3. Решение уравнений акустики

Так как волновое уравнение является эквивалентом системы уравнений акустики, то его решение может быть использовано для нахождения решений уравнений акустики. Применим общее решение к плотности жидкости. Тогда

.

Согласно акустическому уравнению состояния имеем

.

Найдем скорость среды из уравнения неразрывности:

,

где штрихом обозначено дифференцирование по исоответственно. Интегрируя по, получим

.

Для определения произвольной функции, зависящей от времени, используем уравнение импульсов. Получим

.

С другой стороны

.

Приравнивая правые части уравнений, видим, что

, т.е..

Итак,

,.

Значение постоянной определяется после постановки конкретной задачи из начальных и граничных условий, как правило.

Запишем решение уравнений акустикив исходных размерных переменных и при:

,

,

.

Для волны, бегущей вправо . Следовательно,

.

Условия малости возмущения, соответственно, принимают вид

,,.

Так, например, для воды ,и.

Следовательно, при возмущение в воде еще можно рассматривать как малое и пользоваться линейной теорией. Заметим, сначала мы предположили, что возмущение давления мало по сравнению с начальным давлением. Теперь ясно, что это требование является слишком сильным. Достаточно предположения, что возмущение плотности мало по сравнению с начальным ее значением.

1. Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная адиабата

1. Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с разрывом

По определению, функция непрерывнав точке, если выполняется одно из трех равносильных между собой условий:

1) ;

2) ;

3) .

В противном случае говорят, что функция терпит разрывв точке, а сама точка называется точкой разрыва. Для функции двух переменных точки разрыва могут образовывать линию, для функции трех переменных – поверхность.

В механике сплошной среды выделяют поверхности слабого и сильного разрыва. Разрыв называется сильным, если на нем терпит разрыв какой-нибудь параметр сплошной среды. Разрыв называетсяслабым, если все параметры непрерывны, но производная какого-либо параметра терпит разрыв.

Рис. 3.4.1

Рассмотрим поверхность сильного разрыва (Рис. 3.4.1). Предположим, что все параметры сплошной среды и их производные ограничены в рассматриваемой области течения.

Возьмем произвольную точку на поверхностии получим условия на скачке (разрыве) в этой точке. При этом будем предполагать, что распределенные по поверхностиисточники массы, импульса, энергии отсутствуют.

Направим нормаль поверхностив точкев направлении ее скорости. Возьмем на поверхностипроизвольную окрестностьточки, в силу малости ее можно считать плоской. Отложим в обе стороны ототрезки длинойиз каждой точки, принадлежащей. Получим прямой цилиндрвысоты, ограниченный поверхностью, состоящей из оснований,и боковой поверхности

,

.

Цилиндр делится площадкойна два равных цилиндраи, ограниченных поверхностями,. Введем подвижную систему координат с началом в точкеи движущуюся со скоростью. Тогда цилиндрбудет неподвижен в этой системе координат. Получим три вспомогательные формулы.

1. Докажем, что

.

Справедливо равенство

.

По теореме о среднем

,.

Подставляя значения интегралов и переходя к пределу при , получим искомую формулу.

2. Можно доказать, что

.

Действительно,

в силу неподвижности объемов . Осталось применить формулу и учесть, что

.

3. Обозначим – значения параметранасо стороны нормали,– значения на противоположной стороне.

.

Докажем, что

,

где – проекция параметрана внешнюю нормаль поверхности.

,

.

По теореме о среднем

, при,

где – длина границы площадки. Аналогично можно убедиться, что второй интеграл также стремится к нулю. Поэтому

.

Далее,

,

,

поскольку нормали инаправлены в противоположные стороны, а

.

Суммируя, получим искомую формулу.