2. Главные оси и главные напряжения

Тензор напряжений – это симметричный тензор второго ранга. Поэтому, как выше показано, он имеет три вещественных главных значения,и. Им соответствуют три главные оси,и. Если в качестве базиса системы координат взять главные оси, то тензор напряжений будет иметь диагональный вид

,

то есть на площадках с нормалями, являющимися базисными векторами этой системы координат, есть только нормальные напряжения.

(поне суммировать!).

Нормальные напряжения () называютсяглавными напряжениями. Вектор напряжений на произвольной площадке с нормальюможно выразить через главные напряжения

.

Состояние сплошной среды называется одноосным напряженным состоянием, если,(если, то происходит одноосное растяжение, если, то сжатие). Соответственно, двухосное напряженное состояние:,,. Трехосное напряженное состояние:.

Важной характеристикой напряженного состояния среды является первый инвариант

.

Давлениемназывается величина

.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров

.

В этой сумме первое слагаемое есть шаровой тензор, второе слагаемое называется девиатором. Такое представление тензора напряжений удобно для изучения свойств сплошной среды.

Отсюда следует выражение для девиатора тензора напряжений

.

Например, для тензора напряжений, приведенного к главным осям, разложение на шаровой тензор и девиатор имеет вид

3. Поверхность напряжений Коши

Тензорная поверхность тензора напряжений называется поверхностью напряжений Коши. Уравнение этой поверхности

.

С помощью поверхности напряжений Коши можно геометрически построить направление вектора напряжений на произвольной площадке(Рис. 2.4.1). Для этого нужно выбрать систему координат с началомна площадке, построить поверхность напряжений Коши. Из точкиперпендикулярно к заданной площадке провести вектордо пересечения с поверхностью. В точке пересечения построить нормаль к этой поверхности. Вектордолжен быть коллинеарен построенной нормали. Докажем это.

Рис. 2.4.1

По построению, , где, следовательно,. .

Направление нормали поверхности Коши совпадает с направлением .

.

Видно, что

,

т.е.

.

Следовательно, вектор напряжений должен быть коллинеарен нормали поверхности Коши.

5. Закон сохранения энергии

1. Закон сохранения энергии

Будем рассматривать сплошную среду как термодинамическую систему, изменение состояния которой обусловлено обменом энергией как между материальными частицами среды, так и с внешними телами и полями.

Состояние системы может быть равновеснымилинеравновесным. При равновесии все локальные параметры системы с течением времени не изменяются. Переход из неравновесного состояния в равновесное называетсяпроцессом релаксации.

Равновесное состояние характеризуется конечным числом параметров. Для однородных жидкостей и газов такими параметрами являются плотность или удельный объем, давлениеи абсолютная температура. Они связаныуравнением состояния

Поэтому независимыми являются любые два из трех параметров.

Важной характеристикой термодинамической системы является внутренняя энергия, равная суммарной энергии микродвижения молекул. Обозначим черезудельную (единицы массы) внутреннюю энергию сплошной среды. Другой характеристикой является кинетическая энергия, равная суммарной энергии макродвижения материальных частиц среды со скоростью. Кинетическая энергия единицы массы среды равна, а единицы объема –. Полная удельная энергия (единицы массы) сплошной среды равна

.

Обмен энергией между рассматриваемым телом и другими телами происходит за счет совершения работыиобмена теплом.Работойназывают количество энергии, переданное телом при силовом воздействии на внешние тела. Если, то тело совершает работу и его энергия уменьшается. Если, то работа совершается над телом и его энергия растет. Внешний теплообмен характеризуется количеством теплоты. Если, то тело получает тепло, и отдает его, если.

Первое начало термодинамики гласит, что количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии и совершение системой работы над внешними телами

.

Для равновесной системы с уравнением состояния работа равна

.

Рис. 2.5.1

Рассмотрим материальный объем с поверхностью(Рис. 2.5.1).

Согласно закону сохранения энергии скорость изменения во времени полной энергии материального объема равна сумме работы в единицу времени (мощности) действующих на объем внешних массовых и поверхностных сил, притока к объему тепла и других видов энергии немеханической природы.

Запишем баланс полной энергии для материального объема .

.

Изменение полной энергии тела происходит за счет работы внешних поверхностных сил, внешних массовых сил, внешнего теплообмена и взаимодействия с внешними полями, не связанного с движением частиц тела (например, поглощение электромагнитного или оптического излучения, намагничивание, электрическая поляризация и т.д.). Каждый фактор задается соответствующим интегралом справа. Здесь– мощность внешних поверхностных сил на единицу площади,– мощность внешних массовых сил в единице объема,– поверхностная плотность внешнего потока тепла в единицу времени,– массовая плотность потока энергии немеханической природы в единицу времени.

Получим балансовое уравнение полной энергии в дифференциальной форме. Для этого преобразуем интегральное уравнение аналогично тому, как это делали при получении уравнений неразрывности, импульса, момента импульса. К интегралу слева применим формулу дифференцирования, к поверхностным интегралам применим соответствующие формулы Гаусса-Остроградского, предварительно представив вектор напряжений в виде

.

Тогда

.

В силу произвольности объема и теоремы 1 получим дифференциальноеуравнение полной энергии

.

Заметим, что для приведения этого уравнения к дивергентной форме следует воспользоваться аналогом дивергентной формы ускорения

.

Запишем закон сохранения энергии для контрольного объема . Для этого воспользуемся формулой , связывающей производные по времени от интегралов по материальному и контрольному объемам, и уравнением . Получим

Если контрольный объем неподвижен, то .

Так же, как в случае законов сохранения массы, количества движения и момента количества движения, из уравнения можно получить дифференциальное уравнение баланса энергии .