- •Введение
- •Кинематика сплошной среды
- •Основные гипотезы механики сплошной среды
- •Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной среды
- •Вычисление скорости материальной частицы
- •Материальная производная
- •Переход от эйлерова описания к лагранжевому и обратно
- •Траектории и линии тока. Установившиеся и неустановившиеся, потенциальные движения сплошной среды
- •Траектории и линии тока
- •Установившиеся и неустановившиеся движения сплошной среды
- •Потенциальное и вихревое движения
- •Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
- •Ортогональное преобразование координат
- •Операции над тензорами
- •Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
- •Тензорная функция и тензорная поверхность
- •Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и тензорным величинам
- •Тензор деформаций
- •Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций
- •Тензор малых деформаций
- •Механический смысл тензора малых деформаций
- •Условия совместности деформаций
- •Тензор скоростей деформаций
- •Механический смысл тензора скоростей деформаций
- •Теорема Коши-Гельмгольца
- •Закон сохранения массы
- •Три теоремы об интегралах
- •Закон сохранения массы
- •Уравнение неразрывности при лагранжевом описании
- •Динамика сплошной среды
- •Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений
- •Тензор напряжений
- •Закон сохранения количества движения
- •Закон сохранения момента количества движения
- •Закон сохранения момента количества движения
- •Главные оси и главные напряжения
- •Поверхность напряжений Коши
- •Закон сохранения энергии
- •Закон сохранения энергии
- •Уравнение кинетической энергии
- •Уравнение внутренней энергии
- •Уравнение теплопроводности для неподвижной среды
- •Уравнение теплопроводности для подвижной среды
- •Некоторые модели и теории механики сплошной среды
- •Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости
- •Идеальная жидкость
- •Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости
- •Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле внешних потенциальных сил
- •Интеграл Бернулли
- •Ньютоновская жидкость
- •1. Поверхность твердого тела
- •2. Поверхность раздела двух жидкостей
- •Уравнения Навье-Стокса
- •Течение Куэтта
- •Течение Пуазейля
- •Турбулентное течение
- •Упругое и линейно упругое изотропное тело
- •2. Всестороннее сжатие
- •3. Сдвиг
- •Уравнения акустики
- •Уравнения акустики
- •Волновое уравнение. Общее решение. Задача Коши и ее решение. Смешанная задача и ее решение
- •Решение уравнений акустики
- •Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная адиабата
- •Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с разрывом
- •1. Закон сохранения массы
- •2. Закон сохранения импульса
- •3. Закон сохранения энергии
- •Соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе координат
- •Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с покоящимся газом
- •Адиабата. Ударная адиабата
- •Сверхзвуковые течения
- •Подобие и моделирование явлений
Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле внешних потенциальных сил
Пусть внешние массовые силы имеют потенциал , тогда.
Запишем уравнение импульсов
.
В этом случае удобно воспользоваться формулой Громеки-Ламба
.
Так как течение потенциальное, то
.
Тогда уравнение импульсов примет вид
.
Выразим скорость через потенциал
.
В первом слагаемом поменяем порядок дифференцирования, тогда
.
Интегрируя по пространству, получим
.
Это решение называется интегралом Коши-Лагранжа.
Интеграл Коши-Лагранжа можно получить и для баротропной сжимаемой жидкости. В этом случае в уравнение импульсов следует ввести функцию давления P, используя равенство. В частности, для несжимаемой жидкости, а для адиабатического течения совершенного газа.
Запишем интеграл Коши-Лагранжа для адиабатического течения совершенного газа при отсутствии массовых сил. В этом случае , квадрат скорости звука равен, и интеграл принимает вид
.
Пусть в бесконечно удаленной точке
,,.
Тогда
.
Интеграл Бернулли
Рассмотрим установившееся движение идеальной баротропной жидкости в потенциальном поле массовых сил. Запишем уравнение импульсов в форме Громеки-Ламба
Учитывая стационарность течения, потенциальность массовых сил и функцию давления, получим
.
Пусть – вектор элементарного перемещения частицы жидкости и
,
тогда
Отсюда следует интеграл Бернулли
.
Интеграл Бернулли имеет место, когда выполняется условие , т.е.
вдоль линии тока (траектории), когда ,
вдоль вихревой линии, когда ,
при безвихревом (потенциальном) движении, когда ,
при винтовом движении, когда .
Заметим, что в случаях 1, 2 постоянная в интеграле Бернулли может быть своя для каждой траектории или вихревой линии, а в случаях 3, 4 она одна и та же для всего течения. Интеграл Бернулли в этих случаях следует непосредственно из .
Рассмотрим частные случаи.
А. Течение однородной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
В этом случае ,. Интеграл Бернулли принимает вид
.
Б. Адиабатическое течение совершенного газа при отсутствии массовых сил. В этом случае
.
Интеграл Бернулли принимает вид
Заметим, что скорость звука в рассматриваемом случае равна
,
поэтому
.
Пусть скорость звука в покоящемся газе равна , тогда
.
Отсюда видно, что скорость ограничена и достигает максимума при
.
Скорость потока равная местной скорости звука называется критической. Она равна
.
Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение совершенного газа в трубке тока(Рис. 3.1.2).
Рис. 3.1.2. |
Уравнение сохранения массы можно записать в виде , |
где – площадь поперечного сечения трубки тока. Логарифмируя и дифференцируя соотношение , получим
.
Продифференцируем интеграл Бернулли и учтем, что
получим
.
Исключая плотность из , и вводячисло Маха, получим
.
Отсюда следует, что при дозвуковом течении () уменьшение () площади сеченияприводит к увеличению скорости течения (). Но в сверхзвуковом течении () для увеличения скорости нужно увеличивать сечение. На этом принципе построеносопло Лаваля, в котором поток газа разгоняется от дозвуковой до сверхзвуковой скорости.