2.2. Мультигармонический сигнал |
51 |
|
|
Дифференцируя (2.85), имеем
( ) = |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 ) |
( ) − ( ) |
(2 +1) |
( ) |
|
|||||||||
( ) − ( ) |
|
||||||||||||||||||||||
_ |
^ |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ( ) |
(2 +1) |
− ( ) |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( )( ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
_ |
|
(2 ) |
( ) − ( ) |
(2 +1) |
( ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
− ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
− ( ) |
|
( )( ) − ( ) |
|
|
|
|
( ). |
|
(2.86) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
_ |
|
(2 ) |
|
|
|
|
|||||
Из (2.85) и (2.86) получим реализуемый алгоритм идентифика- |
|||||||||||||||||||||||
ции параметров вектора : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) |
= |
( ) + ( ) |
(2 ) |
( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.87) |
|||||||||
^ |
|
− ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) |
= |
|
|
( )( ) − ( ) |
|
|
|
|
( ). |
(2.88) |
|||||||||||||
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
_ |
|
(2 ) |
|
|
|
|||||
В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что на основе вектора оценок |
|
измерению доступны оценки пара- |
|||||||||||||||||||||
метров . Частоты мультигармонического возмущения найдем из (2.70)
√
|
|
|
|
^ ( ) = |
^ ( ) . |
(2.89) |
|
|
|
|
|
В силу выполнения целевого условия (2.79) и результата, полученного в предыдущем разделе (2.35) и (2.36), имеем соотношение для частот
lim | − ^ ( )| = 0. |
(2.90) |
→∞ |
|
2.2.3Алгоритм идентификации смещения, амплитуд и фаз гармоник
В этом подразделе будет представлен алгоритм идентификации общего смещения, амплитуд и фаз всех гармоник мультигармонического сигнала на основе оценки частот ^ ( ). Сигнал (2.68) явля-
ется суммой постоянного смещения и синусоидальных функций
( ) = sin( + ).
Так как фильтр (2.75) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же частотой. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином
52 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов
( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (2.68) выходная переменная фильтра (2.8) имеет вид
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( ) |
= + |
sin( + ) + ( ), |
(2.91) |
|
|
=1 |
|
где — смещение, — амплитуда -ой гармоники, — фазо- вый сдвиг -ой гармоники и ( ) — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.
Воспользуемся следующими соотношениями [9]:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) |
= |
|
0( ) + |
|
|
( ) + ( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.92) |
|||||
|
|
|
|
[ |
|
|
|
=1 |
|
] = , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0( ) |
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.93) |
|||||
|
( + )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ) = |
|
[ |
|
2 |
|
|
] ( ) = |
( + |
|
), |
(2.94) |
|||||||||
|
( + )2 |
|
||||||||||||||||||
положительный передаточный коэффициент для постоянного |
вход- |
|||||||||||||||||||
где = / — оператор дифференцирования, |
|
|
|
2 |
|
|
= 1 — |
|||||||||||||
( + )2 |
||||||||||||||||||||
ного сигнала, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
и |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
||
|
= |
( + )2 |
= arg |
|
( + )2 |
= — поло- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жительный передаточный коэффициент и фазовый сдвиг для си-
нусоидального входного сигнала с частотой , действующего на
√
фильтр (2.75), = −1 — комплексное число, ( ) — экспоненциально затухающая функция.
Пренебрегая экспоненциально затухающей составляющей ( ) и дифференцируя (2.91) 2 раз, получим две системы из линей-
ных уравнений:
|
(1) |
( ) = _1( ) + _2( ) + |
+ _ ( ), |
||
(3) |
( ) = 1 _1( ) + 2 _2(·)· ·+ |
· · · |
+ _ ( ), |
||
|
.. |
|
|
(2.95) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 −1)( ) = 1−1 _1( ) + 2−1 _2( ) +· · · + −1 _ ( ) |
|||||
2.2. Мультигармонический сигнал |
53 |
|
|
|
|
(2)( ) = 1 1( ) + 2 2( ) +· · · |
+ ( ), |
||
|
(4)( ) = 12 1( ) + 22 2 |
( ) + |
|
+ 2 ( ), |
|
|
|
.. |
|
· · · |
(2.96) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )( ) = 1 1( ) + 2 2( ) +· · · + ( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или два |
|
|
|
|
|
|
матричных уравнения |
|
|
|
|
|
|
(1)( ) |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
|
(3)( ) |
|
|
1 |
2 ·· ·· ·· |
||||||
... |
|
|
|
|
|
= |
... |
... ... |
|||
|
|
(2 |
− |
1) |
( ) |
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
· · · |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
...
−1
_1( )_2( )
...
_ ( )
, (2.97)
|
|
(2)( ) |
|
|
1 |
|
|
(4)( ) |
|
12 |
|||
... |
|
|
|
= |
... |
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
откуда имеем
2 |
· · · |
||
2 |
· · · |
||
2 |
|||
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
2 |
· · · |
||
|
2 |
( ) |
|
|
|
1 |
( ) |
2 |
... |
|
|
... |
|
||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, (2.98)
|
|
1( ) |
|
|
|
1 |
|||
|
... 2( ) |
|
|
|
2 |
||||
|
= |
...1 |
|||||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1( ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
_2( ) |
|
|
1 |
|
|||||
... |
|
|
= |
... |
|
|
|||
|
_ |
|
|
|
−1 |
|
|||
|
( ) |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
22
...
2
1
2
...
−1
2
·· ·
·· ·
...
·· ·
·· ·
·· ·
...
·· ·
|
−1 |
|
(2)( ) |
|
|
|||||||
|
|
|
(4)( ) |
|
||||||||
2 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||
... |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
(1)( ) |
|
|
|||||
|
|
. |
(3)( ) |
|
|
|||||||
... |
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|||
−1 |
|
|
|
|
(2 |
− |
1) |
( ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.99)
. (2.100)
З а м е ч а н и е 2.6 Обратные матрицы в (2.99) и (2.100) существуют, так как в силу постановки задачи измеряемый сигнал( ) имеет гармоник различной частоты.
Реализуемый алгоритм оценки переменных ( ) и _ ( ) примет
54 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов
вид:
|
^ |
( ) |
|
|
^ |
1 |
|
|
1 |
||
^2( ) |
^12 |
||||
... |
|
|
= |
... |
|
|
^ |
|
|
|
^ |
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
· · · |
||
2 |
|||
^2 |
· · · |
||
2 |
|||
. . |
. |
|
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
^ |
· · · |
||
2 |
|||
^ |
|
−1 |
|
(2) |
( ) |
|
(2.101) |
||
^ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
2 |
|
|
... |
(4) |
|
|
. |
|
|
... |
|
|
|
|
|
||||
^ |
|
|
|
|
(2 ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
^1 |
|
|
^1 |
|
|||||
|
_ ( ) |
|
1 |
|
||
|
2( ) |
|
|
|
||
.. |
= ... |
|
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
^ |
− |
1 |
|
_ ( ) |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1· · ·
^· · ·
2
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
^ −1 |
· · · |
||
2 |
|||
1 |
|
−1 |
|
(1)( ) |
^ |
|
(3)( ) |
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
. |
|
. |
||
^ − |
|
(2 −1)( ) |
||
|
1 |
|
|
|
, (2.102)
По аналогии с результатом, полученным в предыдущем разделе, представим алгоритм оценки общего смещения, амплитуд и начальных фаз всех гармоник мультигармонического сигнала ( ).
Наблюдатель общего смещения получим на основе (2.92):
|
|
|
|
|
^ |
= ( ) − |
∑ |
^ |
|
0( ) |
|
(2.103) |
||
( ). |
||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
^ |
( ) является оценкой сме- |
|
Заметим, что в силу (2.93) переменная 0 |
||||
щения .
Так как выполнены соотношения (2.79), (2.90), то из (2.99)– (2.103) имеем
− ^
lim 0( ) 0( ) = 0, (2.104)
→∞
− ^
lim ( ) ( ) = 0, (2.105)
→∞
→∞ |
|
|
( ) |
− |
^ |
|
|
= 0. |
(2.106) |
|
|||||||||
lim |
|
_ |
|
_ |
( ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Располагая оценками компонент выходной переменной фильтра (2.75) ( ) и их производными _ ( ), нетрудно оценить искомые па-
раметры сигнала (2.68): амплитуды и фазы сигнала ( ).
2.2. Мультигармонический сигнал |
55 |
|
|
Алгоритм идентификации амплитуд и фаз имеет вид
^ ( ) = |
|
^ ( ) |
, |
^ ( ) = (− ^ ( ) + ^ ( ))mod 2 , |
|||||||||||
|
^ ( ) |
||||||||||||||
^ ( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
^2( ) + |
|
_ ( ) |
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
^ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
( ( )) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
^ |
|
|
|
|||
^ ( ) = (sign (^ ( ))arccos |
^ ( ) ( ))−^ ( ) )mod 2 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ ( ) |
|
|
|
^ ( ) = |
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
^ ( ) = arg |
|
2 |
|||
( + ^ ( ))2 |
|
|
( + ^ ( ))2 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2.107)
(2.108)
(2.109)
(2.110)
где переменные ( ) вводятся также, как и в предыдущем разделе:
|
|
^ ( ) |
для ^ ( ) |
|
0 |
, |
( ) |
= |
{ 0 |
иначе, |
> |
|
(2.111) |
где 0 — известная нижняя граница частот .
Такой алгоритм обеспечивает ограниченность и сходимость к |
|
~ |
^ |
нулю ошибок оценивания ~ = − ^ и = − . Переменные |
|
^ |
^ |
^ и являются оценками и в (2.91) соответственно, а и ^ являются оценками и соответственно.
Анализ ограниченности и сходимости к нулю ошибок оценивания сводится к рассмотрению разности оценок и истинных значений. Доказательство эффективности работы алгоритма (2.107)– (2.111) аналогично доказательству утверждения 2.1.