1. Закон сохранения массы

Запишем закон сохранения массы в неподвижном контрольном объеме

.

Устремим к нулю и применим формулы , , получим

.

Рассмотрим

[теорема о среднем].

Таким образом, в точке имеет место равенство

– закон сохранения массына скачке в точке.

Итак, скачок расхода массы через поверхность разрыва равняется нулю, т.е. расход массы не изменяется

.

Заметим, что при этом скачок и скачокмогут быть не равными нулю.

2. Закон сохранения импульса

В интегральном уравнении баланса импульса для объема

перейдем к пределу при → 0 и применим формулы - . Получим

,

,

отсюда, деля на и устремляяк нулю, получимзакон сохранения импульсана скачке в точке

.

3. Закон сохранения энергии

Запишем закон сохранения энергии в интегральной форме для объема

.

Перейдем к пределу при → 0 и примем формулы - , при этомбудем считать непрерывной функцией, т.е.

.

Получим

.

Отсюда, деля на и устремляяк нулю, получим

– закон сохранения полной энергиина скачке в точке.

Итак, условия на поверхности сильного разрыва имеют вид

Здесь не выписано условие на момент количества движения, так как оно становится следствием баланса импульсов на скачке.

Проанализируем полученные условия, записав их применительно к совершенному газу, когда

.

Имеем

Здесь возможны два случая: поверхность разрыва распространяется по газу или покоится относительно него.

Пусть скачок и газ движутся с одной и той же скоростью, то есть

.

Такой разрыв называется контактным. Из баланса массы следует, что плотность с обеих сторон разрыва может принимать произвольные значения. Из баланса импульса, если его спроектировать на, следует, что давление непрерывно на разрыве. Уравнение баланса энергии выполняется тождественно. Касательная составляющая скороститак же, как и плотность, может принимать произвольные значения с обеих сторон разрыва. Поэтому контактный разрыв также называюткасательнымилитангенциальным. Действительно,

.

Из баланса импульса, если его спроектировать на , следует, что

,

то есть может быть не равным нулю.

Итак, на контактном разрыве плотность и касательная составляющая скорости разрывны, а давление и нормальная скорость непрерывны.

Пусть поверхность сильного разрыва распространяется по газу, то есть

.

Такой разрыв называется ударной волнойилискачком уплотнения. Запишем уравнение баланса импульсов в проекции на нормаль

и на касательный вектор

или

.

Так как, согласно балансу массы,

,

то отсюда следует, что

,

то есть на ударной волне терпит разрыв только нормальная составляющая скорости газа, а касательная составляющая непрерывна.

Уравнение баланса энергии имеет вид

.

Перейдем к энтальпии. По определению

.

Тогда

,

или

.

Так как

,

то

.

Кроме того

,

,

поэтому баланс энергии принимает вид

.

Окончательно, система балансовых уравнений на ударной волнеимеет вид

2. Соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе координат

Получим соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе координат. Выкладки выполним на примере уравнения баланса импульса.

Интегральное уравнение баланса импульса для материального объема имеет вид

.

Пусть – поверхность разрыва. Рассмотрим два момента времении. Пусть в моментсовпадает с материальной поверхностью, а в момент– с материальной поверхностью. Если, тосовпадает в пределе с. Возьмем напроизвольную точкуи получим соотношения на разрыве в этой точке. Рассмотрим малую плоскую окрестностьточки, перпендикулярную к нормалиповерхностив точке. Нормаль направим в сторону перемещения поверхности. Продолжим нормаль в обе стороны от точкидо пересечения с поверхностями,и построим прямой цилиндр с образующими, нормальными ки проходящими через границу. Осью цилиндра является отрезок нормали в точкемежду поверхностями,. Основания обозначим,.

Применим к построенному материальному цилиндру уравнение баланса импульса

Вычислим объемы и. Обозначим параметры сплошной среды перед разрывом индексом 1, за разрывом – 2, скорость поверхности разрыва в точкечерез. Площадь основания цилиндра равна, а высота зависит от времени. В моментразрыв находится на, через отрезок временион переместится насо скоростью. Поверхностьв течениедвижется со скоростью, а поверхностьимеет скорость.

В момент поверхностьдолжна находиться на таком расстоянии от(разрыва), чтобы черезразрыв догнал, т.е. высота цилиндра в моментдолжна быть(Рис. 3.4.2).

За время разрыв проходит расстояние, а поверхностьрасстояние, поэтому высота цилиндра в моментравна(Рис. 3.4.2).

Распишем интеграл по как сумму трех интегралов по основаниям и боковой поверхности цилиндра. Применим теорему о среднем к интегралам в уравнении . Получим

Знак минус перед обусловлен тем, что нормали киразнонаправлены.

Перейдем к пределу при , потом поделим наи перейдем к пределу при(стягиваем окрестность к точке). В результате получимбаланс импульсана разрыве в точкев неподвижной системе координат

или

.

Аналогично можно получить балансовые соотношения для массыиэнергии в неподвижной системе координат.

,

.

Рис. 3.4.2