4.4. Компенсация мультигармонического возмущения 109
(4.62)
√
|
|
|
|
^ ( ) = |
^ ( ) . |
(4.72) |
|
|
|
|
|
В силу выполнения целевого условия (4.71) и результата, полученного в предыдущей главе (2.35) и (2.36), имеем предельное соотношение для частот
lim | − ^ ( )| = 0. |
(4.73) |
→∞ |
|
4.4Алгоритм компенсации мультигармонического возмущения, действующего на неустойчивый объект управления с запаздыванием
В этом разделе представлен закон управления, обеспечивающий полную компенсацию влияния возмущения на выходную переменную объекта. Алгоритм синтезируется также как и в разделе 3.1.
Из (4.50)–(4.52) имеем для выходной переменной объекта
( ) = |
[ ( )] |
( − ) + 4 + |
|
|
=1 4 sin( + 4 ) + 4( ) , (4.74) |
||||
|
|
( ) |
|
∑ |
где 4 экспоненциально стремится к нулю, = / — оператор
дифференцирования и полиномы ( ) = + |
−1+ |
· · · |
+ |
+ |
|
||||
и ( ) = |
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
+ · · · + 1 + 0, ≤ — результат преобразования |
|
|||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( − ( + ))−1 , |
|
|
(4.75) |
||
|
|
|
( ) |
|
|
||||
причем полином ( ) гурвицев.
Для реализации разработанного метода компенсации возмущения необходимо ввести следующее допущение.
Д о п у щ е н и е 4.3 Полином ( ) не имеет корней на мнимой оси.
110 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
Так как фильтр (4.65) линейный, то реакция на мультигармо-
ническое воздействие будет также мультигармонической функцией с теми же частотами. Так как полином ( + )2 гурвицев, то для
входного сигнала (4.52) выходная переменная фильтра (4.65) имеет вид
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( ) |
= + |
sin( + ) + ( ), |
(4.76) |
|
|
=1 |
|
где — смещение, — амплитуда -ой гармоники, — фазо- вый сдвиг -ой гармоники и ( ) — экспоненциально затухающая
функция с экспоненциально затухающими производными.
Для доказательства работоспособности алгоритма компенсации удобно предварительно рассмотреть так называемый “идеальный” закон управления, предполагающий знание всех параметров функции возмущения и обеспечивающий решение поставленной задачи (см. лемму 3.1).
Закон управления
( ) = − 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + − |
|
|
|
) |
, |
(4.77) |
||||||||||||||
0( + ) − =1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
( ) |
|
, |
|
|
= arg |
( ) |
|
, |
|
(4.78) |
||||||||||||
0 = |
|
0 , |
= |
( ) |
|
( ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
= arg |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(4.79) |
||||||||
( + )2 |
( + )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обеспечивает сходимость |
к нулю |
выходной переменной ( ) и вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
полнение цели (4.4).
В самом деле, подставляя (4.77) в (4.74) и учитывая результат леммы 3.1, имеем
( ) = |
[ ( ) |
] |
(− 0 − |
|
( − |
|
|
|
)) |
|||||
=1 |
||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
1 |
|
∑ |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ + |
|
( ) + ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.80) |
||
4.4. Компенсация мультигармонического возмущения 111
где 2( ) — экспоненциально затухающая функция, откуда следует
выполнение цели (4.4).
Однако закон управления (4.77) физически не реализуем, так как содержит неизвестные и недоступные для измерения функции и упредительные оценки функций времени. В случае постоянного сигнала предсказывание не представляет проблему, так как такая функция не зависит от времени, что нельзя сказать о гармонической функции. В лемме 3.2 показана схема получения упредитель-
ной оценки гармонического сигнала.
Далее представлены наблюдатели переменных 0( ), ( ) и _ ( ).
Как и в главе 2 мы пренебрегаем экспоненциально затухающей составляющей ( ) и дифференцируем (2.91) 2 раз. Затем получаем
две системы из линейных уравнений (2.95) и (2.96) или два матричных уравнения (2.97) и (2.98), откуда имеем
|
1 |
( ) |
|
|
|
1 |
|
... 2( ) |
|
|
2 |
||||
= |
...1 |
||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
· · · |
||
2 |
· · · |
||
2 |
|||
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
2 |
· · · |
||
|
−1 |
|
|
(2)( ) |
|
|
(4.81) |
|
|
|
|
(4)( ) |
|
||||
2 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_2 |
( ) |
1 |
|||
|
_1 |
( ) |
|
|
1 |
... |
|
|
= |
... |
|
|
_ |
|
|
|
−1 |
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1· · ·
2 |
· · · |
||
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
−1 |
· · · |
||
2 |
|||
1
...
−1
|
−1 |
|
|
(1)( ) |
|
||
|
|
(3)( ) |
|
||||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
− |
1) |
( ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. (4.82)
З а м е ч а н и е 4.2 Обратные матрицы в (4.81) и (4.82) существуют, так как в силу постановки задачи возмущающее воздействие ( ) имеет гармоник различной частоты.
Реализуемый алгоритм оценки переменных ( ) и _ ( ) примет вид:
|
^ |
( ) |
|
|
^ |
1 |
|
|
1 |
||
^2( ) |
^12 |
||||
... |
|
|
= |
... |
|
|
^ |
|
|
|
^ |
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
· · · |
||
2 |
|||
^2 |
· · · |
||
2 |
|||
. . |
. |
|
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
^ |
· · · |
||
2 |
|||
^ |
|
−1 |
|
|
(2) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
(4.83) |
||||||
^ |
|
|
|
( ) |
|||||
2 |
|
|
... |
(4) |
|
|
. |
|
|
... |
|
|
|
|
|
||||
^ |
|
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
|
^ |
|
|
^1 |
|
|
^1 |
|
|||||
|
_ ( ) |
|
1 |
|
||
|
2( ) |
|
|
|
||
.. |
= ... |
|
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
^ |
− |
1 |
|
_ ( ) |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1· · ·
^· · ·
2
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
^ −1 |
· · · |
||
2 |
|||
1 |
|
−1 |
|
(1)( ) |
^ |
|
(3)( ) |
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
. |
|
. |
||
^ − |
|
(2 −1)( ) |
||
|
1 |
|
|
|
. (4.84)
Наблюдатель общего смещения получим на основе (3.27):
|
|
|
|
^ |
|
^ |
|
0( ) |
= ( ) − |
∑ |
(4.85) |
( ). |
|||
|
|
=1 |
|
Так как выполнены соотношения (4.71), (4.73), то из (4.81)– (4.85) имеем
− ^
lim 0( ) 0( ) = 0, (4.86)
→∞
− ^
lim ( ) ( ) = 0, (4.87)
→∞
→∞ |
|
|
( ) |
− |
^ |
|
|
= 0. |
(4.88) |
|
|||||||||
lim |
|
_ |
|
_ |
( ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В следующем утверждении представлен реализуемый алгоритм компенсации параметрически не определенного возмущающего воздействия для нелинейного объекта управления с запаздыванием.
У т в е р ж д е н и е 4.1 Рассмотрим объект управления |
(4.1), |
(4.2), первый наблюдатель (4.8), (4.9) и закон управления |
|
( ) = ( ) + [ ^1( ) + ∫ − ( − ) ( ) ], |
(4.89) |
где вектор-строка такая, что матрица ( + ) гурвицева,
( ) = − |
1 |
^ |
( ) − |
0 |
0 |
∑ 1
^
=1 ( )
|
1 |
^ |
^ |
|
_ |
( ) ( ) + |
^ |
( ) ( ), (4.90) |
|
( ) |
|
4.4. Компенсация мультигармонического возмущения 113
( ) = cos ( ^ ( ) − ^ ( )) , |
|
|
|
|||||
( ) = |
sin ( ^ ( ) − ^ ( )) |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
( ^ ( )) 2 |
|
|
|
|
||
^ ( ) = |
|
|
, |
|
||||
( ^ ( ))( ^ ( ) + )2 |
|
|||||||
|
|
|
( ^ ( )) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( ) = |
arg |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( ^ ( ))( ^ ( ) + )2 |
|
|||||
(4.91)
(4.92)
(4.93)
(4.94)
оценка частоты ^ ( ) определяется адаптивным алгоритмом идентификации (4.68)–(4.70), (4.72), входной сигнал для фильтра
(4.70) ~ |
|
^ |
^ |
^ |
( ) определен в теореме 4.1, функции |
_ |
|||
2 |
0 |
( ), ( ), ( ) опре- |
||
делены в (4.83)–(4.85), а переменные ( ) вводятся также, как и в главе 2:
( ) |
= |
{ 0 |
иначе, |
> 0 |
(4.95) |
|
|
^ ( ) |
для ^ ( ) |
, |
|
где 0 — известная нижняя граница частот . C учетом допуще- ний 4.1–4.3, выходная переменная замкнутой системы ограничена
и стремится к нулю |
|
|
|
|
lim ( ) = 0. |
(4.96) |
|
|
→∞ |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 4.1. Как и в теореме 3.1 |
|||
рассмотрим ошибку в управлении |
|
|
|
~ |
= ( ) − |
|
(4.97) |
( ) |
( ). |
||
Ошибка ~ |
|
( ) является ограниченной функцией и при этом стре- |
|
мится к нулю: |
|
~ |
(4.98) |
lim ( ) = 0. |
|
→∞
Компонента управляющего воздействия, обеспечивающая компенсацию возмущения, имеет вид
1 |
|
1 |
||
∑ |
||||
|
|
|
||
|
|
|
||
( ) = − 0 0( + )− =1 |
|
|||
( + − |
|
) |
+ ~ ( ). (4.99) |
||
|
|
+ |
|
|
|
114 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
Результат (4.96) следует из леммы 4.1 и леммы 3.1 (см. (4.80)). В самом деле, подставляя (4.99) в (4.74) и учитывая результат
леммы 3.1, имеем
( ) = |
[ ( ) |
](~ ( ) − 0 − |
|
( − |
|
|
|
)) |
||||||||
=1 |
||||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
1 |
|
∑ |
1 |
|
|
+ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + |
∑ |
( ) + ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( ) + 2( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.100) |
|||||
где функция ( ) |
= |
[ ( ) ] |
~ ( ) ограничена и стремится к нулю, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( ) — экспоненциально затухающая функция, откуда следует вы-
полнение цели (4.96).
Подставляя ( + − ) вместо ( , ) в (4.17) и делая замену переменных = + − , получим (4.89). Таким образом, утверждение 4.1 доказано.
З а м е ч а н и е 4.3 Следует отметить, что в случае неточного задания параметров объекта рассматриваемый алгоритм управления может оказаться неудовлетворительным. Разработка робастных алгоритмов, обеспечивающих достижение сформулированной цели управления в случае неточно заданных параметров, является предметом дальнейших исследований.