2.2 Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического сигнала 47
2.2Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического сигнала
В этом разделе рассмотрена задача идентификации параметров мультигармонического сигнала: частоты, амплитуды и начальные фазы всех гармоник. Наряду с определением постоянных параметров сигнала решена задача выделения из многокомпонентного сигнала каждой гармоники.
Для вывода результата использован подход предыдущего раздела: методика синтеза алгоритма идентификации неизвестных параметров и доказательство эффективности разработанной схемы.
2.2.1 Постановка задачи
Рассматривается измеряемый сигнал вида
|
|
|
|
∑ |
|
( ) = + |
sin( + ), |
(2.68) |
|
=1 |
|
являющийся суммой гармоник с частотами , амплитудами и начальными фазами . Константы , и являются неизвест- ными. Здесь и далее символ означает номер гармоники = 1, .
Д о п у щ е н и е 2.3 Все ненулевые частоты гармоник сигнала ( ) не меньше некоторого известного числа 0, т.е. > 0.
Сформулируем цель управления как решение задачи синтеза устройства оценки, обеспечивающего для любых , , и > 0
выполнения условий
lim | − ^ ( )| |
= 0, |
lim | − ^( )| = 0, |
|
||||||
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
− |
|
|
|
→∞ | − | |
|
→∞ |
|
|
|
||||
lim |
^ ( ) |
= 0, |
lim |
|
|
^ |
|
= 0, |
(2.69) |
( ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ^( ) — текущая оценка частоты , ^( ) — текущая оценка смеще-
^
ния , ^( ) — текущая оценка амплитуды , ( ) — текущая оценка фазового сдвига .
48 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов
2.2.2Алгоритм идентификации частот смещенного мультигармонического сигнала
Известно [10, 93], что для генерирования сигнала ( ) можно использовать дифференциальное уравнение вида
( 2 − 1)( 2 − 2)· · · ( 2 − ) ( ) = 0, |
(2.70) |
где = / — оператор дифференцирования, = − 2 — постоян- ные параметры. Перепишем уравнение (2.70):
2 +1 ( ) = 1 2 −1 ( ) +· · · + −1 3 ( ) + ( ), |
(2.71) |
где параметры, полученные после раскрытия скобок в (2.70) определяются системой:
|
|
= |
|
1 1 2 |
2 |
·1· ·3 |
|
, |
−1 , |
|
2 |
|
|||||||||
|
1 |
= |
+ |
|
+ |
+ |
|
|||
.. |
|
− |
− |
|
−· · · − |
(2.72) |
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1) +1 1 2· · · . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е 2.4 |
Система (2.72) представляет собой формулы |
|||||||||
Виета. Так как параметры , |
= 1, являются корнями полино- |
|||||
ма 2 + |
2 −2 + |
+ |
2 + |
, то, на основе значений парамет- |
||
1 |
· · · |
|
|
−1 |
|
|
ров полинома , = 1, , можно однозначно определить значения корней , = 1, , решив простую алгебраическую задачу.
Переходя к изображениям Лапласа в уравнении (2.71), получа-
ем:
2 +1 2 −1 · · · 3
( ) = 1 ( ) + + −1 ( ) + ( ) + ( ), (2.73) где — комплексная переменная, ( ) = { ( )} — образ Лапласа
переменной ( ), а полином |
( ) обозначает сумму всех членов, |
|||||||||||
содержащих ненулевые начальные условия. |
|
|
|
|||||||||
Умножая обе части (2.71) на комплексное число |
|
2 |
|
|||||||||
чим |
|
|
|
|
|
( + )2 , полу- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
||||||
2 +1 |
|
( ) = 1 2 −1 |
|
|
( ) +· · · + −1 3 |
|
( ) |
|||||
( + )2 |
( + )2 |
( + )2 |
||||||||||
|
|
|
2 |
2 ( ) |
|
|
|
|||||
|
|
+ |
( + )2 |
( ) + |
( + )2 |
. |
(2.74) |
|||||
2.2. Мультигармонический сигнал |
49 |
|
|
Введем в рассмотрение вспомогательный линейный фильтр:
|
2 |
|
( ) = |
( + )2 ( ). |
(2.75) |
Подставляя (2.75) в (2.74) и выполняя обратное преобразование Лапласа, получим:
(2 +1)( ) = 1 (2 −1)( ) +· · · + (1)( ) + ( ), |
(2.76) |
где ( ) = −1 { 2 ( ) } — экспоненциально затухающая функция
( + )2
времени, определяемая ненулевыми начальными условиями.
З а м е ч а н и е 2.5 Так как экспоненциально затухающая функция ( ) зависит от , то можно увеличить скорость сходимости этой функции к нулю, увеличивая значение .
В предыдущем разделе мы не пренебрегали экспоненциальной затухающей функцией ( ) и доказали, что ее наличие не влияет на
свойство устойчивости адаптивной схемы идентификации частоты синусоидального сигнала. Аналогично, для мультигармонического сигнала. Чтобы не перегружать пособие малозначительными формулами, пренебрегая экспоненциально затухающей составляющей( ), имеем:
|
|
|
|
|
|
|
(2 +1)( ) = ( ) , |
|
(2.77) |
|||||
где |
( ) = |
(2 −1)( ) . . . |
(3)( ) |
(1)( ) |
— регрессор, |
= |
||||||||
|
|
1 |
|
−1[ |
|
|
— вектор неизвестных |
|
] |
|
||||
[ |
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
параметров. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
У т в е р ж д е н и е 2.2 ( [10, 93]) Пусть |
оценки вектора |
пара- |
|||||||||
метров настраивается следующим образом |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
(2.78) |
|||
|
|
|
|
|
( ) = ( ) |
|
( )( − ( )), |
|||||||
где = { > 0}, тогда
lim − (^ ) = 0. |
(2.79) |
|
|
|
|
→∞
50 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов
Д о к а з а т е л ь с т в о |
у т в е р ж д е н и я 2.2. Рассмотрим ошибку |
|
оценивания вектора параметров следующего вида: |
|
|
~ |
^ |
(2.80) |
( ) = − ( ). |
||
Дифференцируя (2.80), получим
_ |
_ |
|
|
|
~ |
^ |
|
|
|
( ) = |
0 − ( ) |
|
^ |
|
= − ( ) |
|
|||
|
( )( − ) |
|
||
= |
− ( ) |
|
~ |
(2.81) |
|
( ) . |
|||
Решая дифференциальное уравнение (2.81), получаем
(~ ) = (0)~ |
− Ψ( ), |
(2.82) |
где ( ) = ∫0 ( ) ( ) .
Так как сигнал ( ) содержит гармоник разной частоты, то
функция удовлетворяет условиям предельной интегральной невырожденности [20]. Следовательно, для вектора невязки справедливо соотношение:
~ |
(2.83) |
lim ( ) = 0, |
→∞
откуда следует, что вектор оценки параметров ^ стремится к ис- тинному значению (2.79).
Однако, алгоритм (2.78) технически не реализуем, так как содержит неизмеримый вектор . С учетом (2.77) перепишем (2.78)
в виде
_ |
(2 +1) |
− |
|
( )( )). |
(2.84) |
( ) = ( )( |
|||||
^ |
|
^ |
|
Переменная (2 +1)( ) не доступна для измерения, так как динамический порядок фильтра (2.75) равен 2 .
Введем в рассмотрение вектор
( ) = ( ) − ( ) |
(2 ) |
( ). |
(2.85) |
^ |
|
|