2. Тензор напряжений

Пусть задана площадка с нормалью . Нужно научиться определять напряжение на этой площадке.

Оказывается, что задать напряженное состояние сплошной среды в точке или, что то же самое, определить правило вычисления вектора напряжений на любой площадке, содержащей эту точку, можно, задавая векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке.

Убедимся в этом. Возьмем точку за начало системы координат и обозначим через– вектор напряжений на площадке с нормалью, лежащей на соответствующей координатной плоскости. Разложим векторы напряженийпо базису:

,

,

.

Девять компонент определяют тензор 2-го ранга (докажем это позже), который называетсятензор напряжений:

.

Заметим, что -й столбец матрицы тензора напряжений составлен из компонент вектора напряжений. Разложение тензора напряжений по соответствующему базису имеет вид

σ.

Рассмотрим механический смыслкомпонент тензора напряжений. Поясним его на примере компонент,,.

Рис. 2.2.1

Эти компоненты являются компонентами вектора напряжений на площадке с нормалью(Рис. 2.2.1). Проекция

дает нормальное напряжение на этой площадке, а проекции

и

определяют касательные (сдвиговые) напряжения в направлении исоответственно. Нормальные напряжения связаны с деформаций растяжения, а касательные – с деформацией сдвига. Аналогично можно выяснить механический смысл остальных компонент тензора напряжений.

Таким образом, диагональные компоненты тензора напряжений задают нормальные напряжения на соответствующих координатных площадках, а недиагональные – сдвиговые напряжения в направлении соответствующих осей координат: – нормальное напряжение на-й координатной площадке,– касательное напряжение.

Рис. 2.2.2

Теперь найдем вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью, содержащей точку.

Для этого рассмотрим материальный тетраэдр с вершиной в точке, основанием, перпендикулярным нормали, и боковыми гранями, лежащими на координатных плоскостях (Рис. 2.2.2). Запишем условие равновесия тела– равенство нулю суммы действующих массовых и поверхностных сил

,

где ,,– объем, поверхность и плотность тела соответственно. Массовые силы складываются из внешних сил с напряженностьюи даламберовых сил инерции с напряженностью. Поверхностные силы задаются вектором напряжений, где– внешняя нормаль к поверхности.

Обозначим площади основания и боковых граней

,,

причем индексы 1, 2, 3 совпадают с номером координатной оси, перпендикулярной данной грани.

Заметим, что

,

,

,

так как каждая боковая грань является проекцией основания на соответствующую координатную плоскость.

Таким образом, . Объем тетраэдра, где– высота тетраэдра.

Интеграл по поверхности представим как сумму интегралов по граням тетраэдра.

,

где

,

причем

.

Применив теорему о среднем к каждому интегралу, получим

Выразим объем V и площади,ичерези учтем нечетность функции. Получим

.

Так как , то поделим на него данное выражение. Устремимк нулю, при этом граньв пределе совпадет с рассматриваемой площадкой, т.е. в пределебудет искомым напряжением. Точки,,ипереходят в точку. Получим

или

.

Выражая через компоненты , получим

σ,

σ.

Итак, чтобы вычислить вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью , содержащей точку, нужно найти проекцию тензора напряженийσ, вычисленного в точке, на направление нормали. Тензор напряженийσв точкеопределяет напряженное состояние сплошной среды в этой точке.

Докажем, что девять компонент образуют тензор 2-го ранга, т.е.

.

Для этого рассмотрим вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью . Вектор является инвариантом, следовательно,

,

,

.

Тогда

,

или

,.

Так как , то

,.

Что и требовалось доказать.