким образом,

F_x =  (∂Е_п/∂х), F_y =  (∂Е_п/∂y), F_z =  (∂Е_п/∂z) . (4.25)

Три формулы (4.25) можно объединить в одну векторную формулу. Для этого умножим их на единичные векторы координатных осей и сложим. В результате получим:

F =  grad Е_п , (4.26)

где

. (4.27)

Вектор, определяемый выражением (4.27), называется градиентом скаляра Е_п. Для него наряду с обозначением grad Е_п применяется также обозначение Е_п, значок  (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

. (4.28)

4.7. Закон сохранения энергии

С одной стороны, согласно уравнению (4.14) работа, совершаемая движущимся телом при изменении его скорости от v₁ до v₂ , определяется изменением кинетической энергии данного тела:

.

С другой стороны, совершаемая внутренней силой работа равна убыли потенциальной энергии: А =Е_п. Из этих двух уравнений можно получить:

Е_к1+Е_п1 = Е_к2+Е_п2 . (4.29)

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы: Е = Е_к + Е_п, называется ее полной энергией. Таким образом, Е₁ = Е₂ или

Е = Е_к + Е_п = const . (4.30)

В системе с одними только консервативными силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.

Механические системы, в которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (или рассеянием энергии).

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия не сохраняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.