Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Бобцов Адаптивные системы.pdf

Скачиваний:

120

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 266 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

30 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов

ры алгоритма идентификации можно управлять скоростью сходимости оценок к их истинным значениям.

Рассмотренный алгоритм идентификации обеспечивает экспоненциальную сходимость к нулю ошибки оценивания частоты смещенного синусоидального сигнала. Алгоритм идентификации параметров смещенного синусоидального сигнала обобщен на случай мультигармонической функции времени.

2.1Алгоритм адаптивной идентификации параметров смещенного синусоидального сигнала

2.1.1 Постановка задачи

Рассматривается измеряемый сигнал вида

( ) = + sin( + ),

(2.1)

содержащий постоянную составляющую и гармоническую составляющую с частотой , амплитудой и фазовым сдвигом . Константы , , и являются неизвестными.

Д о п у щ е н и е 2.1	Частота гармонической		составляющей
сигнала ( ) не меньше	некоторого	известного	числа 0,	т.е.
> 0.
Д о п у щ е н и е 2.2	Считается,	что значение времени		с

момента запуска алгоритма известно.

Сформулируем цель управления как решение задачи синтеза алгоритма идентификации, обеспечивающего для любых , , и > 0

выполнения условий

lim \| − ^( )\| = 0,		(2.2)
→∞
lim \| − ^( )\| = 0,		(2.3)
→∞
lim \| − ^( )\| = 0,		(2.4)
→∞
lim − ^( ) = 0,		(2.5)

→∞

2.1. Смещенный синусоидальный сигнал	31

где ^( ) — текущая оценка частоты , ^( ) — текущая оценка смеще-

ния , ^( ) — текущая оценка амплитуды , ( ) — текущая оценка фазового сдвига .

2.1.2Алгоритм идентификации частоты смещенного гармонического сигнала

Известно [2, 25, 89, 90], что для генерирования сигнала (2.1) можно использовать дифференциальное уравнение вида

...	(2.6)
( ) = − ( ),	(2.6)
где
= − 2.	(2.7)

Следуя результатам [8,9,25,89,90], представим следующую лем-

му.

Л е м м а 2.1 Для линейного фильтра второго порядка
	2
( ) =		( ), > 0,	(2.8)
	( + )2
и для сигнала (2.1) справедливо следующее выражение:
...	= _( ) + ( ),		(2.9)
( )

...
где функции _( ) и ( ) — переменные состояния линейного филь-
тра (2.8)
_( ) =	2
		( ),	(2.10)
	( + )2
...	2 3
( ) =		( ),	(2.11)
	( + )2

и ( ) — экспоненциально затухающая функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 2.1. Выполняя преобразование

Лапласа для (2.6), имеем
3 ( ) = ( ) + ( ),	(2.12)

32 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов

где — комплексная переменная, ( ) = { ( )} — образ Лапласа переменной ( ), а полином ( ) обозначает сумму всех начальных условий. Умножая обе части (2.12) на комплексное число 2

( + )2 ,

получим

3	2	( ) =	2	( ) +	2 ( )	.	(2.13)
	( + )2		( + )2		( + )2

Выполняя обратное преобразование Лапласа для (2.13) с учетом

(2.8), имеем

...

_( ) + ( ),

(2.14)

( )

где ( ) = −1

2 ( )

— экспоненциально затухающая функция

( + )2

экспоненциально затухающими производными, что и требовалось

{

}

доказать.

З а м е ч а н и е 2.1 Поскольку

экспоненциально

затухающая

функция

времени ( ) =

−1

2 ( )

зависит

от парамет-

( + )2

ра , то

увеличением

значения

можно ускорять процесс

{

}

сходимости ( ) к нулю.

В следующей теореме представлен адаптивный алгоритм идентификации частоты сигнала (2.1), основанный на подходах [8, 9,

25,89,90].

Т е о р е м а 2.1 Алгоритм адаптации вида

		√
		√
^( )	=		^( ) ,				(2.15)

^	=			_	•		(2.16)
( )	=	( ) + ( ) ( ),					(2.16)
( )	=	_2		^	•2	( ),	(2.17)
( )	=	−		( ) ( ) −		( ),	(2.17)
	_		•

где > 0, функции ( ), ( ) и ( ) определены в лемме 2.1, обеспе-

чивает экспоненциальную сходимость к нулю ошибки оценивания

~( ) = − ^( ):

|~( )| 6 − ,

> 0,

(2.18)

где и — положительные числа.

2.1. Смещенный синусоидальный сигнал	33

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.1. Рассмотрим модель ошибки оценивания с учетом леммы 2.1

_	_	_
~	_	^
( ) =	− ( )			•2		_ ...
=	− ( ) −				( ) − ( ) ( )			_	...
	_2		^		•2	•2		_
=		( ) ( ) +				( ) −	( ) − ( ) ( )
	_2		^		_2	_
=		( ) ( ) −				( ) − ( ) ( )
		_2		~		_
= −			( ) ( )		− ( ) ( ).

Рассмотрим функцию Ляпунова [25,89,90]

	1	~2
( ) =	2	( )	( ),

(2.19)

(2.20)

где ( ) — положительная функция, ограниченная сверху и снизу

0 < 1 6 ( ) 6 2 < ∞,

(2.21)

где 1 и 2 — константы, которые будут определены далее при анализе. Дифференцируя (2.20), имеем

	1				2						_
_			_	~				~			~
( ) =		2	( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
	1		_	~2				_2				~2			_					~
=	2		( )			( )	−	( )			( )		( ) − ( ) ( ) ( ) ( )
6	1		_( )~2( )				− ( ) _2				( )~2( ) +				1			( )		( _2( )~2( ) + 2( ))

	2															2
=	1		_ ~2				−	1			_2	~2			1						2
=	2		( )			( )	−		2	( )		( )		( ) +			2		( )			( ).	(2.22)
Из (2.40) получим
					_( )			= cos( + ) + 1( ),															(2.23)

где 1( ) , ( ), | 1( )| 6 1 − 1 — экспоненциально затухающая функция времени. Откуда

2	2		2	2	2	( )
_ ( )	=			cos	( + ) + 2 cos( + ) 1( ) + 1	( )

=1 2 2 + 1 2 2 cos(2 + 2 ) + 2 cos( + ) 1( ) 2 2

+ 12( ).

(2.24)

34 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов

Подставляя (2.24) в (2.22), имеем

_			1		_ ~2										1		2		2	1	~2			1		2		1			~2
( ) 6				( )					( ) −												( )	( ) +			( )		( ) −			( )		( )
( ) 6			2	( )					( ) −						2				2		( )	( ) +	2		( )		( ) −		2	( )		( )
		×			(	2							cos(2 + 2 ) + 2 cos( + ) 1( )
						1	2			2
			+ 12( ) .																												(2.25)
Выберем							)				( ) так, что
		функцию
_( )	=				( ) (					2							cos(2 + 2 ) + 2 cos( + ) 1( )
											1			2		2
					+ 12( )					.																					(2.26)
Достаточно воспользоваться)																		частным решением (2.26) в виде
( )		=				( )		,																							(2.27)
( )		=						,																							(2.27)
										1				2		2
( )		=			∫0				(								cos(2 + 2 ) + 2 cos( + ) 1( )
( )		=			∫0				(			2					cos(2 + 2 ) + 2 cos( + ) 1( )
					+ 12( )								.																		(2.28)
Рассмотрим											)			( ) для того, чтобы найти ограничения для
					функцию
( ) сверху и снизу.
	( )				=				1	2 (sin(2 + 2 ) − sin(2 ))

									2
																	cos( + ) 1								( ) + 12( ) ,						(2.29)
									+2 ∫0								cos( + ) 1								( ) + 12( ) ,						(2.29)
																(											)
		1
\| ( )\|	6	1			2 (1 − sin(2 )) + 2 ∫0																		\| 1( )\| + 2 ∫0								12( )

		2
	6 2 + 2 1 ∫
	6 2 + 2 1 ∫																		− 1 + 2 12 ∫							−2 1

	2			1					1			12		2 1
=		+ 2			(1 − 2			−		)			(1 − −		)
=		+ 2		1	(1 − 2			−		)		2 1	(1 − −		)
											+ 2
6	2		2 1			1
		+			+
		+	1		+		1
=	3 < ∞,														(2.30)

2.1. Смещенный синусоидальный сигнал	35

где 1 и 1 — положительные числа,													3 — неотрицательная кон-
станта.
На основе неравенства − \| ( )\|											6 ( ) 6						\| ( )\|	легко получить.
искомые границы ( ) в виде (2.21), где 1 = − 3																		и 2 = 3
Подстановка (2.26) в (2.25) дает
_		1				2	2	1			~2			1					2
( ) 6		−			2			2	( )				( ) +		2		( )			( )
	6	− 4 ( ) + 5 − 2 ,																		(2.31)
где
	=		1	2		2,					=	1				,
	=			2		2,				5	=			2		,
	4	2								5	2		2	2
		2									2
2( ) = 2( )	— экспоненциально затухающая функция, \| 2( )\| 6
2 − 2 , а 2	и 2 — положительные числа.

Используя принцип сравнения [65] для (2.31), получим

∫

( ) 6 (0) − 4 + 5 − 4 ( 4− 2) . (2.32)

Если 2 = 4, то можно выбрать 2 из условия 0 < 2 < 4, не нарушив экспоненциально затухающего вида функции 2( ). Так или иначе, из (2.32) можно получить

	( )					4 +					5							2			4		)
	( )					4 +												2			4
		6	(0) 3−				,		4 − 2						(		−		−	−
		6	3 −				,																(2.33)
где 3 = (0)+		5		и			= min					,				. Из (2.20), (2.21) и (2.33)
где 3 = (0)+		4− 2		и	3		= min			{		,		}		. Из (2.20), (2.21) и (2.33)
получим		4− 2			3					{	4		2	}
				√				√ ( ) 6					√
	~( )		6	√		1		√ ( ) 6					√		1			−	2 3 .				(2.34)
						2									2 3				1			= − ^( ) в
Покажем, что ошибка оценивания частоты																			~( )			= − ^( ) в

36 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов

алгоритме (2.15) экспоненциально затухает:

√

~( ) =

−

^( )

| |

√

( ) + ( ) − √

( )

√

( ) + √

( )

−

( )

(2.35)

√

( ) .

~( ) =

√

−

√

− ~( )

| |

√| | − √| | −

√ ( )

−√

(2.36)

( ) .

Из (2.35) и (2.36) нетрудно видеть, что

√

\|~( )\| 6
\|~( )\| 6	~( ) 6 − .	(2.37)

Мы получили соотношение для ошибки оценивания (2.18), где

√

= 4 2 3 и = 1 3. Таким образом, адаптивный идентификатор

1 4

частоты (2.15)–(2.17) обеспечивает экспоненциальную сходимость к нулю ошибки оценивания ~( ). Теорема 2.1 доказана.

З а м е ч а н и е 2.2 Показатель экспоненты в (2.37) зависит только от параметров и : = ( , ). При увеличении и

увеличивается значение . Следовательно, управляя значениями параметров алгоритма идентификации и можно регулировать скорость сходимости ошибки оценивания ~( ) к нулю. При устремлении и к бесконечности время переходного процесса при идентификации частоты стремится к нулю.

З а м е ч а н и е 2.3 Выражение (2.37) показывает, что модуль ошибки оценивания ограничен затухающей экспонентой. При рассмотрении аддитивной нерегулярной ограниченной составляющей

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 266 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.2019100.86 Кб0Билеты с 15-21.doc
#
20.08.2019646.66 Кб0Билеты УП 1-7.doc
#
14.04.2015375.5 Кб66Билеты.docx
#
14.04.2015531.82 Кб23Билеты.docx
#
21.03.2016258.71 Кб12Блочная верстка.pdf
#
14.04.20153.2 Mб120Бобцов Адаптивные системы.pdf
#
14.04.2015109.06 Кб4Большой Взрыв или маленький.doc
#
14.04.2015414.9 Кб14Бонусные задачи для гр. 3742.pdf
#
21.03.20161.82 Mб38Борзенко,Зайцев.pdf
#
21.03.20166.35 Mб133Брендбук ИТМО.pdf
#
14.04.20156.01 Mб4Буклет кафедры ОФиСЕ.pdf