3. Закон сохранения количества движения

Основным динамическим соотношением механики сплошной среды является закон сохранения количества движения, согласно которому скорость изменения количества движения любого материального объема равна главному вектору всех действующих на него внешних массовых и поверхностных сил.

Рис. 2.3.1

Рассмотрим материальный объем , ограниченный поверхностью(Рис. 2.3.1). Тогда, согласно закону сохранения количества движения,

где – массовая плотность внешних массовых сил.

Если проинтегрировать уравнение по времени, то оно будет иметь вид

.

Правая часть уравнения представляет собой импульс внешних сил за время , поэтому оно называетсяуравнением импульсов.

Получим дифференциальное уравнение количества движения или балансовое уравнение импульсов. Для этого продифференцируем интеграл по подвижному объему , выразим вектор напряженийчерез базисные векторы напряженийи применим к поверхностному интегралу обобщенную теорему Гаусса-Остроградского. Получим

.

В силу произвольности объема , согласно теореме 1 параграфа 1.7.1, получим векторное дифференциальное уравнение импульсов

,

или три скалярных в проекциях на -ю ось

,.

Уравнение импульсов можно записать и для контрольного объема , который в момент временисовпадает с материальным объемом. В силу следствия 3 из теоремы 3 параграфа 1.7.1

.

В силу уравнения получим

.

Если контрольный объем неподвижен, то . Из интегрального уравнения можно еще раз получить дифференциальное уравнение импульсов .

Так же, как в случае уравнения неразрывности, можно получить уравнение импульсов для одномерного случая в лагранжевых переменных

,

,

.

Могут быть полезны и другие формы записи уравнения импульсов, которые можно получить с помощью следующих равенств.

1. Дивергентная форма записи ускорения

.

2. Формула Громеки-Ламба для ускорения

.

Проанализируем полученную для описания движения сплошной среды систему уравнений неразрывности и импульсов

В этой системе четыре скалярных уравнения и 13 неизвестных – . Для замыкания необходимы 9 уравнений. Для этого можно использовать уравнения состояния или реологические законы, определяющие тензор напряженийи учитывающие характерные механические свойства среды. В общем случае может понадобиться привлечь термодинамику, электродинамику и физико-химическую кинетику.

4. Закон сохранения момента количества движения

   1. Закон сохранения момента количества движения

В теоретической механике момент количества движения материальной точки массыотносительно точки, начала некоторой инерциальной системы координат, определяется как

,

где

Уравнение момента количества движения материальной точки имеет вид

,

где – момент главного вектора действующих на нее сил относительно точки.

Момент количества движения системы материальных точек относительно точки

,

где

.

Уравнение момента количества движения системы материальных точек имеет вид

,

причем в силу третьего закона Ньютона в сумме учитываются моменты только внешних по отношению к системе сил, то есть производная по времени от момента количества движения системы точек относительно некоторой точки равняется сумме моментов всех внешних действующих на систему сил относительно той же точки.

Получим уравнение моментов количества движения сплошной среды. Рассмотрим произвольный материальный объем с поверхностью. Моментом количества движения объемасплошной среды относительно точкиназывается вектор

,

где – радиус-вектор материальной точки объемаотносительно точки, а,– скорость и плотность частицы сплошной среды.

Согласно закону сохранения момента количества движения скорость изменения момента количества движения материального объема равна сумме моментов действующих на этот объем внешних массовых и поверхностных сил

.

Уравнение можно записать и для контрольного объема аналогично тому, как это было сделано в случае закона сохранения количества движения.

Преобразуем уравнение , используя полученные выше формулу дифференцирования интеграла и обобщенную формулу Гаусса-Остроградского

В силу произвольности объема и согласно теореме 1 параграфа 1.7.1 получим дифференциальное уравнение баланса момента количества движения

.

Теорема. Тензор напряжений является симметричным тензором 2-го ранга.

◄ Из уравнения количества движения

,

следует равенство

,

или

.

Вычтем это уравнение из уравнения моментов количества движения, переписанного в виде

.

Получим

.

Так как и, то из последнего равенства следует, что

.

Вычислим частную производную от радиус-вектора

.

Тогда

или

.

Разобьем сумму на два слагаемых:

.

В первом слагаемом сгруппированы все члены с индексами , во втором –. Во втором слагаемом можем обозначить индекскак, акак, так как сумма не зависит от обозначения индекса суммирования

.

Поменяем порядок сомножителей во втором слагаемом

,

и вынесем общий множитель за скобку

,.

Расписав сумму слева почленно для () и вычислив векторные произведения базисных векторов, можно убедиться, что

. ►

Замечание. Тензор напряжений является симметричным для многих сред, такой случай называется классическим. Но для некоторых структурированных сред с внутренними напряжениями он может быть несимметричным из-за наличия внутренних моментов, а также моментов распределенных массовых и поверхностных пар сил.