2.1. Смещенный синусоидальный сигнал |
37 |
|
|
0( ) ∞ в сигнале (2.1) |
|
( ) = + sin( + ) + 0( ), |
(2.38) |
легко показать, что ошибка оценивания частоты будет ограниченна константой, зависящей от амплитуды аддитивной компоненты
|~( )| ≤ 1 − 1 + , |
(2.39) |
где — положительная константа, зависящая от амплитуды аддитивной компоненты 0( ). Это говорит о робастных свой-
ствах алгоритма идентификации (2.15)–(2.17) частоты по отношению к нерегулярной составляющей возмущения.
2.1.3Алгоритм идентификации смещения, амплитуды и фазы
В этом подразделе будет представлен алгоритм идентификации смещения, амплитуды и фазы смещенного гармонического сигнала на основе оценки частоты ^( ). Сигнал (2.1) является суммой посто-
янного смещения и гармонической функции ( ) = sin( + ).
Так как фильтр (2.8) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же часто-
той. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином ( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (2.1) выходная перемен-
ная фильтра (2.8) имеет вид
( ) = |
+ sin( + ) + ( ), |
(2.40) |
где — смещение, |
— амплитуда, — фазовый сдвиг и ( ) — |
|
экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.
Следуя результатам [9,22,25,89,90], имеем |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
( ) = |
[ |
|
|
] + |
[ |
|
] ( ) |
||
( + )2 |
( + )2 |
||||||||
|
= |
1( ) + 2( ) + ( ), |
(2.41) |
||||||
1( ) |
= |
, |
|
|
(2.42) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( ) |
= |
( + |
|
), |
|
|
(2.43) |
||
|
|
|
|||||||
38 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов
= / — оператор дифференцирования, |
( + )2 |
=0 = 1 — поло- |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
жительный передаточный коэффициент для постоянного входного
сигнала, = |
|
2 |
|
и = arg |
2 |
|
|
|
( + )2 |
+ )2 — положительный пере- |
|||||
даточный коэффициент |
и фазовый |
(сдвиг для гармонического вход- |
|||||
ного сигнала с |
частотой |
, действующего на фильтр (2.8), = √ |
|
||||
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
— комплексное число, ( ) — экспоненциально затухающая функция.
В следующей лемме представлены наблюдатели переменных
1( ), 2( ) и _2( ).
Л е м м а 2.2 Наблюдатель компонент смещенного гармонического сигнала (2.41), являющегося выходной переменной фильтра
(2.8)
^ |
( ) |
= ( ) − |
^ |
|
|
|
(2.44) |
|||
1 |
2( ), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
= − |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( ) |
2( ) |
, |
> |
|
|
(2.45) |
|||
( ) |
= |
{ 0 |
|
иначе, |
|
0 |
(2.46) |
|||
|
|
|
^( ) |
|
для ^( ) |
|
|
, |
||
^ |
( ) |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
(2.47) |
3 |
= ( ), |
|
|
|
|
|
||||
где 0 — известная нижняя граница частоты |
, а функции ( ), |
|||||||||
_•
( ) и ( ) определены в лемме 2.1, обеспечивает экспоненциальную
|
|
~ |
^ ~ |
^ |
сходимость к нулю ошибок наблюдения 1 |
= 1 − 1, 2 |
= 2 − 2 и |
||
~ |
_ |
^ |
|
|
3 |
= 2 |
− 3. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 2.2. Дифференцируя (2.41) два раза, имеем:
|
|
_( ) = _1( ) + _2( ) = _2( ) + ˙( ), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
|
2 |
2 |
( ) + ¨, |
||
|
|
( ) = 2( ) + 3( ) = − |
|
||||||
где ˙ |
и |
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
— экспоненциально затухающие функции. Откуда |
||||||||
|
|
|
|
• |
¨( ) |
||||
|
|
|
2( ) = − |
( ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
, |
|||
|
|
|
2 |
2 |
|||||
_2( ) = _( ) − ˙( ).
(2.48)
(2.49)
(2.50)
(2.51)
2.1. Смещенный синусоидальный сигнал |
39 |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
~ |
|
^ |
|
( ) |
|
2 |
( ) = |
2( ) − 2 |
( ) = − |
2 |
+ |
¨( )
2
•
( )
+ 2( ). (2.52)
• |
~ |
( ) также ограничена. Из |
Так как функция ( ) ограничена, |
2 |
теоремы 2.1 следует, что ^( ) экспоненциально стремится к , та-
ким образом, |
~ |
( ) экспоненциально стремится к нулю. Из (2.41), |
|||
2 |
|||||
|
~ |
~ |
− , откуда следует, что |
~ |
( ) ограничена |
(2.44) имеем 1 |
= − 2 |
1 |
|||
и экспоненциально стремится к нулю. Из (2.45) и (2.48) получим
~ −
3 = ˙, следовательно, лемма 2.2 доказана.
Располагая оценками компонент выходной переменной фильтра (2.8), нетрудно оценить искомые параметры смещенного гармони-
^
ческого сигнала (2.1). Заметим, что в силу (2.42) переменная 1( ) является оценкой смещения . В следующем утверждении пред-
ставлен алгоритм идентификации амплитуды и фазы сигнала
( ).
У т в е р ж д е н и е 2.1 Алгоритм идентификации амплитуды и фазы вида
|
|
|
|
^ ( ) |
^( ) = (− ^ ( ) + ^ ( ))mod 2 , |
|||||||||||||
^( ) = |
|
|
|
, |
||||||||||||||
^ ( ) |
||||||||||||||||||
^ ( ) = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
^22( ) + |
3( ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( |
( ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ ( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
−^( ) ) mod 2 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(sign (^2( ))arccos ( |
^ ( ) ( )) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
( ) |
|
|
|
^ |
|
( ) = |
|
|
2 |
|
, |
^ |
( ) = |
|
arccos |
2 − ^2( ) |
|
|||||
|
2 + ^2 |
|
− |
2 + ^2( )) |
||||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( |
||||||||
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
обеспечивает ограниченность и экспоненциальную сходимость к
~ ^
нулю ошибок оценивания ~ = − ^ и = − , где оценка часто-
ты ^( ) определяется адаптивным алгоритмом идентификации
^ ^ ^
(2.15)–(2.17), функции 1( ), 2( ), 3( ) и ( ) определены в лемме
^
2.2. Переменные ^ и являются оценками и в (2.40) соот-
ветственно, а ^ и ^ являются оценками и соответствен-
40 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов
но. Дополнительные переменные вводятся для упрощения доказательства утверждения.
Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 2.1. Из |
(2.43) следует, |
|
что |
|
|
2( ) = sin( + + ), |
(2.57) |
|
откуда имеем соотношения |
|
|
= , |
= + . |
(2.58) |
Для определения и предварительно найдем значения , ,
и
Дифференцируя 2( ), имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
_2( ) = cos( + ). |
(2.59) |
||||||||||
Легко показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ). |
(2.60) |
||||
|
|
|
|
|
22( ) + |
2 |
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ ( ) |
|
|
|
|
|
||||
В самом деле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin2( + ) + 2 cos2( + ) |
||||||||
22( ) + |
( |
_2( ) |
) |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( ), |
|
|
|
(2.61) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где использовано основное тригонометрическое тождество sin2( +
) + cos2( + ) = 1.
Далее определим значение фазы , выразив эту переменную из системы уравнений
{
2 |
( ) = sin( + ), |
(2.62) |
|
_2 |
( ) = cos( + ). |
||
|
Значение функций arcsin(·) и arccos(·) изменяются в диапазоне , в то время как реальное значение фазовой переменной функции
2.1. Смещенный синусоидальный сигнал |
41 |
|
|
sin(·) или cos(·) может меняться в пределах 2 . Будем рассматри-
вать фазовую переменную ( + ) по модулю 2 и искать решение на интервале (− ; ]. Если функция sin(·) отрицательна, значит фа-
зовую переменную следует определять на интервале (− ; 0), иначе на интервале [0; ]. Из системы (2.62) с учетом предыдущих рассуждений имеем
+ = sign ( 2( )) arccos |
( 2 ). |
(2.63) |
|
|
|
_ ( ) |
|
Так как значение времени растет неограниченно, то при определении на основе (2.63) следует пользоваться функцией деления
по модулю: |
|
( 2 ) |
− ) |
mod 2 . |
|
||
= (sign ( 2( )) arccos |
(2.64) |
||||||
|
|
|
_ ( ) |
|
|
|
|
Для определения |
и |
мы использовали недоступные для |
|||||
измерения переменные. однако у нас построены все необходимые
наблюдатели, обеспечивающие экспоненциальную сходимость оценок к истинным значениям. Вместо , 2( ), _2( ) и подставим
в (2.60) и (2.64) значения оценок ^( ) (или ( ) для исключения
^ ^
деления на ноль), 2( ), 3( ) и ^ ( ) соответственно и получим соотношения (2.54) и (2.55). Рассматривая ошибки оценивания для
(2.54) и (2.55), нетрудно убедиться в том, что ошибки |
~ = − ^ |
||||||||||||
~ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = |
− |
ограничены и экспоненциально стремятся к нулю. |
|||||||||||
|
Теперь построим алгоритм оценки значений переменных и |
||||||||||||
. Рассмотрим комплексную переменную: |
|
||||||||||||
|
2 |
= |
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
2( 2 − 2 − 2 ) |
||
|
( + )2 |
|
2 − 2 + 2 |
( 2 |
− 2 + 2 )( 2 |
− 2 − 2 ) |
|||||||
|
|
= |
|
2( 2 − 2 − 2 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
( 2 − 2)2 + 4 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
2 |
( 2 − 2 − 2 ). |
(2.65) |
|||||||
|
|
( 2 + 2)2 |
|||||||||||
|
В силу (2.65) для и имеем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
2 |
(2.66) |
|||
|
|
|
|
( + )2 |
= 2 + 2 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|