82 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием
7 
6 |
|
|
|
|
|
ωˆ1 |
|
|
|
|
|
ωˆ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, c |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
0 |
(а) Временная диаграмма оценки частот ^ ( )
2
a
1,5
b
1
0,5
0
−0,5
−1
−1,5
t, c
−2
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
(б) Временная диаграмма выходной переменной ( ) без управления (a) и
с управлением (b)
Рис. 3.4. Временные диаграммы оценки частот возмущения 1 = 1, 2, 2 = 3 при 0 ≤ < 150 и 1 = 2, 2 = 4 при ≥ 150 и выходной переменной ( ) при запаздывании = 4 и коэффициентах
идентификатора = 3, 1 = 20, 2 = 20
3.2Алгоритм компенсации мультигармонического возмущения, действующего на устойчивый нелинейный объект управления с запаздыванием
В данном разделе рассмотрена задача компенсации параметрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на нелинейный объект управления с запаздыванием.
Задача синтеза управления решается в два этапа. Сначала (в разделе 3.2.3) строится адаптивный идентификатор частоты возмущающего воздействия. Далее (в разделе 3.2.4) с использованием оценки частоты синтезируется реализуемый закон управления, компенсирующий эффект возмущения на выходе объекта.
3.2. Управление нелинейным объектом |
83 |
|
|
3.2.1Постановка задачи
Рассмотрим нелинейный объект управления с запаздыванием, подверженный внешнему возмущающему воздействию [10,91,93]:
_ |
( ) + ( − ) + ( ( )) + ( ), |
(3.62) |
( ) = |
||
( ) = |
( ), |
(3.63) |
где R — вектор переменных состояния, R — выходная регулируемая переменная, доступная для измерения, R — управляющее воздействие, — известное постоянное запаздывание, ( )
— известная гладкая нелинейная функция, × — матрица состо- яния, , и — -мерные вектор-столбцы, R — векторное
возмущающее воздействие вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
( ) = + |
sin( ) + cos( ), |
(3.64) |
|||
|
|
=1 |
|
|
|
|
где , |
и — неизвестные |
постоянные -мерные |
вектор- |
|||
столбцы, — неизвестная частота |
-ой гармоники. Здесь и далее |
|||||
|
|
|
|
|||
символ означает номер гармоники = 1, . |
|
|||||
До п у щ е н и е 3.5 Тройка матриц , , полностью управляема и наблюдаема.
До п у щ е н и е 3.6 Матрица гурвицева.
До п у щ е н и е 3.7 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. > 0.
До п у щ е н и е 3.8 Функция ( ) такая, что положение равновесия = 0 для автономной системы
_ |
= |
( ) + ( ( )), |
( ) |
||
( ) |
= |
( ) |
является экспоненцииально устойчивым.
84Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием
За м е ч а н и е 3.4 Введение допущения 3.8 необходимо для обеспечения ограниченности переменных состояния ( ) при ненуле-
вых, но ограниченных входных сигналах ( ) и ( ). В связи с этим будем рассматривать функцию ( ( )) в (3.62) как некоторый входной сигнал ( ), не влияющий на свойство устойчи-
вости системы. Отметим тот факт, что в силу постановки задачи сигнал f(t) доступен для системы управления: его значение в момент времени может быть рассчитано как известная
нелинейная функция от измеряемой функции : ( ) = ( ( )).
Требуется синтезировать закон управления ( ) по выходу,
обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и сходимость выходной переменной к нулю:
lim ( ) = 0. |
(3.65) |
→∞
3.2.2Преобразование нелинейной системы
В данном разделе получено решение для выходной переменной ( )
системы (3.62), (3.63) и выполнен анализ устойчивости нелинейной системы.
Рассмотрим изображение по Лапласу выходной переменной замкнутой системы (3.62) и (3.63) с учетом замечания 3.4 [10,91,93]:
( ) |
= ( − )−1 − ( ) + ( − )−1 ( ) |
|
|
+ ( − )−1 [ ( ) + 0] , |
(3.66) |
где 0 означает начальные условия вектора состояния ( ). Введем обозначение
( ) = |
( − )−1 [ ( ) + 0] , |
(3.67) |
||||||||
( ) = |
( − )−1 ( ), |
|
|
(3.68) |
||||||
где ( ) легко найти из (3.64): |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = + |
2 + 2 |
+ 2 |
+ 2 . |
|
||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Управление нелинейным объектом |
85 |
|
|
После обратного преобразования Лапласа в уравнении (3.66), учитывая (3.67) и (3.68), получим выражение для выходной переменной ( ):
( ) |
= |
[ ( )] |
( − ) + ( ) + ( ), |
(3.69) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
где = / — оператор диффернцирования, полиномы ( ) = +
−1 −1 + · · · + 1 + 0 и ( ) = + · · · + 1 + 0, 6
соответствуют преобразованию
( ) = ( − )−1 .( )
Д о п у щ е н и е 3.9 Полином ( ) не имеет корней с нулевой вещественной частью.
Так как матрица гурвицева, то нетрудно видеть, что функция( ) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( ) |
= |
+ |
sin( + ) + ( ), |
(3.70) |
|
|
|
=1 |
|
где — смещение, |
|
— амплитуда, — фазовый сдвиг, |
( ) — |
|
экспоненциально затухающая функция. |
|
|||
З а м е ч а н и е 3.5 C учетом допущения 3.8 и замечания 3.4 при нулевых ( ) и ( ) имеем
( ) = ( ), |
(3.71) |
при этом справедливо предельное равенство →∞ ( ) = 0. Исходя из этого, переформулируем цель управления (3.65) следующим образом: регулятор ( ) должен скомпенсировать реакцию
выхода объекта на возмущающее воздействие ( ) в (3.69).
З а м е ч а н и е 3.6 Так как функция ( ) — результат переход-
ного процесса в устойчивой линейной системе с гурвицевой матрицей состояния, то эта функция может быть представлена в виде суммы затухающих экспонент, умноженных на константы, полиномиальные или синусоидальные функции времени. Следовательно, производные этой функции также экспоненциально затухают.