6.2. Энергия упругих волн. Вектор Умова

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (плотность потока энергии). Найдем аналитическое выражение вектора Умова. Пусть S – часть фронта волны в некоторый момент времени t (рис. 6.2). По ис­течении времени t фронт волны пере­ме­сти­тся на расстояние l = vt, всле­д­ствие чего частицы среды в объеме V = S l придут в колебательное движение. Тогда через еди­нич­ную площадку в единицу времени проходит энергия

, (6.1)

где W – энергия, переносимая волной через площадку S за время t. Предполагая, что в пределах малого объема V энергия распределена однородно, можем записать

W = wV = wSl , (6.2)

где w  объемная плотность потока энергии (энергия заключенная в единице объема). Подставив (6.2) в (6.1), получим

.

Или, так как – скорость распространения волны – является векторной величиной, то

. (6.3)

Итак, вектор Умова совпадает по направлению с направлением скорости распространения волны и равен произведению объемной плотности энергии на вектор скорости распространения волны.

Так как поглощением энергии при распространении волны мы пренебрегаем, то можно считать, что вся энергия колебаний частиц среды целиком определяется энергетическим излучением источника:

. (6.4)

Вся эта энергия передается частицам среды, вовлеченным в колебательный процесс. В выражении (6.4) m = V, где   плотность среды, а V – объем, охваченный колебательным процессом.

В итоге для средней объемной плотности энергии, переносимой волной, получим

, (6.5)

где ₀ – собственная частота колеблющейся системы.

6.3. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Для вывода уравнения бегущей волны, представляющего собой зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени, рассмотрим плоскую волну. Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось x совпадает с направлением распространения волны (см. рис. 6.1). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси x, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение  будет зависеть только от x и t, т.е.  = (x, t).

На рис. 6.1 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, описывается функцией (0,t) = A cos t, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на , так как для прохождения волной расстояния х требуется время  = x/v, где v – скорость распространения волны. Это так называемое уравнение запаздывания. Тогда уравнение колебания частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

(x,t) = A cos [ (t – x/v)], (6.6)

откуда следует, что (x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (6.6) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

(x,t) = A cos [ (t + x/v)].

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(x,t) = A cos [ (t – x/v)+ ₀], (6.7)

где А = const – амплитуда волны;  – циклическая частота волны; ₀ – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начала отсчета х и t; [ (t – x/v)+ ₀] – фаза плоской волны.