3. Уравнение неразрывности при лагранжевом описании

Рис. 1.7.3

Рассмотрим материальную частицу в форме прямоугольного параллелепипеда (Рис. 1.7.3) с ребрами

,.

Объем материальной частицы в момент

.

В момент времени эта частица деформируется и станет косоугольным параллелепипедом с ребрами, его объем будет равен

,.

Так как деформации малы, то отрезок переходит в отрезок, но возможно другой длины, углы между ребрами параллелепипеда изменяются. Но длина ребер параллелепипеда в материальных координатах не изменяется!

Вычислим смешанное произведение векторов

.

Перепишем выражение для объема:

.

Вычислим отношение объемов

.

Масса параллелепипеда не изменилась

.

Отсюда получим

,

, .

Отсюда ясен механический смысл якобиана : якобиан, вычисленный в некоторый момент времени, равен отношению плотности частицы в текущий момент времени к плотности частицы в начальный момент времени.

Уравнение неразрывности при лагранжевом описаниив дифференциальной форме следует из и имеет вид

Для одномерного случая

,

,

.

Таким образом, уравнение неразрывности в лагранжевых переменных для одномерного движения имеет вид

.

Данное уравнение можно получить и непосредственно из уравнения неразрывности в эйлеровых переменных

,

которое в одномерном случае выглядит так

.

Заменим на, тогда производнаязаменится на производную:

.

– это материальная производная, при лагранжевом описании она вычисляется как частная производная. Получим

.

2. Динамика сплошной среды

1. Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений

В механике сплошной среды различают два типа внешних сил, действующих на элемент объема сплошной среды, – массовые и поверхностные силы.

Массовой силойназывается сила, действие которой не зависит от присутствия других частей сплошной среды, кроме рассматриваемого элемента, а численное значение пропорционально массе этого элемента.

Примером массовой силы могут служить сила тяжести (гравитационные силы), электромагнитные силы, силы инерции.

Напряженностьюилимассовой плотностьюполя массовой силыназывается массовая сила, отнесенная к единице массы сплошной среды.

Например, напряженность силы тяжести равна ускорению свободного падения . Для тела, движущегося в инерциальной системе отсчета с ускорением, напряженность даламберовой силы инерции равна.

Поверхностными силаминазываются силы, приложенные к элементу сплошной среды со стороны прилегающих к нему частиц остальной части сплошной среды. Эти силы действуют на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади поверхности, на которую она действует, называетсянапряжением.

Обозначим через главный вектор поверхностных сил, действующих на площадкус нормалью.

Напряжение– это удельная поверхностная сила(Рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1

Вектор напряжений зависит от ориентации площадки . Индекс показывает, что напряжение вычислено на площадке с нормалью(это не проекция на).

Обратим внимание, что , т.е.– нечетная функция. Размерность:.

Рис. 2.1.2

Вектор напряжений на площадке с нормалью в каждой точке сплошной среды можно разложить на две составляющие – в направлении нормали(– нормальное напряжение) и касательной(– касательное или сдвиговое напряжение) к площадке(Рис. 2.1.2).

Совокупность всевозможных векторов напряжений в точкеопределяет напряженное состояние в этой точке. Задача состоит в том, чтобы научиться определять напряжение на площадке с нормалью.