1.2 Обзор методов управления в условиях возмущающих
воздействий |
23 |
|
|
для некоторой матрицы + > 0 и = 4 ( )/ ( ),
|
_ |
( ) ≤ − ( ), где = min |
{ |
2 ( ) , |
1+ }. Таким образом, |
||
дает |
|
|
|
( ) |
|
1 |
|
система (1.4), (1.8) является экспоненциально устойчивой.
В заключение отметим, что задача стабилизации неустойчивых систем с запаздыванием и одновременной компенсации возмущения по мнению автора не решалась ранее. Используя методику Крстича, совместно с ним автору удалось решить эту задачу при допущении измеримости вектора состояния [89] и при измерении только выходной переменной объекта [90].
1.2Обзор методов управления в условиях возмущающих воздействий
Задача стабилизации систем с запаздыванием в канале управления практически не изучена для случая компенсации возмущающих воздействий. Подобная попытка была предпринята в статье [13], где рассматривался случай управления параметрически не определенным линейным объектом, подверженным влиянию внешнего возмущения. Однако авторам не удалось добиться полной компенсации возмущения.
Задача управления в условиях действия возмущения (внешнего паразитного воздействия) является классической проблемой современной теории систем. На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления при условии действия возмущений (см., например, обзор методов представленных в монографии [20]). Большинство известных подходов связано с косвенной параметризацией возмущений, которая в свою очередь, основана на принципе внутренней модели [20, 28]. При этом методы, использующие принцип внутренней модели, как правило, основываются на гипотезе о возможности представления возмущения как выхода некоторой конечномерной динамической линейной системы. В классической теории управления модель генератора полагается точно известной, что в большинстве случаев является идеализацией. Сегодня случай, когда конечномерная линейная динамическая модель генератора возмущающего воздействия имеет известные матрицы ее описания уходит из рассмотрения. Приоритет отдается иссле-
24 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи
дованию генераторов возмущений с матрицами описания, коэффициенты которых заданы не точно или неизвестны (см., например, работы [20,52,59,74–77,85–87].
Также можно выделить ряд подходов, основанных на идее “сильной” обратной связи (см., например, работы [19, 20, 39, 43, 46, 49]). В работе [43] решена задача слежения линейным стационарным объектом за задающим сигналом. Достоинствами этой работы являются измеримость лишь выходной переменной, а не ее производных или переменных состояния, неопределенность параметров объекта, а также наличие возмущающих воздействий. Но в этой работе не рассматривалось запаздывание. Методы, использующие “сильную” обратную связь не обеспечивают полной компенсации возмущающего воздействия и, в силу своей особенности (данные методы предусматривают использование большого коэффициента обратной связи), могут привести к усилению нежелательных помех измерения.
Достаточно большое число работ посвящено управлению в условиях действия неизвестного возмущающего воздействия по измерениям только выходной переменной (см., например, [2,3,6–9,20,42,52, 74–77,85–87]). В то же время пользуются популярностью задачи наблюдения и устранения возмущающего воздействия, приложенного к выходу объекта [3,4]. Однако, несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации гармонических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматривалась.
Наибольший интерес представляют задачи, где частота возмущения не известна. Однако в большинстве работ, посвященных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увеличения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою очередь, также можно отнести к нерешенным задачам идентификации частот периодических сигналов. Рассматриваемый в пособии алгоритм идентификации основыван на работах [2, 6–10, 25, 38, 41, 42, 91, 93] и имеет динамический порядок, равный трем из расчета на одну гармонику, что, в свою очередь, улучшает наиболее известные результаты, опубликованные в [52,59,74–77,96].
Разработанная методика идентификации частоты сигналов име-
1.2. Методы управления в условиях возмущений |
25 |
|
|
ющих гармоническую природу1 была расширена на задачи идентификации параметров детерминированных хаотических сигналов 2 [39,45,47,92].
В[76, 77, 85–87] рассматриваются минимально-фазовые модели объектов управления, а в [6–8] — строго минимально-фазовые с единичной относительной степенью. В [8] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в случае, когда канал управления характеризуется запаздыванием. В [9] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта управления любой относительной степени. В [6,7] решена задача компенсации неизвестного возмущения для параметрически не определенного объекта управления.
В[8,9] опубликованы результаты по компенсации синусоидального возмущения ( ) = sin( + ) соответственно для строго
минимально-фазового объекта с запаздыванием и объекта без запаздывания, модель которого имеет произвольную относительную степень. В [8] и [9] для построения регулятора был необходим искусственно реализованный блок запаздывания. В [8] размерность регулятора составляла 2 + 3, где — динамическая размерность
объекта.
В отличие от этих работ в пособии рассматривается метод компенсации возмущения для объектов с запаздыванием и произвольной относительной степенью математической модели (в том числе и неминимально-фазовых объектов), представленного в виде век-
cos( ), где , и — неизвестные |
∑ |
|
-мерные |
||
торного возмущающего воздействия ( ) = + |
|
=1 sin( ) + |
постоянные
вектор-столбцы.
Вразвитие результатов [2, 3, 6–9, 20, 42, 52, 59, 74–77, 85–87, 96]
впособии изложены алгоритмы компенсации параметрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на нелинейный и неустойчивый объект управления, относительная степень модели которого может быть любой, а канал управления характеризуется запаздыванием.
1Сигналы, являющиеся выходом линейных динамических генераторов с
мнимыми корнями характеристического уравнения.
2Сигналы, являющиеся выходом нелинейных динамических генераторов, ко-
торые являются локально неустойчивыми, глобально ограниченными и имееют странные аттракторы.
26 |
Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи |
|
|
1.3Обобщенная постановка задачи
Рассмотрим скалярный нелинейный объект с запаздыванием в канале управления, подверженного воздействию внешних возмущений (см. рис. 1.7):
_ |
= |
( ) + ( − ) + ( ( )) + ( ), |
(1.23) |
( ) |
|||
( ) |
= |
( ), |
(1.24) |
где R — недоступный для измерения вектор переменных состояния, R — выходная регулируемая переменная, доступная для измерения, R — управляющее воздействие, — известное постоянное запаздывание, ( ) — известная гладкая нелиней-
ная функция, × — матрица состояния, , и — -мерные вектор-столбцы, R — векторная функция возмущающего воз-
действия вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = + |
sin( ) + cos( ), |
(1.25) |
||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где , |
|
и — неизвестные |
постоянные -мерные |
вектор- |
|||||||||
столбцы, — неизвестная частота |
-ой гармоники. Здесь и далее |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
символ означает номер гармоники = 1, . |
|
|
|||||||||||
U(t) |
|
|
|
U(t − h) |
|
Δ(t) |
|
|
|
Y (t) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e−sh |
|
Объект управления |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рис. 1.7. Объект управления с запаздыванием и возмущением
Рассмотрим допущения относительно системы (1.23),(1.24)
До п у щ е н и е 1.1 Тройка матриц , , полностью управляема и наблюдаема.
До п у щ е н и е 1.2 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. > 0.
До п у щ е н и е 1.3 Матрица гурвицева.
1.3 Обобщенная постановка задачи |
27 |
|
|
Д о п у щ е н и е 1.4 Функция ( ) такая, |
что положение |
||
равновесия = 0 для автономной системы |
|
||
_ |
= |
( ) + ( ( )), |
(1.26) |
( ) |
|||
( ) |
= |
( ) |
(1.27) |
является экспоненцииально устойчивым.
З а м е ч а н и е 1.1 Введение допущения 1.4 необходимо для обеспечения ограниченности переменных состояния ( ) при ненуле-
вых, но ограниченных входных сигналах ( ) и ( ). В связи с этим будем рассматривать функцию ( ( )) в (1.23) как некоторый входной сигнал ( ), не влияющий на свойство устойчиво-
сти замкнутой системы управления. Отметим тот факт, что в силу постановки задачи сигнал f(t) доступен для системы управления: его значение в момент времени может быть рассчитано
как известная нелинейная функция от измеряемой функции :
( ) = ( ( )).
Рассмотрим три цели управления.
Ц е л ь у п р а в л е н и я 1 Пусть доступен |
измерению |
|
мультигармонический сигнал вида |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( ) = + |
sin( + ), |
(1.28) |
|
=1 |
|
являющийся суммой гармоник с частотами , амплитудами и начальными фазами . Константы , и являются неиз- вестными.
Требуется синтезировать устройство адаптивной иденти-
фикации параметров сигнала ( ), |
обеспечивающего для |
любых |
|||||||
, , |
и > 0 выполнения условий |
|
|
|
|
|
|||
|
lim →∞ | − ^ ( )| = 0, |
lim | − ^( )| = 0, |
|
||||||
|
|
→∞ | − |
| |
→∞ |
|
− |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
||||||
|
lim |
|
^ ( ) |
= 0, |
lim |
|
^ |
|
(1.29) |
|
( ) = 0, |
||||||||
где ^( ) |
— текущая оценка частоты , |
^( ) — текущая |
оценка |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
смещения , ^( ) — текущая оценка амплитуды |
, ( ) — теку- |
||||||||
щая оценка фазового сдвига . Этой цели посвящена глава 2.
28 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи
Ц е л ь у п р а в л е н и я 2 Пусть выполнены |
допущения |
1.1–1.4 относительно системы (1.23), (1.24). |
|
Требуется синтезировать закон управления ( ) |
по выходу, |
обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и сходимость выходной переменной к нулю:
lim ( ) = 0. |
(1.30) |
→∞ |
|
Этой цели посвящена глава 3.
Ц е л ь у п р а в л е н и я 3 Пусть ( ) = 0, и выполнены до-
пущения 1.1, 1.2 относительно системы (1.23), (1.24). Матрицаможет быть негурвицевой.
Требуется синтезировать закон управления ( ) по выходу,
обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и сходимость выходной переменной к нулю:
lim ( ) = 0. |
(1.31) |
→∞
Этой цели посвящена глава 4.