3. Потенциальное и вихревое движения

Поле скорости называется потенциальным, если существует такая функция, что. Функцияназывается потенциалом скорости.

Движение сплошной среды называется потенциальным, если поле скорости является потенциальным.

Поле скорости называется безвихревым, если. В противном случае, когда, движение называетсявихревым. По аналогии с линией тока для вихревого движения вводится понятие вихревой линии.Вихревой линиейназывается векторная линия вектора вихря. Уравнение вихревой линии имеет вид:

.

Вихревой поверхностью (трубкой)называется поверхность, состоящая из вихревых линий, проведенных через каждую точку некоторого контура, не являющегося вихревой линией.

Для вихревого движения имеет место формула Стокса: поток вихря поля скорости через поверхностьS, ограниченную замкнутым контуромL, равен циркуляции поля вокруг контураL

.

Из теоремы следует, что для потенциального течения ()

.

Условие потенциальности течения доказывается в следующей теореме.

Теорема.Поле скорости является потенциальным тогда и только тогда, когда оно безвихревое.

◄ Необходимость. Дано, что

,

отсюда следует, что

.

Достаточность. Дано, что

.

,

то есть координаты вектора вихря равны нулю:

,,.

Согласно теореме математического анализа, если функции ,иудовлетворяют выписанным выше равенствам, то существует функциятакая, что

.

По определению

,

следовательно,

,и.

Отсюда следует, что

. ►

Примеры потенциальных движений.

1. Поступательное движение

.

Легко убедиться, что потенциалом скорости будет функция

.

2. Одномерное движение

Легко убедиться, что

.

Построим потенциал . По условию, следовательно,,.

3. Источник (сток)

Чтобы построить потенциал скорости жидкости, сначала нужно получить выражение для скорости. Пусть скорость жидкости зависит от расстояния до центра и от времени . Тогда в сферической системе координат эта задача является одномерной.

Пусть – расход жидкости через некоторую сферическую поверхность радиуса. Ее площадь

,.

где – плотность жидкости.

Жидкость будем считать несжимаемой Для простоты положим . Тогда

.

Отсюда

,,.

Легко убедиться, интегрируя скорость по радиусу, что потенциал скорости

.

1. Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга

1. Ортогональное преобразование координат

В дальнейшем будем пользоваться правой декартовой прямоугольной системой координат в пространстве. Такую систему можно задать ортонормированным базисом ,и.

Преобразование, которое переводит одну правую декартову прямоугольную систему координат в другую правую декартову прямоугольную систему координатс тем же началом, называетсяортогональным.

Пусть система получена из системыортогональным преобразованием – поворотом. Каждый вектор базисаможет быть разложен по базису старой системы:

.

Аналогично для .

Таким образом, формулы преобразования имеют вид:

.

Формулы обратного преобразования имеют вид:

.

Составим матрицу ортогонального преобразования:

.

Видно, что -я строка матрицы составлена из координат векторав системе без штрихов,-й столбец – из координат векторав системе со штрихом.

Символом Крóнекера называется функция

Свойства матрицы ортогонального преобразования:

1.

Матрица, обладающая свойством 1, называется ортогональной.

2.

3. Транспонированная матрица является ортогональной, кроме того,.

Любой вектор может быть разложен по базису

,

где – компоненты вектора. Получим связь между компонентами вектора в разных системах координат:

Вектор– это математический объект, который задается тройкой чисел, компонентами, и при ортогональном преобразовании, заданном матрицей, компоненты вектора преобразуются по следующему правилу:

.

Это определение равносильно определению вектора как направленного отрезка. Последнее следует из равенства:

.

Можно определить скалярное произведение векторов, модуль вектора и показать, что они инвариантны.

Тензором 2-го рангаTназывается математический объект, который задается девятью числами (компонентами) в некоторой системе координат. Причем при преобразованиикоординатв, новые компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:

Последнее равенство можно записать в матричной форме:

.

Можно найти обратное преобразование:

.

Тензор является инвариантной величиной, т.е. T´=T, но их компоненты, вообще говоря, не совпадают.

Тензором n-го рангаTназывается математический объект, который задается 3ⁿчислами (компонентами) в некоторой системе координат. Причем при ортогональном преобразовании координатв, новые компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:

.