- •Введение
- •Кинематика сплошной среды
- •Основные гипотезы механики сплошной среды
- •Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной среды
- •Вычисление скорости материальной частицы
- •Материальная производная
- •Переход от эйлерова описания к лагранжевому и обратно
- •Траектории и линии тока. Установившиеся и неустановившиеся, потенциальные движения сплошной среды
- •Траектории и линии тока
- •Установившиеся и неустановившиеся движения сплошной среды
- •Потенциальное и вихревое движения
- •Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
- •Ортогональное преобразование координат
- •Операции над тензорами
- •Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
- •Тензорная функция и тензорная поверхность
- •Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и тензорным величинам
- •Тензор деформаций
- •Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций
- •Тензор малых деформаций
- •Механический смысл тензора малых деформаций
- •Условия совместности деформаций
- •Тензор скоростей деформаций
- •Механический смысл тензора скоростей деформаций
- •Теорема Коши-Гельмгольца
- •Закон сохранения массы
- •Три теоремы об интегралах
- •Закон сохранения массы
- •Уравнение неразрывности при лагранжевом описании
- •Динамика сплошной среды
- •Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений
- •Тензор напряжений
- •Закон сохранения количества движения
- •Закон сохранения момента количества движения
- •Закон сохранения момента количества движения
- •Главные оси и главные напряжения
- •Поверхность напряжений Коши
- •Закон сохранения энергии
- •Закон сохранения энергии
- •Уравнение кинетической энергии
- •Уравнение внутренней энергии
- •Уравнение теплопроводности для неподвижной среды
- •Уравнение теплопроводности для подвижной среды
- •Некоторые модели и теории механики сплошной среды
- •Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости
- •Идеальная жидкость
- •Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости
- •Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле внешних потенциальных сил
- •Интеграл Бернулли
- •Ньютоновская жидкость
- •1. Поверхность твердого тела
- •2. Поверхность раздела двух жидкостей
- •Уравнения Навье-Стокса
- •Течение Куэтта
- •Течение Пуазейля
- •Турбулентное течение
- •Упругое и линейно упругое изотропное тело
- •2. Всестороннее сжатие
- •3. Сдвиг
- •Уравнения акустики
- •Уравнения акустики
- •Волновое уравнение. Общее решение. Задача Коши и ее решение. Смешанная задача и ее решение
- •Решение уравнений акустики
- •Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная адиабата
- •Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с разрывом
- •1. Закон сохранения массы
- •2. Закон сохранения импульса
- •3. Закон сохранения энергии
- •Соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе координат
- •Соотношения на разрыве в системе координат, связанной с покоящимся газом
- •Адиабата. Ударная адиабата
- •Сверхзвуковые течения
- •Подобие и моделирование явлений
Потенциальное и вихревое движения
Поле скорости называется потенциальным, если существует такая функция, что. Функцияназывается потенциалом скорости.
Движение сплошной среды называется потенциальным, если поле скорости является потенциальным.
Поле скорости называется безвихревым, если. В противном случае, когда, движение называетсявихревым. По аналогии с линией тока для вихревого движения вводится понятие вихревой линии.Вихревой линиейназывается векторная линия вектора вихря. Уравнение вихревой линии имеет вид:
.
Вихревой поверхностью (трубкой)называется поверхность, состоящая из вихревых линий, проведенных через каждую точку некоторого контура, не являющегося вихревой линией.
Для вихревого движения имеет место формула Стокса: поток вихря поля скорости через поверхностьS, ограниченную замкнутым контуромL, равен циркуляции поля вокруг контураL
.
Из теоремы следует, что для потенциального течения ()
.
Условие потенциальности течения доказывается в следующей теореме.
Теорема.Поле скорости является потенциальным тогда и только тогда, когда оно безвихревое.
◄ Необходимость. Дано, что
,
отсюда следует, что
.
Достаточность. Дано, что
.
,
то есть координаты вектора вихря равны нулю:
,,.
Согласно теореме математического анализа, если функции ,иудовлетворяют выписанным выше равенствам, то существует функциятакая, что
.
По определению
,
следовательно,
,и.
Отсюда следует, что
. ►
Примеры потенциальных движений.
1. Поступательное движение
.
Легко убедиться, что потенциалом скорости будет функция
.
2. Одномерное движение
Легко убедиться, что
.
Построим потенциал . По условию, следовательно,,.
3. Источник (сток)
Чтобы построить потенциал скорости жидкости, сначала нужно получить выражение для скорости. Пусть скорость жидкости зависит от расстояния до центра и от времени . Тогда в сферической системе координат эта задача является одномерной.
Пусть – расход жидкости через некоторую сферическую поверхность радиуса. Ее площадь
,.
где – плотность жидкости.
Жидкость будем считать несжимаемой Для простоты положим . Тогда
.
Отсюда
,,.
Легко убедиться, интегрируя скорость по радиусу, что потенциал скорости
.
Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга
Ортогональное преобразование координат
В дальнейшем будем пользоваться правой декартовой прямоугольной системой координат в пространстве. Такую систему можно задать ортонормированным базисом ,и.
Преобразование, которое переводит одну правую декартову прямоугольную систему координат в другую правую декартову прямоугольную систему координатс тем же началом, называетсяортогональным.
Пусть система получена из системыортогональным преобразованием – поворотом. Каждый вектор базисаможет быть разложен по базису старой системы:
.
Аналогично для .
Таким образом, формулы преобразования имеют вид:
.
Формулы обратного преобразования имеют вид:
.
Составим матрицу ортогонального преобразования:
.
Видно, что -я строка матрицы составлена из координат векторав системе без штрихов,-й столбец – из координат векторав системе со штрихом.
Символом Крóнекера называется функция
Свойства матрицы ортогонального преобразования:
1.
Матрица, обладающая свойством 1, называется ортогональной.
2.
3. Транспонированная матрица является ортогональной, кроме того,.
Любой вектор может быть разложен по базису
,
где – компоненты вектора. Получим связь между компонентами вектора в разных системах координат:
Вектор– это математический объект, который задается тройкой чисел, компонентами, и при ортогональном преобразовании, заданном матрицей, компоненты вектора преобразуются по следующему правилу:
.
Это определение равносильно определению вектора как направленного отрезка. Последнее следует из равенства:
.
Можно определить скалярное произведение векторов, модуль вектора и показать, что они инвариантны.
Тензором 2-го рангаTназывается математический объект, который задается девятью числами (компонентами) в некоторой системе координат. Причем при преобразованиикоординатв, новые компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:
Последнее равенство можно записать в матричной форме:
.
Можно найти обратное преобразование:
.
Тензор является инвариантной величиной, т.е. T´=T, но их компоненты, вообще говоря, не совпадают.
Тензором n-го рангаTназывается математический объект, который задается 3nчислами (компонентами) в некоторой системе координат. Причем при ортогональном преобразовании координатв, новые компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:
.