104 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
Этот факт объясняется тем, что интервал интегрирования конечен, откуда следует, что функции 2, 2 , 2 ограниченны, а также
они не зависят от времени.
Перепишем (4.30) следующим образом
_ |
= |
( + ) ( ) + (0, ) + ( ) |
|
( ) |
|
||
|
|
+ ^(0, ) − 1( ) − 2( ), |
(4.45) |
( ) |
= |
( ). |
(4.46) |
Используя лемму 4.1, лемму 4.2 и (4.19), перепишем уравнение объекта (4.1) в виде
_ ( ) = ( + ) ( ) + ( − ) + ( )
+ ^(0, ) + ( ). |
(4.47) |
Таким образом, получена устойчивая система вида (4.18), (4.24)
где
|
|
|
(4.48) |
= − 1 − 2, |
= − 1 − 2 , |
||
|
= − 1 − 2 , |
( ) = − 1( ) − 2( ). |
(4.49) |
|
|||
Мы показали, что регулятор (4.17) преобразует исходную систему в устойчивую ( выбирается из условия гурвицевости матрицы
+ ) с новым запаздывающим управлением ( − ). Новое возмущение — неизвестная мультигармоническая функция, новое
входное возмущение ^(0, ) представляет собой эффект начальных условий и стремится к нулю за секунд. Компонента ( ) —
экспоненциально затухающая функция.
Будем использовать модель (4.47), (4.2) для синтеза алгоритма компенсации возмущающего воздействия, реализуемого за счет нового входного сигнала ( ).
4.3Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического возмущения
После того, как был получен алгоритм стабилизации неустойчивого объекта с запаздыванием, можно перейти к синтезу алгорит-
4.3. Идентификация параметров возмущения |
105 |
|
|
ма компенсации возмущения. Для этого сначала требуется построить адаптивный наблюдатель возмущающего воздействия, включая схему идентификации частот всех гармоник.
Рассмотрим наблюдатель
_ |
|
^ |
|
|
|
|
^ |
|
( ) + ( − ) , |
(4.50) |
|||
2 |
( ) = ( + ) 2 |
|||||
^ |
^ |
|
|
|
(4.51) |
|
2 |
( ) = 2( ) . |
|
|
|
||
Т е о р е м а 4.1 |
Сигнал невязки |
~ |
^ |
^ |
|
|
|
|
2 |
= − 2, где |
2 — выходная |
||
переменная наблюдателя |
(4.50), (4.51), — выходная переменная |
|||||
замкнутого контура (4.1), (4.2), (4.17), имеет вид |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
∑ |
|
|
|
|
2( ) = 4 + |
|
|
|
(4.52) |
||
4 sin( + 4 ) + 4( ), |
||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
где 4, 4 и 4 — константы, 4( ) и ее производные ограничены экспоненциально сходящейся функцией.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы 4.1. Невязка ~ |
|
^ |
||
влетворяет уравнению |
|
2 |
= − 2 удо- |
||
_ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
(4.53) |
|
2 |
( ) = ( + ) 2( ) + ( ) + ^(0, ) + ( ). |
||||
Рассмотрим вспомогательную систему |
|
|
|
||
|
_ |
~ |
|
|
|
|
~ |
( ) + ( ) . |
(4.54) |
||
|
( ) = ( + ) ( ) + |
||||
Так как матрица ( + ) гурвицева, и — мультигармоническая
функция, нетрудно видеть, что выходная переменная этой системы имеет вид
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
∑ |
|
|
|
( ) = ( ) = 4 + |
( ), |
(4.55) |
|||
4 sin( + 4 ) + 0 |
|||||
|
|
=1 |
|
|
|
где 4, 4 и 4 — константы, и 0( ) ограничена экспоненциально
затухающей функцией. |
~ |
|
Для ошибки ~ ~ |
|
|
= 2 |
− имеем |
|
_ |
~ |
|
~ |
(4.56) |
|
( ) = ( + ) ( ) + ^(0, ). |
||
106 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
Как и в [70,90] рассмотрим функцию Ляпунова
|
( ) = ~ ( ) ~ ( ) + |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(1 + ) ^( , )2 , |
(4.57) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||
где = > 0 — решение уравнения Ляпунова |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
( + ) + ( + ) = − |
(4.58) |
|||||||||||||||||||
для некоторого |
+ > 0, и параметр |
> 0, который будет |
||||||||||||||||||||
выбран далее при анализе. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
_ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
||
( ) = ( )( ( + ) |
|
|
|
+ ( + ) ) ( ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+ 2 ~ |
|
|
|
|
|
|
^(0, )2 − |
∫0 |
^( , )2 , |
|
|||||||||||
|
( ) ^(0, ) − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
~ ( ) |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
^( , )2 . |
(4.59) |
|||||||||||||||
|
6 − ~ ( ) ~ ( ) + |
|
|
− 2 ∫0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ( |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(4.60) |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где и — максимальное и минимальное собственные числа соответствующих матриц. Тогда
_ |
( ) 6 − |
( ) |
|
~ ( ) |
|
2 |
|
2 ( |
|
) |
∫0 |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
− |
|
( ) |
|
|
|
^( , )2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
2 ( |
|
) |
|
|
|
||||||||||||
|
6 − |
~ |
|
|
− |
|
∫0 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
( ) |
|
|
|
(1 + ) ( ) |
(1 + ) ^( , ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= − |
~ |
|
|
− |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
( ) |
|
|
2(1 + ) |
(1 + ) ^( , ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − 1 ( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.61) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
~} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким |
|
{ |
|
~ |
|
|
|
|
экспоненциально затухает. Так как |
|||||||||||||
где 1 = min |
|
( ) |
, |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 ( ) |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
образом, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( ) = ( ) + ( ), |
|
|
|
|
|||||||||||
4.3. Идентификация параметров возмущения |
107 |
|
|
то с учетом (4.55) имеем (4.52), где 4( ) состоит из затухающих экспонент, умноженных на полиномы и синусоиды (после секунд) и таким образом, 4( ) и ее производные экспоненциально затухают.
Как и в главе 2 для построения адаптивного идентификатора частот мультигармонического сигнала ~
( ) будем использовать
дифференциальное уравнение вида
( |
2 |
− 1)( |
2 |
− 2)· · · ( |
2 |
~ |
(4.62) |
|
|
|
− ) ( ) = 0, |
где = / — оператор дифференцирования, = − 2 — постоян- ные параметры. Мы пренебрегли наличием экспоненциальной затухающей функцией ~( ), которая не влияет на устойчивость работы
алгоритма идентификации частот, что показано в главе 2. Перепишем уравнение (4.62):
2 +1 ~ 2 −1 ~ · · · 3 ~ ~
( ) = 1 ( ) + + −1 ( ) + ( ), (4.63)
где параметры, полученные после раскрытия скобок в (4.62) определяются системой:
|
= |
1 1 2 |
2 |
·1· ·3 |
|
|
−1 , |
|
2 |
, |
|||||||
1 |
= |
+ |
|
+ |
+ |
|
||
.. |
− |
− |
|
−· · · − |
(4.64) |
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1) +1 1 2· · · . |
|
|||||||
Как и в главах 2, 3 рассмотрим линейный фильтр вида
( ) |
= |
[ |
2 |
] ~ ( ). |
(4.65) |
( + )2 |
108 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием
Перепишем (4.65) в форме вход-состояние-выход:
_2 |
( ) = 3 |
( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
_1 |
( ) = 2 |
( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
( ) = |
2 |
~ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− · · · − |
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) = ( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.66) |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ( ) = +1( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 ) |
= |
2 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− · · · − |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где числа 1, 2, . . . , 2 соответствуют коэффициентам полинома
( + )2 = 2 + 2 2 −1 + · · · + 2 + 1. |
(4.67) |
Далее представлен адаптивный алгоритм идентификации параметров вектора , содержащего значения частот . Алгоритм
адаптации вида
|
|
( ) |
= |
( ) + ( ) |
(2 ) |
( ), |
|
|
|
(4.68) |
||||||
|
|
^ |
|
− ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
= |
|
|
( )( ) − ( ) |
|
( ), |
(4.69) |
|||||||
|
|
_ |
|
|
|
|
|
^ |
_ |
|
(2 ) |
|
|
|
||
|
|
( ) = |
[ |
|
2 |
|
|
] ~ ( ). |
|
|
|
|
(4.70) |
|||
|
|
( + )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
( ) |
= (2 |
1)( ) |
. . . (3)( ) |
(1)( ) |
— регрессор, |
|
= |
||||||||
1 |
. . . |
−1[ |
− |
— |
вектор |
неизвестных] |
параметров, |
|
= |
|||||||
[ |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diag{ > 0}, обеспечивает сходимость к нулю ошибки оценивания
(~ ) = − (^ ):
lim − (^ ) = 0. |
(4.71) |
|
|
|
|
→∞
Доказательство эффективности алгоритма (4.68)–(4.70) и выполнение цели (4.71) представлено в главе 2.
В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать,
что на основе вектора оценок измерению доступны оценки пара- метров . Частоты мультигармонического возмущения найдем из