Глава 4
Компенсация мультигармонических возмущений для неустойчивых объектов с запаздыванием в управлении
Данная глава посвящена методам синтеза адаптивных и робастных алгоритмов управления неустойчивыми объектами в условиях запаздывания и возмущающих воздействий. Рассматриваются линейные неустойчивые объекты с постоянным запаздыванием в канале управления. Возмущающее воздействие представлено в виде мультигармонической функции времени с неизвестными постоянными параметрами. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи.
В данной главе предлагается новый метод синтеза алгоритма компенсации мультигармонического возмущающего воздействия для неустойчивого объекта управления с запаздыванием в канале управления. Несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации мультигармонических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматривалась. Особо отметим, что задача стабилизации неустойчивых систем с запаздыванием в управлении с одновременной компенсацией смещенного синусоидального возмущения впервые была поставлена и решена в [89,90].
Алгоритм стабилизации неустойчивой системы с запаздыванием основан на решении уравнения в частных производных первого по-
4.1 Постановка задачи |
97 |
|
|
рядка (“transport PDE”) [70], [68] с использованием процедуры бэкстеппинг [69]. Закон управления по выходу формируется из двух составляющих: первая расчитывается из соображений стабилизации неустойчивой системы, и вторая — для компенсации возмущения.
В разделе 4.2 решена задача стабилизации. Представление блока запаздывания в виде уравнения в частных производных необходимо для применения процедуры “backstepping” [70]. Разработан регулятор на основе предиктора Крстича, стабилизирующий систему с возмущением. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи. В разделе 4.3 построен адаптивный наблюдатель возмущающего воздействия, обеспечивающий оценку всех частот. В разделе 4.4 получен алгоритм расчета комбинированного алгоритма управления, способного стабилизировать объект и компенсировать при этом возмущающее воздействие. Рассмотрен числовой пример для демонстрации эффективности разработанного алгоритма.
4.1Постановка задачи
Рассмотрим неустойчивый линейный объект управления с запаздыванием, подверженный внешнему возмущающему воздействию [89,90]
_ |
= |
( ) + ( − ) + ( ), |
(4.1) |
( ) |
|||
( ) |
= |
( ), |
(4.2) |
где R — вектор переменных состояния, R — выходная регулируемая переменная, доступная для измерения, R — управляющее воздействие, — известное постоянное запаздывание, ×
—матрица состояния, которая может быть неустойчивой, и
—-мерные вектор-столбцы, R — векторное возмущающее
воздействие вида
|
|
|
|
∑ |
|
( ) = + |
sin( ) + cos( ), |
(4.3) |
|
=1 |
|
где , и — неизвестные постоянные -мерные векторстолбцы, — неизвестная частота -ой гармоники. Здесь и далее символ означает номер гармоники = 1, .
98Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
До п у щ е н и е 4.1 Тройка матриц , , полностью управляема и наблюдаема.
До п у щ е н и е 4.2 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. > 0.
Требуется синтезировать закон управления ( ) по выходу, обес-
печивающий ограниченность всех траекторий системы и сходимость выходной переменной к нулю:
lim ( ) = 0. |
(4.4) |
→∞
4.2Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта управления с запаздыванием
В данном разделе рассмотрен метод синтеза предиктора, стабилизирующего неустойчивую систему с запаздыванием и возмущающим воздействием (4.1), (4.2).
Следуя результатам [70, 89, 90], представим блок запаздывания в виде уравнения в частных производных
( , ) = ( , ), |
0 < < , |
(4.5) |
( , ) = ( ) |
|
(4.6) |
с начальным условием ( , 0) = ( − ). Решение такого уравнения имеет вид ( , ) = ( + − ), следовательно, выражение (0, ) =( − ) описывает запаздывающий сигнал управления. Перепишем (4.1) в следующем виде
|
_ |
|
|
|
|
(4.7) |
|
( ) = ( ) + (0, ) + ( ). |
|
||||
Рассмотрим наблюдатель |
|
|
|
|||
_ |
|
|
^ |
~ |
|
|
^ |
( ) |
= |
( ), |
(4.8) |
||
1 |
1 |
( ) + (0, ) + 1 |
||||
^ |
( ) |
= |
^ |
( ), |
|
(4.9) |
1 |
1 |
|
||||
4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта |
99 |
|
|
и ошибку наблюдения |
|
|
|
|
|
|
~ |
( ) |
= |
^ |
( ), |
(4.10) |
|
1 |
( ) − 1 |
|||||
_ |
|
|
|
~ |
|
|
~ |
( ) |
= |
|
( ) + ( ), |
(4.11) |
|
1 |
( − ) 1 |
|||||
~ |
( ) |
= |
~ |
|
|
(4.12) |
1 |
1( ), |
|
|
|||
где вектор выбирается из условия гурвицевости матрицы |
− . |
||||||
Следуя методу бэкстеппинг [70], [68], рассмотрим преобразова- |
|||||||
ние [90] |
|
|
|
|
|
|
|
^( , ) |
= ( , ) − ( , ) − |
^ |
( ) |
|
|||
1 |
|
||||||
|
|
− ∫0 ( − ) ( , ) |
|
|
|||
|
|
+ ∫ ( + − ) ~( , ) , |
(4.13) |
||||
~( , ) |
|
~ |
|
|
|
|
(4.14) |
= 1( + − ), |
|
|
|||||
~ ( , ) |
= |
~ ( , ), |
|
|
|
(4.15) |
|
~( , ) |
= |
~ |
|
|
|
|
(4.16) |
1( ), |
|
|
|
||||
и закон управления |
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( , ) + |
^ |
|
|
|
|||
1( ) |
|
|
|
||||
|
|
+ ∫0 |
( − ) ( , ) . |
|
(4.17) |
||
Такая замена переменных позволяет преобразовать исходный объект (4.7) в устойчивую систему
_ |
|
( ) = ( + ) ( ) + (0, ) |
|
+ ( ) + ^(0, ) + ( ), |
(4.18) |
( , ) = ( + − ), |
(4.19) |
( , ) = ( , ), |
(4.20) |
( , ) = ( ), |
(4.21) |
^ ( , ) = ^ ( , ), |
(4.22) |
^( , ) = 0, |
(4.23) |
100 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
где R — новый входной управляющий сигнал, который бу-
дет синтезирован для компенсации эффекта возмущения, функция^(0, ) стремится к нулю за конечное время, матрица выбирается
из условия гурвецевости матрицы + , функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.24) |
( ) = + |
sin( ) + cos( ) |
|||
|
∑ |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
является мультигармонической, где , |
|
|
— постоянные |
|
|
|
|
and |
|
( × 1)-векторы, и ( ) — экспоненциально затухающая функция,
| ( )| ≤ − , где , > 0.
Л е м м а 4.1 Функция ^( , ) удовлетворяет уравнению в част-
ных производных (4.22),(4.23). |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы |
4.1. Продифференцируем (4.13) |
|||
по времени и по пространственному аргументу |
||||
^ ( , ) = ( , ) − ( , ) − |
^ |
|
|
|
1( ) − ( , ) |
||||
− ~( , ) − ∫0 ( − ) ( , ) |
||||
+ ∫ ( + − ) ~( , ) . |
|
(4.25) |
||
|
^_ |
|
|
|
^ ( , ) = ( , ) − ( , ) − |
1( ) |
|
|
|
− ∫0 ( − ) ( , ) + ∫ ( + − ) ~ ( , ) |
||||
= ( , ) − ( , ) − |
^ |
|
|
(0, ) |
1( ) − |
|
|||
− ~( , ) − ( , ) + (0, ) + ~( , )
∫
− ~( , ) − ( − ) ( , )
0
∫
+ ( + − ) ~( , )
4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта |
101 |
||
= ( , ) − ( , ) − |
^ |
( ) − ( , ) |
|
1 |
|
||
− ~( , ) − ∫0 ( − ) ( , ) |
|
||
+ ∫ ( + − ) ~( , ) |
|
|
|
= ^ ( , ). |
|
|
(4.26) |
Таким образом, функция ^( , ) удовлетворяет уравнению в част-
ных производных, описывающему временное запаздывание. Выберем функцию управления с учетом (4.6) и (4.13) так, чтобы
^( , ) равнялась нулю
( ) = ( , ) |
|
|
|
|
|
|
= ( , ) + ^1( ) + ∫0 |
( − ) ( , ) , |
(4.27) |
||||
^( , ) = 0. |
|
|
|
|
|
(4.28) |
Лемма 4.1 доказана. |
|
|
|
|
||
Подставляя = 0 в (4.13), получим |
|
|
|
|||
(0, ) = (0, ) + ^(0, ) + ^( ) − ∫0 |
( − ) ~( , ) . (4.29) |
|||||
После подстановки (4.29) в (4.1) имеем |
|
|
|
|||
_ |
|
|
^ |
|
|
|
( ) = ( ) + (0, ) + ( ) + ( ) + ^(0, ) |
|
|||||
− ∫0 ( − ) ~( , ) |
|
|
~ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= ( + ) ( ) + (0, ) + ^(0, ) + ( ) − ( ) |
||||||
− ∫0 |
( − ) ~( , ) . |
|
|
(4.30) |
||
Введем в рассмотрение функции |
|
|
|
|||
1( ) |
= |
~ |
|
|
(4.31) |
|
1( ), |
|
|
||||
2( ) |
= |
∫ ( − ) ~( , ) . |
(4.32) |
|||
0
102Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
Ле м м а 4.2 Функции 1( ) и 2( ), определенные в (4.31), (4.32), являются мультигармоническими с дополнительными экспоненциально затухающими составляющими:
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
1( ) |
= |
1 + |
( 1 sin( ) + 1 cos( )) + 1( ), |
(4.33) |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
2( ) |
= |
2 + |
( 2 sin( ) + 2 cos( )) + 2( ), |
(4.34) |
|
|
=1 |
|
|
где 1, 1 , 1 , 2, 2 , 2 |
— кнстанты, 1( ) и 2( ) — экспонен- |
|||
циально затухающие функции. |
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 4.2. Переходя к образам Лапаласа в (4.11), выделим вектор состояния модели ошибки наблюдателя
|
|
~1( ) |
= |
( − ( − ))−1 [ ( ) + ~1(0)], |
(4.35) |
|||
где ~ |
(0) |
означает начальные условия ~ |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
1( ). |
|
||
Используя (4.12), (4.31) и (4.35), получим изображение по Ла- |
||||||||
пласу для 1( ) |
и ~ |
|
|
|
||||
|
( ) |
[ ( ) + ~1(0)], |
|
|||||
|
|
1 |
( ) |
|
= |
( − ( − ))−1 |
(4.36) |
|
|
|
~1 |
( ) |
|
= |
( − ( − ))−1 |
[ ( ) + ~1(0)]. |
(4.37) |
Из (4.3) имеем выражение для ( )
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = + |
2 + 2 |
+ 2 + 2 . |
(4.38) |
||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как матрица − гурвицева, после обратного преобразования Лапласа (4.36)-(4.38) получим (4.33) и
|
|
|
|
~ |
|
∑ |
|
1( ) |
= 3 + |
||
( 3 sin( ) + 3 cos( )) + ˜( ), (4.39) |
|||
|
|
=1 |
где 3, 3 , 3 — константы, 3( ) — экспоненциально затухающая функция.
4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта 103
З а м е ч а н и е 4.1 Так как функция 3( ) — результат переходного процесса в устойчивой линейной системе с гурвицевой матрицей состояния, то эта функция может быть представлена в виде суммы затухающих экспонент, умноженных на константы, полиномиальные или синусоидальные функции времени. Следовательно, производные этой функции также экспоненциально затухают.
Рассмотрим функцию 2( ) с учетом (4.14), (4.32) и (4.39)
∫
2( ) = ( − ) ~( , ) +
0
∫
= ( − ) 3 +
0
∫
∑
+( − ) 3 sin( ( + − ))
=1 0
∫
∑
+( − ) 3 cos( ( + − ))
=1 |
0 |
|
+ ∫0 |
( − ) 3( + − ) . |
(4.40) |
Анализируя интегралы в (4.40), находим, что правая часть уравнения является суммой константы, ограниченной гармонической функции с частотой
времени. Таким образом, 2( ) имеет вид (4.34), где
2 |
= |
∫0 |
|
( − ) 3 , |
(4.41) |
|
2 |
= |
∫0 |
|
( − ) ( 3 cos( ( − ))− 3 sin( ( − ))) , |
(4.42) |
|
2 |
= |
∫0 |
|
( − ) ( 3 sin( ( − ))+ 3 cos( ( − ))) , |
(4.43) |
|
2 |
= |
∫ |
|
( − ) 3( + − ) . |
(4.44) |
|
0