MI_T2TerekhovSV
.pdfТерехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 7
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 6,8472627 , если
% |
|
−2 |
; |
известна абсолютная погрешность ∆ x = 0.1 10 |
|
||
б) округлённое значение чисел x = −0,05632814 и x = 0,76428007 , ес- |
|||
ли известна абсолютная погрешность |
% |
−4 |
; |
∆ x =10 |
|
||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 24,794, если |
|||
известна относительная погрешность |
δx = 2% ; |
|
|
|
% |
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −7,4682,
если известна абсолютная погрешность ∆x% =1.275 ;
д) абсолютную погрешность функции y =x2 +4x в точке x =1 при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ;
е) абсолютную погрешность функции z = 5x ( y −1) в точке A(1;1) ,
если известны абсолютные погрешности аргументов:
∆ x% = 0.5 10−3 и ∆ y% = 0.132 .
2. Найти приближенное значение функции f (x) в точке x =2,25 с использованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 7,6 + 2,3 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
4,6 |
8,1 |
9,2 |
12,5 |
14,3 |
18,1 |
19,6 |
23,2 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
470
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
2,4 |
2,9 |
3,8 |
4,6 |
5,7 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
16,1 |
4,5 |
0,2 |
4,9 |
16,3 |
26,4 |
37,2 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
2,1 |
1,8 |
1,4 |
1,1 |
0,8 |
0,4 |
0,2 |
y i |
2,4 |
1,6 |
1,2 |
0,9 |
0,7 |
0,5 |
0,2 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 7 x − 3 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(6x 2 −5) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
471
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 8
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 4,7683624, если
% |
|
|
|
−2 |
; |
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = 0.1 10 |
|
|
||||
б) округлённое значение чисел x = −0,7248964 |
и x = 2,6943887 , если |
|||||
% |
|
−4 |
; |
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x =10 |
|
|
|
|
||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 35,247 , если |
||||||
известна относительная погрешность |
δx = 2% ; |
|
|
|||
|
% |
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −7,1324 , |
||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|||||
|
|
% |
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции y =8x2 +5 в точке x =1 при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ;
е) абсолютную погрешность функции z = 7 x ln (2 y − 1) в точке
A(1;1) , если известны абсолютные погрешности аргументов:
∆ x% = 0.5 10−3 и ∆ y% = 0.132 .
2. Найти приближенное значение функции f (x) в точке x =1,37 с использованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 6,8 − 0,4 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
7,9 |
6,6 |
6.2 |
5,9 |
5,3 |
5,1 |
4,9 |
4,1 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
472
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
5,1 |
5,9 |
6,5 |
5,6 |
4,2 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
9,1 |
8,2 |
7,6 |
8,6 |
9,4 |
10,3 |
12,8 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
7,5 |
6,2 |
5,1 |
4,3 |
3,5 |
2,8 |
1,9 |
y i |
1,4 |
2,7 |
3,9 |
5,3 |
6,8 |
8,5 |
10,2 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 7 x −12 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(4x 3 − 6x) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
473
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 9
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 0,9135896, если
|
|
|
% |
0.1 10 |
−2 |
; |
|
|
||
известна абсолютная погрешность ∆ x = |
|
|
|
|||||||
б) округлённое значение чисел x = −0,7325682 |
и x =9,7427828, |
если |
||||||||
|
|
|
% |
10 |
−4 |
; |
|
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = |
|
|
|
|
|
|||||
в) абсолютную погрешность определения числа x =16,846 , если |
||||||||||
известна относительная погрешность δx = 2% ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −0,2463 , |
||||||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции |
y =2x2 +3 в точке |
x =1 |
||||||||
при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
е) абсолютную погрешность функции z = (5y − 4) ex в точке A(1;1) , |
||||||||||
если известны абсолютные погрешности аргументов: |
|
|||||||||
∆ x = 0.5 10 |
−3 |
и |
∆ y |
= 0.132 . |
|
|
|
|||
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти приближенное значение функции f (x) |
в точке x =1,12 |
с ис- |
||||||||
пользованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 10 ,7 − 2,4 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
13,9 |
11,1 |
8,1 |
5,2 |
3,7 |
1,4 |
–1,6 |
– 4,4 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
474
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
7,7 |
6,2 |
5,3 |
3,9 |
1,4 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
3,1 |
5,3 |
8,4 |
5,5 |
2,8 |
1,1 |
0,2 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
7,2 |
7,8 |
8,5 |
9,3 |
10,4 |
11,1 |
13,7 |
y i |
7,1 |
8,5 |
9,1 |
10,4 |
11,9 |
13,7 |
16,2 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 3 x −8 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(4x + 5) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
475
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 10
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 0,7648036, если
|
|
|
% |
0.1 10 |
−2 |
; |
|
|
||
известна абсолютная погрешность ∆ x = |
|
|
|
|||||||
б) округлённое значение чисел x = −0,8427682 |
и x =5,9735612 , если |
|||||||||
|
|
|
% |
10 |
−4 |
; |
|
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = |
|
|
|
|
|
|||||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 39,178 , если |
||||||||||
известна относительная погрешность δx = 2% ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −0,2763 , |
||||||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции y = (3 x 2 |
+ 7 ) в точке x =1 |
|||||||||
при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
е) абсолютную погрешность функции z =e3x−2y |
в точке A(1;1) , ес- |
|||||||||
ли известны абсолютные погрешности аргументов: |
|
|||||||||
∆ x = 0.5 10 |
−3 |
и |
∆ y |
= 0.132 . |
|
|
|
|||
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти приближенное значение функции |
f (x) |
в точке x =1,79 с ис- |
||||||||
пользованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 2,8 + 4,2 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
–1,7 |
3,1 |
6,8 |
11,1 |
14,9 |
20,1 |
25,2 |
27,7 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
476
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
15,7 |
3,9 |
1,2 |
3,8 |
14,1 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
5,1 |
7,4 |
10,2 |
12,9 |
9,9 |
8,2 |
6,7 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
12,4 |
11,2 |
10,5 |
9,9 |
8,7 |
7,1 |
6,2 |
y i |
15,1 |
15,9 |
16,6 |
17,3 |
18,1 |
19,8 |
21,4 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 8 x −10 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(8x − 25) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
477
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIX. Вейвлет-анализ
Вариант 1
1. Найти при помощи математических оболочек Mathcad (а) и MathLab (б) коэффициенты вейвлет-преобразования функций:
а) |
|
2π t |
; |
б) |
|
2π t |
|||
s(t) = sin |
|
|
s(t ) = cos |
|
. |
||||
10 |
100 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Найти коэффициенты вейвлет-преобразования суммы двух гар-
2π t |
|
|
2π t |
|||
монических сигналов s(t) =sin |
|
|
+sin |
|
. |
|
100 |
200 |
|||||
|
|
|
|
|||
3. Исследовать с помощью всплесковых функций сигнал x (t) , состоящий из суммы двух гармонических сигналов
|
|
2π t |
|
|
2π t |
|
|
s(t) = sin |
|
|
+ϕ |
+sin |
|
+ϕ . |
|
10000 |
50000 |
||||||
|
|
|
|
||||
с одинаковыми фазовыми сдвигами ϕ = −1.5708 и белого гауссова шума n (t) (моделируется в оболочке MathLab при помощи случайной
функции randn (‘state’, 0); g=0.5; n=g*randn(size(t))) с нулевым математи-
ческим ожиданием и средним квадратическим отклонением g =0.5 .
|
|
|
|
|
2π t |
0 ≤t ≤ 250 |
||
|
|
|
sin |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
100 |
. |
||
Провести вейвлет-анализ сигнала s(t) = |
|
2π t |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin |
|
|
, 250 <t ≤1000 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
50 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
2π t |
|
|
|
|
|
Исследовать сигнал s(t) = sin |
+ f (t) , если функция зашумления |
|||||||
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
f (t) =t (t −1) +n(t) . |
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Найти коэффициенты вейвлет-преобразования функции Вейерш- |
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
≈ 5,7124 ). |
|
трасса w(t) = ∑α k cos ( βk t) , если α = 2 , β = 3 (α β >1+ 3π |
||||||||
|
k=1 |
|
|
2 |
|
|||
7. |
Построить вейвлет-образ фрактала |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Пыль” Кантора.
478
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIX. Вейвлет-анализ
Вариант 2
1. Найти при помощи математических оболочек Mathcad (а) и MathLab (б) коэффициенты вейвлет-преобразования функций:
а) |
|
2π t |
; |
б) |
|
2π t |
|||
s(t) = sin |
|
|
s(t ) = cos |
|
. |
||||
20 |
200 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Найти коэффициенты вейвлет-преобразования суммы двух гар-
|
2π t |
|
2π t |
|||
монических сигналов s(t) =sin |
|
|
+sin |
|
. |
|
200 |
300 |
|||||
|
|
|
|
|||
3. Исследовать с помощью всплесковых функций сигнал x (t) , состоящий из суммы двух гармонических сигналов
|
2π t |
|
|
|
2π t |
|
|
s(t) = sin |
|
+ϕ |
+sin |
|
|
+ϕ . |
|
20000 |
100000 |
||||||
|
|
|
|
||||
с одинаковыми фазовыми сдвигами ϕ = −1.5708 и белого гауссова шума (моделируется в оболочке MathLab при помощи случайной
функции randn (‘state’, 0); g=0.5; n=g*randn(size(t))) с нулевым математи-
ческим ожиданием и средним квадратическим отклонением g =0.5 .
|
|
|
|
|
2π t |
0 ≤t ≤ 250 |
||
|
|
|
sin |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
200 |
. |
||
Провести вейвлет-анализ сигнала s(t) = |
|
2π t |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin |
|
|
, 250 <t ≤1000 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
100 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
2π t |
|
|
|
|
|
|
Исследовать сигнал s(t) = sin |
+ f (t) , если функция зашумления |
|||||||
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
f (t) =t (t −1) +n(t) . |
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Найти коэффициенты вейвлет-преобразования функции Вейерш- |
|||||||
|
∞ |
β = 2 (α β >1+ 3π |
≈ 5,7124 ). |
|||||
трасса w(t) = ∑α k cos ( βk t) , если α = 3 , |
||||||||
|
k=1 |
|
|
2 |
|
|||
7. |
Построить вейвлет-образ фрактала |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Пыль” Кантора.
479