Уравнение кинетической энергии
Получим это уравнение из уравнения импульсов
.
Воспользуемся формулой
.
Умножим уравнение импульсов скалярно
на вектор скорости
,
используем указанную формулу и получимуравнение кинетической энергии
.
Уравнение внутренней энергии
Уравнение внутренней энергии получается путем вычитания из уравнения полной энергии уравнения кинетической энергии . Оно имеет вид
.
Часть полной работы поверхностных сил
отвечает за изменение кинетической
энергии –
,
другая часть – за изменение внутренней
энергии.
Выясним физический смысл первого слагаемого справа. Для этого покажем, что
,
то есть свертка тензоров напряжений и скоростей деформаций.
Действительно,
,
.
В частности,
,
в силу симметричности тензоров напряжений и скоростей деформаций.
Аналогичные соотношения можно получить
и для других значений индексов
суммирования. Суммируя по всем значениям
,
получим искомую свертку.
Дифференциальное уравнение справедливо для внутренней материальной частицы сплошной среды. Поэтому свертку тензоров напряжений и скоростей деформаций можно интерпретировать как мощность внутренних поверхностных сил на деформациях в единице объема. Таким образом, в уравнении внутренней энергии содержится внутренний источник энергии за счет процессов взаимодействия между частицами среды, что принципиально отличает его от уравнений неразрывности, импульса, момента импульса.
Итак, уравнение внутренней энергииможет быть записано и в такой форме
.
Заметим, что если
,
,
,
то
,
т.е. внутренняя энергия неподвижной теплоизолированной среды неизменна.
Уравнение теплопроводности для неподвижной среды
Рассмотрим теплообмен за счет
теплопроводности в неподвижной среде:
,
,
.
В этом случае уравнение внутренней
энергии примет вид
.
Из курса термодинамики известны соотношения
,
,
,
где
– энтальпия (теплосодержание);
,
– удельная теплоемкость при постоянном
давлении и при постоянном объеме
,
.
Поток тепла за счет теплопроводности описывается эмпирическим законом Фурье
,
где
–коэффициент теплопроводности.
В неподвижной среде материальная
производная совпадает с частной
производной по времени. Используя
выписанные соотношения и предполагая
постоянным, можно переписать уравнение
притока тепла в виде
,
где
– коэффициент температуропроводности. Уравнение называетсяуравнением теплопроводности.
Для стационарного процесса теплопроводности уравнение принимает вид уравнения Лапласа
.
Заметим, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа, а уравнение Лапласа имеет эллиптический тип.
Уравнение теплопроводности для подвижной среды
Пусть
.
Вычислим свертку тензора напряжений с тензором скоростей деформаций
.
Тогда уравнение притока тепла при
постоянном
и
принимает вид
.
Это уравнение можно преобразовать, перейдя к энтальпии
,
.
Из уравнения неразрывности найдем
.
В итоге из (2.5.11) получим уравнение теплопроводности для подвижной среды
.
Это уравнение уже нужно решать совместно с уравнениями неразрывности и импульса, а также уравнением состояния, в качестве которого можно взять, например, уравнение состояния совершенного газа.В механике под совершенным газом имеют в виду идеальный калорически совершенный газ, для которого выполняются следующие соотношения:
уравнение Клапейрона-Менделеева
,
соотношения для внутренней энергии и энтальпии
,
.