9. Турбулентное течение

Кроме ламинарного течения существует турбулентноетечение жидкости, в котором частицы среды движутся хаотически. Переход из ламинарного течения в турбулентное течение может происходить с ростом скорости течения, когда число Рейнольдса достигает определенного критического значения. В опытах установлено, что при течении вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе минимальное критическое значение числа. На переход течения из ламинарного в турбулентное оказывают влияние различные факторы: форма канала, вид его поверхности, наличие возмущений и т.д.

Модели турбулентного течения строят на основе уравнений, получаемых из уравнений Навье-Стокса путем осреднения. Параметр жидкости представляют в виде суммы двух слагаемых: осредненного и пульсационного. Осредненная составляющая вводится путем операции осреднения по времени или по пространству. В итоге число неизвестных увеличивается и исходная замкнутая система уравнений становится незамкнутой. Для её замыкания применяются различные дополнительные гипотезы и основанные на них соотношения. Последние могут содержать неизвестные коэффициенты, для определения которых может потребоваться проведение экспериментов или теоретических исследований.

2. Упругое и линейно упругое изотропное тело

Сплошная среда называется упругим телом, если тензор напряжений является функцией тензора деформаций:

.

Если зависимость линейна, т.е., то тело называетсялинейно упругим.

Если тензор коэффициентов упругости является изотропным M´=M, то сплошная среда называетсяизотропным линейно упругимтелом или краткотелом Гука.

Так же, как для ньютоновской жидкости , тензор Mможет быть записан в виде

.

Подставив это выражение для в выражение для, получим уравнение состояния тела Гука илиобобщенный закон Гука

.

Коэффициенты иназываютсякоэффициентами Лямеили модулями упругости. Латинское слово modulus переводится как мера.

Аналогично теореме о главных осях тензоров напряжений и скоростей деформаций в ньютоновской жидкости можно доказать следующую теорему, при этом надо использовать обобщенный закон Гука.

Теорема. Для тела Гука главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Уравнение импульсов для тела Гука, называемое уравнением Ляме, можно получить аналогично уравнениям Навье-Стокса. При этом предполагается, что деформации малые и тензор деформаций берется в виде

.

Тогда уравнение Ляме имеет вид

.

Рассмотрим три важных случая деформации твердого тела: растяжение стержня, всестороннее сжатие и сдвиг.

1. Растяжение стержня(Рис. 3.2.1) является примером одноосного напряженного состояния тела, описываемого тензором напряжений, имеющим в главных осях следующий вид

Рис. 3.2.1

Запишем выражения для диагональных компонент тензора напряжений в соответствии с обобщенным законом Гука

,

,

.

Последние два равенства запишем более подробно

,

.

Вычтем из первого уравнения второе, получим

,

где

– коэффициент Пуассона.

Подставим найденные значения в выражение для , получим

.

Таким образом, для растяжения стержня связь между продольным напряжением и деформацией (закон Гука) имеет вид

,

где коэффициент

называется модулем Юнга.

Поперечные и продольные деформации связаны соотношением

.