86 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием
3.2.3Алгоритм адаптивной идентификации частот
В данном разделе представлен алгоритм идентификации частот возмущения. Как и в [10,91,93] рассмотрим наблюдатель
_ |
|
^ |
|
^ |
= |
(3.72) |
|
( ) |
( ) + ( − ) + ( ), |
||
^ |
= |
^ |
(3.73) |
( ) |
( ), |
Вычитая (3.72), (3.73) из (3.62), (3.63), получим модель ошибки
~
( ) =
~_ ( ) =
~
( ) =
^ |
|
|
( ) − ( ), |
|
|
~ |
|
(3.74) |
( ) + ( ), |
|
|
^ |
~ |
(3.75) |
( ) − ( ) = |
( ). |
Из (3.74), (3.75) получим изображение по Лапласу для |
~ |
|||
|
|
= ( − )−1 [ ( ) + ~0], |
( ): |
|
|
~ ( ) |
|
||
где ~ |
|
|
~ |
|
0 |
означает начальные условия ( ). |
|
||
С учетом (3.67) и (3.70) получим |
|
|||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
∑ |
|
|
( ) |
= + |
(3.76) |
|
|
sin( + ) + ~( ), |
|||
|
|
|
=1 |
|
где ~( ) — экспоненциально затухающая функция с экспоненциаль-
но затухающими производными.
Как и в разделе 3.1 будем использовать адаптивный алгоритм идентификации параметров вектора , содержащего значения ча-
стот . Алгоритм адаптации вида
|
|
( ) |
= |
( ) + ( ) |
(2 ) |
( ), |
|
|
|
(3.77) |
||||||
|
|
^ |
|
− ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
= |
|
|
( )( ) − ( ) |
|
( ), |
(3.78) |
|||||||
|
|
_ |
|
|
|
|
|
^ |
_ |
|
(2 ) |
|
|
|
||
|
|
( ) = |
[ |
|
2 |
|
|
] ~ ( ). |
|
|
|
|
(3.79) |
|||
|
|
( + )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
( ) |
= (2 |
1)( ) |
. . . (3)( ) |
(1)( ) |
— регрессор, |
|
= |
||||||||
1 |
. . . |
−1[ |
− |
— |
вектор |
неизвестных] |
параметров, |
|
= |
|||||||
[ |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Управление нелинейным объектом |
87 |
|
|
diag{ > 0}, обеспечивает сходимость к нулю ошибки оценивания
(~ ) = − (^ ):
lim − (^ ) = 0. |
(3.80) |
|
|
|
|
→∞
Доказательство эффективности алгоритма (3.77)–(3.79) и выполнение цели (3.80) представлено в главе 2.
В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать,
что на основе вектора оценок измерению доступны оценки параметров . Частоты мультигармонического возмущения найдем из
(3.14)
√
|
|
|
|
^ ( ) = |
^ ( ) . |
(3.81) |
|
|
|
|
|
В силу выполнения целевого условия (3.80) и результата, полученного в предыдущей главе (2.35) и (2.36), имеем соотношение для частот
lim | − ^ ( )| = 0. |
(3.82) |
→∞ |
|
3.2.4Синтез закона управления
В этом разделе представлен закон управления, обеспечивающий полную компенсацию влияния возмущения на выходную переменную объекта. Как и в разделе 3.2 на основе соотношений (3.69) и (3.70) построим закон управления ( ), компенсирующий эффект
возмущения ( ), представленный в виде суммы смещения , гармо-
нических функций sin( + ) и экспоненциально затухающей функции ( ). Так как функция ( ) стремится к нулю независимо
от управляющего воздействия, то закон управления ( ) целесооб-
разно строить в виде суммы постоянной и гармонических функций, обеспечивая компенсацию эффекта возмущения на выходе объекта. Воспользуемся результатом, полученном в разделе 3.1.
Так как фильтр (3.79) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же частотой. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином
88 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием
( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (3.76) выходная переменная фильтра (3.79) имеет вид
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( ) |
= + |
sin( + ) + ( ), |
(3.83) |
|
|
=1 |
|
где — смещение, — амплитуда -ой гармоники, — фазо- вый сдвиг -ой гармоники и ( ) — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.
Для доказательства работоспособности алгоритма компенсации удобно предварительно рассмотреть так называемый “идеальный” закон управления, предполагающий знание всех параметров функции возмущения и обеспечивающий решение поставленной задачи (см. лемму 3.1).
Закон управления
( ) = − 0 |
0( + ) − |
|
( + − |
|
|
) |
(3.84) |
||
=1 |
|||||||||
1 |
|
∑ |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
обеспечивает сходимость к нулю выходной переменной ( ) и вы-
полнение цели (3.65).
В самом деле, подставляя (3.84) в (3.69) и учитывая результат леммы 3.1, имеем
( ) = |
[ ( )] |
(− 0 |
|
|
( − |
|
|
)) |
|||
− =1 |
|||||||||||
|
|
( ) |
1 |
∑ |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( ) + + |
( ) + ( ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( ) + 2( ), |
|
|
|
|
|
|
(3.85) |
|||
где 2( ) — экспоненциально затухающая функция. С учетом замечания 3.5 из (3.85) следует выполнение цели (3.65).
Однако закон управления (3.84) физически не реализуем, так как содержит неизвестные и недоступные для измерения функции и упредительные оценки функций времени. В случае постоянного сигнала предсказывание не представляет проблему, так как такая
3.2. Управление нелинейным объектом |
89 |
|
|
функция не зависит от времени, что нельзя сказать о гармонической функции. В лемме 3.2 показана схема получения упредитель-
ной оценки гармонического сигнала.
Далее представлены наблюдатели переменных 0( ), ( ) и _ ( ).
Как и в главе 2 мы пренебрегаем экспоненциально затухающей составляющей ( ) и дифференцируем (2.91) 2 раз. Затем получаем
две системы из линейных уравнений (2.95) и (2.96) или два матричных уравнения (2.97) и (2.98), откуда имеем
|
1 |
( ) |
|
|
|
1 |
|
... 2( ) |
|
|
2 |
||||
= |
...1 |
||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
· · · |
||
2 |
· · · |
||
2 |
|||
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
2 |
· · · |
||
|
−1 |
|
|
(2)( ) |
|
|
(3.86) |
|
|
|
|
(4)( ) |
|
||||
2 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_2 |
( ) |
1 |
|||
|
_1 |
( ) |
|
|
1 |
... |
|
|
= |
... |
|
|
_ |
|
|
|
−1 |
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1· · ·
2 |
· · · |
||
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
−1 |
· · · |
||
2 |
|||
1
...
−1
|
−1 |
|
|
(1)( ) |
|
||
|
|
(3)( ) |
|
||||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
− |
1) |
( ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. (3.87)
З а м е ч а н и е 3.7 Обратные матрицы в (3.86) и (3.87) существуют, так как в силу постановки задачи возмущающее воздействие ( ) имеет гармоник различной частоты.
Реализуемый алгоритм оценки переменных ( ) и _ ( ) примет вид:
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
1( ) |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
^2( ) |
^12 |
||||||
|
|
... |
|
|
= |
... |
|||
|
|
|
^ |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
( ) |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
( ) |
|
|
^1 |
|
|
|||
^1 |
|
|
|
||||||
|
_ |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
2 |
( ) |
|
|
|
|
|
||
.. |
|
= ... |
|
|
|
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
^ |
|
1 |
|
|
_ ( ) |
|
1− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
· · · |
||
2 |
|||
^2 |
· · · |
||
2 |
|||
. . |
. |
|
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
^ |
· · · |
||
2 |
|||
1· · ·
^· · ·
2
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
^ −1 |
· · · |
||
2 |
|||
^ |
|
−1 |
|
|
(2) |
( ) |
|
||
^ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
2 |
|
|
... |
(4) |
|
|
. |
||
... |
|
|
|
|
|
||||
^ |
|
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
(1)( ) |
|||||
^ |
|
(3)( ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
||
. |
|
. |
|
|
|
||||
^ |
− |
|
(2 −1)( ) |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.88)
. (3.89)
90 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием
Наблюдатель общего смещения получим на основе (3.27):
|
|
|
|
^ |
|
^ |
|
0( ) |
= ( ) − |
∑ |
(3.90) |
( ). |
|||
|
|
=1 |
|
Так как выполнены соотношения (3.80), (3.82), то из (3.86)– (3.90) имеем
− ^
lim 0( ) 0( ) = 0, (3.91)
→∞
− ^
lim ( ) ( ) = 0, (3.92)
→∞
→∞ |
|
|
( ) |
− |
^ |
|
|
= 0. |
(3.93) |
|
|||||||||
lim |
|
_ |
|
_ |
( ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В следующем утверждении представлен реализуемый алгоритм компенсации параметрически не определенного возмущающего воздействия для нелинейного объекта управления с запаздыванием.
У т в е р ж д е н и е 3.1 Закон управления вида
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
^ |
|||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
^ |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
( ) = − |
0 |
0( ) − |
^ |
|
|
( ) ( ) + ^ |
|
|
|
( ) ( ) |
||||||
|
|
|
=1 ( ) |
|
( ) |
|
|
|||||||||
обеспечивает выполнение цели |
(3.65), где |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( ) |
= |
cos ( ^ ( ) − ^ ( )) , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
( ) |
= |
sin ( ^ ( ) − ^ ( )) |
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ^ ( )) 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
^ ( ) |
= |
|
|
, |
|
||||||||
|
|
|
( ^ ( ))( ^ ( ) + )2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ^ ( )) |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^ ( ) |
= |
arg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
( ^ ( ))( ^ ( ) + )2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
(3.98)
оценка частоты |
^ ( ) определяется |
адаптивным |
алгоритмом |
|||
|
|
^ |
|
|
^ |
^ |
идентификации |
(3.77)–(3.79), (3.81), |
( ), |
_ |
|||
функции 0 |
( ), |
( ) |
||||
определены в (3.88)–(3.90), а переменные ( ) вводятся также,
как и в главе 2: |
|
{ 0 |
иначе, |
> 0 |
|
( ) |
= |
(3.99) |
|||
|
|
^ ( ) |
для ^ ( ) |
, |
|
3.2. Управление нелинейным объектом |
91 |
|
|
где 0 — известная нижняя граница частот |
. |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
у т в е р ж д е н и я 3.1. Как и в теореме 3.1 |
||
рассмотрим ошибку в управлении |
|
||
~ |
|
|
(3.100) |
( ) |
= ( ) − ( ). |
||
Ошибка ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) является ограниченной функцией и при этом стре- |
||||||||||
мится к нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
~ |
|
= 0. |
|
|
|
(3.101) |
|
|
|
|
lim ( ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
Управляющее воздействие, обеспечивающее компенсацию воз- |
|||||||||||
мущения, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) = − 0 |
0( + ) − |
|
|
( + − |
|
|
|
)+ ~( ).(3.102) |
|||
=1 |
|||||||||||
|
1 |
|
∑ |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
Подставляя (3.102) в (3.69) с учетом леммы 3.1, замечания 3.5 и (3.85), получим
( ) = |
[ |
( ) |
(~ |
( )− |
0 |
|
|
|
+ − |
|
|
) |
|
0( + )− |
|||||||||||||
|
( ) |
] |
|
1 |
=1 |
1 |
( |
|
+ |
|
) |
||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
+ ( ) + 0( ) + ∑ ( ) + ( )
=1
= ( ) + ( ) + 2( ),
[ ]
|
( ) ~ |
|
где функция ( ) = |
( ) ( ) ограничена и стремится к нулю, 2 |
( ) |
— экспоненциально затухающая функция. Таким образом, получен реализуемый закон управления (3.94)–(3.98), обеспечивающий основную цель (3.65) lim →∞ ( ) = 0, что и требовалось доказать.
З а м е ч а н и е 3.8 Следует отметить, что в случае неточного задания параметров объекта рассматриваемый алгоритм управления может оказаться неудовлетворительным. Разработка робастных алгоритмов, обеспечивающих достижение сформулированной цели управления в случае неточно заданных параметров, является предметом дальнейших исследований.