- •Введение
- •Кинематика сплошной среды
- •Основные гипотезы механики сплошной среды
- •Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной среды
- •Вычисление скорости материальной частицы
- •Материальная производная
- •Переход от эйлерова описания к лагранжевому и обратно
- •Траектории и линии тока. Установившиеся и неустановившиеся, потенциальные движения сплошной среды
- •Траектории и линии тока
- •Установившиеся и неустановившиеся движения сплошной среды
- •Потенциальное и вихревое движения
- •Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
- •Ортогональное преобразование координат
- •Операции над тензорами
- •Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
- •Тензорная функция и тензорная поверхность
- •Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и тензорным величинам
- •Тензор деформаций
- •Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций
- •Тензор малых деформаций
- •Механический смысл тензора малых деформаций
- •Условия совместности деформаций
- •Тензор скоростей деформаций
- •Механический смысл тензора скоростей деформаций
- •Теорема Коши-Гельмгольца
- •Закон сохранения массы
- •Три теоремы об интегралах
- •Закон сохранения массы
- •Уравнение неразрывности при лагранжевом описании
- •Динамика сплошной среды
- •Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений
- •Тензор напряжений
- •Закон сохранения количества движения
- •Закон сохранения момента количества движения
- •Закон сохранения момента количества движения
- •Главные оси и главные напряжения
- •Поверхность напряжений Коши
- •Закон сохранения энергии
- •Закон сохранения энергии
- •Уравнение кинетической энергии
- •Уравнение внутренней энергии
- •Уравнение теплопроводности для неподвижной среды
- •Уравнение теплопроводности для подвижной среды
- •Некоторые модели и теории механики сплошной среды
- •Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости
- •Идеальная жидкость
- •Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости
- •Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле внешних потенциальных сил
- •Интеграл Бернулли
- •Ньютоновская жидкость
- •1. Поверхность твердого тела
- •2. Поверхность раздела двух жидкостей
- •Уравнения Навье-Стокса
- •Течение Куэтта
- •Течение Пуазейля
- •Турбулентное течение
- •Упругое и линейно упругое изотропное тело
- •2. Всестороннее сжатие
- •3. Сдвиг
- •Уравнения акустики
- •Уравнения акустики
- •Волновое уравнение. Общее решение. Задача Коши и ее решение. Смешанная задача и ее решение
- •Решение уравнений акустики
- •Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная адиабата
- •Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с разрывом
- •1. Закон сохранения массы
- •2. Закон сохранения импульса
- •3. Закон сохранения энергии
- •Соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе координат
- •Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с покоящимся газом
- •Адиабата. Ударная адиабата
- •Сверхзвуковые течения
- •Подобие и моделирование явлений
Тензорная функция и тензорная поверхность
Пусть в системе координат задан тензор второго ранга
Т
Тензорной функциейназывается функция
.
Поверхность
называется тензорной поверхностью.
Если привести тензор Tк главным осям, то
T´ ,
.
В этом случае при квадратичная формаи тензорная поверхность принимают каноническую форму:
,
.
Тензорная поверхность представляет собой:
1. При – эллипсоид (– сфера).
2. При ,– однополостный гиперболоид.
3. При ,– двуполостный гиперболоид.
4. При – мнимый эллипсоид.
Главные оси тензорной поверхности совпадают с главными осями тензора.
Для тензора первого ранга (вектора) тензорная функция имеет вид:
,
а тензорная поверхность:
,
то есть тензорная поверхность представляет собой плоскость, перпендикулярную вектору .
Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и тензорным величинам
Оператором Гамильтонаили оператором(«набла») называется оператор
.
Символ обозначает производную по-ой координате. Набла () с греческого переводится как арфа.
Пусть – скалярная функция. Результатом применения оператора Гамильтона к скалярной функции является вектор
.
Заметим, что производная по направлению скалярного поляравна проекции градиента поля на это направление:
.
Пусть – векторная функция. Результатом применения оператора Гамильтона к векторной функции является тензор 2-го ранга
,
который называется векторным градиентомполя.
Покажем, что – тензор 2-го ранга.
Следовательно, по определению– тензор 2-го ранга.
Так же, как для скалярного поля, производная по направлению векторного поляравна проекции векторного градиента поля на это направление
.
Результатом применения оператора Гамильтона к тензору 2-го ранга является тензор 3-го ранга
.
Таким образом, применение оператора повышает ранг тензора на единицу.
С помощью символа (но не оператора!) можно также записать выражение для дивергенции и вихря (ротора) векторной функции:
,
.
Следует обратить внимание, что символом не всегда можно пользоваться как вектором. Например, смешанное произведение трех векторов есть скаляр
.
С другой стороны, выражение есть тензор третьего ранга.
Кроме того, для смешанного произведения векторов справедливо:
.
Однако, если один из векторов в этом равенстве заменить на оператор , то равенство перестанет быть верным:
.
Действительно,
,
.
Распишем более подробно операции и:
,
.
Продолжив вычисления, можно убедиться, что .
Тензор деформаций
Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций
Рис.1.5.1 |
Деформация – это изменение взаимного расположения материальных частиц сплошной среды, которое вызывает изменение сил взаимодействия между материальными частицами. |
Деформация малой окрестности некоторой точки определяется изменением длины и поворотом любого материального волокна (отрезка), исходящего из этой точки (Рис.1.5.1), то есть простейшими деформациями является относительное удлинение и сдвиг.
Для описания деформационного движения сплошной среды нужно определить изменение длины и поворот любого материального волокна. Пусть – пространственная декартова система координат с базисоми– материальные координаты частицы, равные ее пространственным координатам в начальный момент времени, то есть,– закон движения частицы.
Рис. 1.5.2
Материальным элементомс началом в частицеи соответствующим векторуназывается совокупность частиц, заполняющих бесконечно малый отрезок и имеющих лагранжевы координаты в пределах отдо(Рис. 1.5.2).
В текущий момент времени положение материального элемента определяется положениемего начальной точкии вектором
.
Для определения изменения длины составим выражение для квадратов длины материального элемента в начальныйив текущиймоменты времени:
,
.
Найдем изменение квадрата длины в лагранжевых переменных. Так как , то
,
.
Составим выражение для изменения квадрата длины материального элемента:
Выражение не зависит от конкретного материального элемента (волокна).
Тензор называетсялагранжевым тензором деформаций (тензором деформаций Грина).
Таким образом, изменение квадрата длины материального элемента выражается через лагранжев тензор деформаций:
.
Теперь выразим изменение квадрата длины материального элемента в эйлеровых переменных. В этом случае ,
,
,,
.
Тензор называетсяэйлеровым тензором деформаций(тензором деформаций Альманси).
Изменение квадрата длины материального элемента выражается через эйлеров тензор деформаций:
.
Итак,
, ,
.
Легко видеть, что тензоры деформаций являются симметричными тензорами 2-го ранга.
Получим формулы для вычисления тензоров LиEчерез перемещение материальной частицы(Рис.1.5.3).
Рис.1.5.3 |
1. Лагранжево описание: ,.
Для вычисления лагранжева тензора конечных деформаций необходимы производные . Выразим эти производные через производные перемещения:
.
Подставим их в выражение для тензора:
.
Окончательно получаем:
2. Эйлерово описание: ,.
Аналогично, если выразить производные через производные перемещения, эйлеров тензор конечных деформаций примет вид:
.