Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MI_T2TerekhovSV

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5242 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 14

1. Выполнить арифметические действия над комплексными числами z1 и z2 , отобразить все числа на комплексной плоскости, если

z1 = i , z2 = 5 −i 4 .

2.Представить z = 12 +i 23 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + 5x +12 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную усло-

виями: z +1 >1, z + 2 < 2 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = cos z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = z +z i 2 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

iπ / 2	z	ln z		dz .
7. Вычислить интегралы: а) ∫e z dz ;	б) ∫
		( z −2 )	4
−iπ / 2	2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z0 =1+i функцию zz +−1i

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

z −2

в кольце 1 <

< 4 .

2z3 +z2

−z

Найти и классифицировать особые точки функции

10.

(z +i)(z −2)2

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

1−cos(2 z)

z2 sin(2 z)

12.

Вычислить интеграл ∫

d z

, L:

z −1

=2 с помощью вычетов.

(z −2)

(z −1)

410

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 15

z1 = −2 −i , z2 =1 +i .

2.Представить z = −1 −i в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 − x + 3 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z − 12 ≤ 2 , Im z > −1 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = z2 + z −2 . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 3zz−−12 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

i	dz		z	6z5		dz .
7. Вычислить интегралы: а) ∫		;	б) ∫
	4 + z 2			( z −2 )	5
1−i			2

	8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −i функцию	5
	8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −i функцию	z −1
		z −1

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

z −2

9. Разложить в ряд Лорана функцию ln

в кольце 2 <

z + 2

<3.

z −4

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

sin(π z)

z4 −1

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

(1−ez )(z2

−1)

d z

=2 с помощью вычетов.

12.

Вычислить интеграл ∫z(z −i) (z −2i) , L:

z −i

411

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 16

z1 = −1 +i 2 , z2 = −2 +i 3 .

2. Представить z = 12 −i 23 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + x +1 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z ≤ 4 , Im z > 12 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = ch z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = ze+z 1 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

π / 2

7. Вычислить интегралы: а) ∫z cos z dz

8. Разложить в ряд Тейлора в точке диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

	z			z −1
;	б) ∫			z −1		dz .
;	б) ∫	e	z	( z +1 −i )	2	dz .
	−1+i	e		( z +1 −i )
	−1+i

z0 =i функцию sin(2z) и найти ра-

5 в кольце 1 < z −i <3 .

z2 +1

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

5 z −4

z2 −4 z +5

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

ez −1

12.

Вычислить интеграл ∫

ze z

d z , L :

z −π i

=1 с помощью вычетов.

412

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 17

z1 = 4 −i , z2 = −1 −i 3 .

2.Представить z = −1 + i 2 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 3x2 − 4x + 3 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z +1 ≤ 3 , Re z <1.

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = tg z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = z e−z нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

i / 2	z	2 z +i		dz .
7. Вычислить интегралы: а) ∫(z 2 − 2 z +3) dz ;	б) ∫
		( z + 2 +i 3)	2
0	−2−i3

	8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =5 функцию	3 − z
	8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =5 функцию	z −2
		z −2

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию			z −1		в кольце		1	<	z +i			<	1	.
			z −1				1						1
			z +i
					2							4
					2							4
10.	Найти и классифицировать особые точки функции											z2 −4
																.
										(z2 −9)(z2 +4)						.
11.	Найти вычеты относительно особых точек функции										tg (π z )				.
11.	Найти вычеты относительно особых точек функции														.
												3 z
12.	Вычислить интеграл ∫	1 −2cos(2z) d z , L :		z		=3 с помощью вычетов.
12.	Вычислить интеграл ∫	1 −2cos(2z) d z , L :		z		=3 с помощью вычетов.
	L	z (z −1)
		z (z −1)

413

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 18

z1 = 5 +i , z2 = 5 −i .

2.Представить z =1+i в тригонометрической и показательной фор-

мах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 + 2x + 2 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z − 12 ≤ 2 , Im z > −1 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f ( z ) = sh z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) =(z +1) (z −3) нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

1+i		z 2		z	sin z		dz .
7. Вычислить интегралы: а) ∫			dz ;	б) ∫
	z	2			( z −1)	2
0		+1		1

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z0 =1+i функцию zz +−1i

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9.Разложить в ряд Лорана функцию e1−z в кольце 0 < z −1 <3 .

10.Найти и классифицировать особые точки функции zctg−4z .

11.Найти вычеты относительно особых точек функции sin1 z .

12. Вычислить интеграл ∫	2z +1		d z , L :	z	=	3	с помощью вычетов.

						2
L z	(z −	1)

414

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 19

z1 = −2 −i , z2 =1 +i .

2. Представить z = 12 −i 23 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 + 4x + 9 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную усло-

виями: z +1 >1, z + 2 < 2 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = ctg z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) =3 −zi 4 нулю на единичной ок-

ружности с центром в начале координат.

i / 4

z dz

e z

7. Вычислить интегралы: а) ∫

; б) ∫

dz .

z 2 −1

( z −π / 2 )

π / 2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =1 функцию

ch z и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

3 z −4

в кольце

2 <

z +

<4 .

3 z +2

10. Найти и классифицировать особые точки функции

3 z +2

z2 −1

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

ez −1

12. Вычислить интеграл ∫

d z

, L:

z −1

=2 с помощью вычетов.

(z −2)

(z −1)

415

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 20

z1 = −1 +i 2 , z2 = −2 +i 3 .

2.Представить z = 22 +i 22 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 3x2 − 4x + 3 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z ≤ 2 , π6 < ϕ < π2 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = e zz−1 . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 3zz−−12 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

π / 2

z −1

7. Вычислить интегралы: а) ∫z cos z dz ;

б)

∫

dz .

( z +1 −i )

−1+i

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =1 −i

функцию

3 z +7

и найти

3 z −4

радиус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

в кольце 1 <

z + 2

< 2 .

z2 −4

ctg z

10. Найти и классифицировать особые точки функции

z −4

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

2 z −3

(z2 +1)(z +2)

12. Вычислить интеграл ∫cos3 z d z , L :

с помощью вычетов.

416

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 21

z1 = −i , z2 = 3 +i 2 .

2.Представить z = −1 −i в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 − x + 3 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную усло-

виями: z +1 >1, z + 2 < 2 .

5. Найти вещественную и мнимую части функции		1		1	. Регу-
	f (z) =		z +
		2		z

лярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

Равен ли интеграл от функции f (z) =

e z

нулю на единичной ок-

z +

ружности с центром в начале координат.

Вычислить интегралы: а)

−1+i

;

б)

z 2 − 2 z −

dz .

∫

1 − z 2

( z −3 −i )

3+i

Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =0

функцию

sh z

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию

в кольце 1 <

z + 2

<3 .

z2 −1

cos(π z)

10. Найти и классифицировать особые точки функции

(4z2 −1)(z2 +1)

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

2 z −3

(z2 +1)(z +2)

12. Вычислить интеграл ∫

4 z

z43

d z , L :

с помощью вычетов.

417

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 22

z1 = 6 −i 5 , z2 = −4 −i 3 .

2.Представить z = −3 + i 4 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + x +1 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z −1 < 3, Re z < 32 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = tg z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 2 zz−i нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

iπ / 2

7. Вычислить интегралы: а) ∫e z dz ;

−iπ / 2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −1

радиус сходимости полученного ряда.

z	ln z		dz .
б) ∫
	( z −2 )	4
2

функцию z 2 −2 z −3 и найти

9. Разложить в ряд Лорана функцию

3 z −4

в кольце 2 <

z +

<4 .

3 z +2

Найти и классифицировать особые точки функции

10.

(z +i)(z −2)2

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

2 z −3

2 +1)(z +2)

12.

Вычислить интеграл ∫

d z

, L :

z −1

= 2 с помощью вычетов.

(z −2)

(z −1)

418

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 23

z1 = −1 +i 2 , z2 = −2 +i 3 .

2.Представить z = −3 + i 4 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + 5x +12 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z +i ≤ 2 , Im z < 12 .

5. Найти вещественную и мнимую части функции		1		1	. Регу-
	f (z) =		z +
		2		z

лярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6. Равен ли интеграл от функции f (z) =(z +1) (z −3) нулю на единичной
окружности с центром в начале координат.
i	dz		z	6z5		dz .
7. Вычислить интегралы: а) ∫		;	б) ∫
	4 + z 2			( z −2 )	5
1−i			2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = 2 i

функцию

4 z + 1

и найти

радиус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

z −2

в кольце 1 <

< 4 .

2z3 +z2

−z

cos(π z)

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

(4z2 −1)(z2 +1)

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

sin z

12.

Вычислить интеграл ∫

1 −2cos(2z) d z , L :

=3 с помощью вычетов.

z (z −1)

419

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5242 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.05.2019199.2 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551.11 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20192.69 Mб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20192.94 Mб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc
#
01.05.2025207.36 Кб1Mitsubishi Corporation.doc
#
13.04.201514.02 Mб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.04.20255.57 Mб3mkt_kontr.doc
#
09.11.2018700.93 Кб11mk_1_1.doc
#
09.11.2018226.82 Кб3mk_1_2.doc
#
20.08.201962.98 Кб12MK_2.doc
#
04.09.2019129.54 Кб8MK_Krayinoznavstvo_2011.doc