4. Условия совместности деформаций

Сначала поясним смысл понятия условия совместности на примере потенциального течения. Если поле скоростей потенциальное, то , где– потенциал. Если смотреть на системукак на систему относительно неизвестных скоростей, то имеем три уравнения относительно трех неизвестных. Следовательно, система всегда имеет решение.

Если же заданы , нонеизвестно, то система переопределена и может не иметь решения.

Скорость потенциального течения должна удовлетворять условию . Это условие можно назвать условием совместности скоростей потенциального течения. Оно обеспечивает разрешимость задачи по нахождению потенциала.

Таким образом, условия совместности – это некоторые дополнительные условия разрешимости задачи.

Для малых деформаций . Тензор малых деформаций в силу симметрии имеет шесть различных компонент. Если перемещения заданы, то из этой системы всегда можно найти деформации:.

Наоборот, если заданы деформации и необходимо найти перемещения (), то система становится переопределенной (6 уравнений относительно трех неизвестных). Условия, при которых эта задача решается, называютсяусловиями совместности деформаций(деформации должны быть такими, чтобы не нарушалась сплошность среды, т.е. чтобы материал не «порвался» и чтобы не образовалось «складок»). Условия совместности являются условиями реализуемости заданных деформаций сплошной среды.

6. Тензор скоростей деформаций

Тензор скоростей деформацийесть тензор с компонентами

.

Из определения следует формула для вычисления компонент

,

.

Тензор скоростей деформаций является симметричным.

Зная скорость деформации, можно найти деформацию за малый промежуток времени :

.

1. Механический смысл тензора скоростей деформаций

Из определения тензора скоростей деформаций и механического смысла тензора деформаций следует, что – скорость относительного удлинения вдоль -го базисного вектора,, () – скорость скашивания первоначально прямого угла между -м и -м базисными векторами,

– скорость относительного изменения малого материального объема.

Так как тензор eсимметричен, то всегда можно указать три взаимно перпендикулярных волокна (главные оси) таких, что при деформации скорость скашивания углов между ними равна нулю.

В общем случае, главные оси тензора деформаций и тензора скоростей деформаций не совпадают. Этот вопрос нужно исследовать дополнительно для каждой конкретной модели сплошной среды.

Условия совместности скоростей деформаций формулируются аналогично условиям совместности деформаций.

2. Теорема Коши-Гельмгольца

Рис. 1.6.1

Рассмотрим материальный объем (Рис. 1.6.1). Возьмем в этом объеме произвольную точку . Если бы объем был твердым телом, то к нему была бы применима теорема о произвольном движении твердого тела:

всякое движение тела можно разложить на поступательное со скоростью точкии вращательное с угловой скоростьювокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку:

.

При этом угловая скорость не зависит от положения точки , к которой отнесено вращение твердого тела. Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая эту точку.

Для произвольного движения объема сплошной среды справедливо следующее утверждение.

Теорема. Скорость любой точки малого объема сплошной среды в линейном приближении относительно его размера можно представить как сумму скорости поступательного движения, скорости вращательного движения и скорости деформационного движения:

,

причем поступательное и деформационное движения являются потенциальными.

◄ Выделим в материальном объеме произвольную точку . Пусть– любая другая точка этого объема,

.

Разложим скорость частицы в ряд Тейлора в линейном приближении в окрестности точки:

,.

Представим компоненты векторного градиента скорости в следующем виде:

.

Введем обозначения:

,.

Тогда

.

Тензор антисимметричный, следовательно, определяется тремя компонентами. Тензоресть тензор скоростей деформаций.

Рассмотрим вектор . Можно убедиться непосредственным вычислением, что,,и. Но, следовательно.

Назовем вектор с компонентами деформационной скоростью.

Таким образом, получим:

.

Покажем, что поступательное и деформационное движения являются потенциальными. Действительно, нетрудно записать потенциал поступательного движения:

и потенциал деформационного движения:

. ►