3. Некоторые модели и теории механики сплошной среды

Рассмотрим некоторые модели сплошной среды такие, как идеальная жидкость, ньютоновская жидкость, тело Гука.

1. Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости

   1. Идеальная жидкость

Сплошная среда называется идеальной жидкостью, если

1) тензор напряжений является шаровым

;

2) плотность является функцией давления и температуры , причем повышение давления вызывает повышение плотности, а повышение температуры вызывает понижение плотности.

Если в рассматриваемом процессе плотность является функцией одного давления , то жидкость называетсябаротропной. Тогда можно ввестифункцию давления

,

для которой

,.

Для идеальной жидкости тензор напряжений является шаровым, следовательно, изотропным. Матрица тензора напряжений имеет вид

,

где . Главные напряжения равны между собой и равны.

Если тензор шаровой, то любой единичный вектор является его главной осью. Поэтому на любой площадке с нормалью вектор напряжений имеет вид

.

Следовательно, ,, т.е. нормальное напряжение равно (с противоположным знаком) давлению, касательных напряжений нет.

Отсутствие касательного напряжения – основное свойство идеальной жидкости. Давление на любой площадке не зависит от ее ориентации. Во многих случаях вода и воздух ведут себя как идеальные жидкости, так как обладают малой вязкостью.

Построим математическую модель течения идеальной жидкости. Для этого в систему уравнений движения

подставим тензор напряжений для идеальной жидкости

.

Для замыкания системы не хватает уравнения для давления . Во многих случаях можно принять условие несжимаемости жидкости, считать, что плотность не зависит от давления. Реальные жидкости обладают большой теплоемкостью, в отличие от газов. Поэтому часто можно пренебречь зависимостьюот и считать, что. Тогда уравнение неразрывности будет иметь вид

,

то есть относительная скорость изменения материального объема равна нулю. Получили модель идеальной несжимаемой жидкости

Решим эту систему уравнений в одномерном случае. Пусть , тогда

Можно исключить из системы скорость и получить уравнение для давления. Продифференцируем первое уравнение по , второе – по . Получим:

.

Решение уравнения имеет вид

,

где ив общем случае могут зависеть от времени.

Рис. 3.1.1

Если задать давление на входе и выходе (Рис. 3.1.1), то для фиксированного момента времени изменение давления вдоль трубы задается формулой

.

Условие несжимаемости можно применять к дозвуковым течениям, когда скорость потока много меньше скорости звука в среде.

Рассмотрим две задачи для идеальной жидкости.

2. Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости

Покажем, что потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости описывается одним уравнением.

По определению потенциального течения существует такая функция , что. Запишем уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

.

Выразив скорость течения через потенциал, получим уравнение Лапласа относительно потенциала

.

Рассмотрим задачу Нейманадля уравнения Лапласа:

Выясним физический смысл задачи Неймана.

Пусть абсолютно твердое тело с поверхностью обтекается потенциально идеальной жидкостью. Напомним, что потенциальное течение является безвихревым, а производную по нормали можно вычислить как проекцию градиента потенциала на нормаль

.

Таким образом, граничное условие можно переписать иначе

.

Если

– нормальная скорость поверхности тела , то граничное условие

заключается в требовании, чтобы нормальная скорость жидкости на поверхности тела совпадала с нормальной скоростью этой поверхности. Другими словами, жидкость не может проникнуть через поверхность и оторваться от нее. Такое условие называют условием непротекания. Таким образом, задача Неймана описывает безвихревое обтекание тела идеальной несжимаемой жидкостью при условии непротекания жидкости через поверхность тела.