MI_T2TerekhovSV
.pdf
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 19
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а) cos2 (ω 0 t) ; |
б) |
t |
cos u |
d u . |
∫ |
|
|||
|
|
u |
||
|
|
0 |
|
|
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y ( p) :
4 y ''' + y '' − 5 y ' , y'' (0) = −3 , y' (0) = −2 , y (0) =1 . |
|
||||
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: |
|
p |
. |
||
( p − 1)( p 2 + 25 ) |
|||||
|
|
|
|||
5. Решить дифференциальное уравнение y'' −y' = |
e2t |
при нулевых на- |
|||
t |
|||||
1+e |
|
|
|||
чальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) =0 ) с помощью интегралов Дюамеля. 6. Найти частные решения дифференциального уравнения
y''' − y' = 3(2 −t 2 ) , |
y'' (0) =1, y' (0) =1, y (0) =1 . |
|||||||||||||||
7. Решить систему дифференциальных уравнений |
|
|||||||||||||||
|
' ' |
− 2 x |
' |
|
= y |
|
x (0 ) =0 , |
x |
' |
(0 ) =0 |
|
|
||||
x |
|
|
|
, |
|
. |
|
|||||||||
|
' ' |
|
|
' |
|
|
|
y '(0 ) =0 |
|
|||||||
|
− 2 y |
= x |
y (0 ) =0, |
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. Решить операционным методом: |
|
|
|
∂ 2 T ( x ; t ) |
|
|||||||||||
а) уравнение теплопроводности |
|
∂ T ( x ; t ) = 324 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ t |
|
|
|
∂ x 2 |
|
|
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−7t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
=− |
∂I |
−I |
|
|
|
|
|
|
||||
б) телеграфное уравнение |
|
|
∂x |
∂t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, U(x; 0) =0, U (0; t ) =5t ;. |
||||||||||||
|
|
|
∂I |
=− ∂U |
−U |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) уравнение продольных колебаний стержня
∂ 2 f (x ; t) |
= 361 |
∂ 2 f (x ; t) , |
f ( x; 0) = |
∂ f ( x; 0) |
=0, |
f (0; t ) =0, |
∂ f (l ; t ) |
=5sin(ω t ). |
∂t 2 |
|
∂ x 2 |
|
∂t |
|
|
∂x |
|
440
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 20
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а) sin2 (3ω0 t) ; |
t |
б) ∫e−2 u sin(3u) du . |
|
|
0 |
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y(p) :
5 y ''' + 4 y ' − 2 y , y '' (0) = −1, y' (0) = −2 , y (0) = 2 . |
|
|
|||||
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: |
|
|
1 |
|
. |
||
|
|
|
p ( p − 8) 2 |
|
|
||
5. Решить дифференциальное уравнение y '' + y = |
|
|
1 |
|
при нулевых |
||
2 |
+ cos t |
||||||
|
|
|
|||||
начальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) = 0 ) с помощью интегралов Дюа-
меля. |
|
|
|
|
6. |
Найти частные решения дифференциального уравнения |
|
||
|
y'' + 2 y' + 2 y = 2 e−t sin t , y' (0) =1, y (0) =1 . |
|
|
|
7. |
' |
|
+ 2 y = 3t , x(0) =2. |
|
Решить систему дифференциальных уравнений x |
' |
|||
|
|
− 2 x = 4 |
y (0) =3 |
|
|
y |
|
|
|
8. Решить операционным методом:
а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; t )
∂ t
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−2t ;
∂U |
=−0,5 |
∂I |
−2 I |
|
|
∂x |
∂t |
||
б) телеграфное уравнение |
|
|
||
∂I |
=−3 ∂U +10U |
|||
|
∂x |
∂t |
|
|
|
|
|||
=625 ( x t ) ,
∂x 2
,U(x; 0) =0, U (0; t ) =3t ;;∂ 2 T
в) уравнение продольных колебаний стержня
∂ 2 f (x ; t) |
= 4 |
∂ 2 f (x ; t) , |
f ( x; 0) = |
∂ f ( x; 0) |
=0, |
f (0; t ) =0, |
∂ f (l ; t ) |
=2sin(ω t ). |
∂t 2 |
|
∂ x 2 |
|
∂t |
|
|
∂x |
|
441
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 21
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а)sin(4 t − 2) ; б) t sin(2 t) .
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y ( p) :
6 y '' − 7 y ' + 5 y , y ' (0) = 4 , |
y (0) = −2 . |
|
|
|
|
||
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: |
|
|
p 2 |
. |
|
||
|
|
|
( p 2 + 1) 2 |
|
|
||
5. Решить дифференциальное уравнение |
y'' +4 y = |
|
1 |
|
|
при нуле- |
|
|
+ cos2 |
|
|
||||
|
3 |
(2t) |
|||||
вых начальных условиях ( y' (0) = 0 |
, |
y (0) = 0 ) с помощью интегралов |
|
Дюамеля. |
|
|
|
6. |
Найти частные решения дифференциального уравнения |
||
|
y'' −2 y' =et (t 2 +t −3) |
, |
y' (0) = 2 , y (0) = 2 . |
7. |
Решить систему дифференциальных уравнений |
||
x' + y ' − y = et
2 x' + y ' + 2 y =
, x (0) =0.
cos t y (0) =0
8. Решить операционным методом: |
|
t ) = 441 ∂ 2 T ( x ; t ) , |
|
||||
а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; |
|
||||||
|
|
|
∂ t |
∂ x 2 |
|
|
|
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−8t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
=−8 |
∂I |
−3I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) телеграфное уравнение ∂x |
|
∂t |
|
, U(x; 0) =0, U (0; t ) =−4t ; |
|||
|
∂I |
=− ∂U −8U |
|
|
|||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
в) уравнение продольных колебаний стержня |
|
|
|||||
∂ 2 f (x ; t) |
= 49 ∂ 2 f (x ; t) , f ( x; 0) =∂ f ( x; 0) =0, f (0; t ) =0, |
∂ f (l ; t ) |
=2cos(ω t ). |
||||
∂t 2 |
∂ x 2 |
∂t |
|
|
∂x |
|
|
442
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 22
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а) −t sin(2 t) ; |
t |
б) ∫u3 e u du . |
|
|
0 |
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y ( p) :
4 y (4) + 3 y ''' + 2 y '' + y ' − 7 y , y''' (0) =1 , y'' (0) = −1, y' (0) =1, y (0) = −1 .
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: p 2 .
( p 2 + 1) 2
5. Решить дифференциальное уравнение y'' +16y =cos2(4t) при нулевых начальных условиях ( y' (0) = 0 , y(0) =0) с помощью интегралов Дюаме-
ля.
6. |
Найти частные решения дифференциального уравнения |
|
y''' − y' = 3(2 −t 2 ) , y'' (0) =1, y' (0) =1, y (0) =1 . |
7. |
Решить систему дифференциальных уравнений |
|
|
' |
+ x − y = e |
t |
|
||
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
' |
|
|
t |
|
−x + y |
+ y = e |
|||||
|
|
|
|||||
,x (0) =1.y (0) =1
8. Решить операционным методом: |
|
|
∂ 2T (x ; t) , |
||
а) уравнение теплопроводности ∂T (x ; t) |
=169 |
||||
|
|
∂t |
|
|
∂ x 2 |
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−2t ; |
|
|
|
|
|
∂U |
=−2 |
∂I |
−5 I |
|
|
|
|
|
|||
б) телеграфное уравнение ∂x |
|
∂t |
|
, U(x; 0) =0, U (0; t ) =9t ; |
|
∂I |
=−2 ∂U −3U |
|
|||
|
|
∂t |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
в) уравнение продольных колебаний стержня
∂ 2 f (x ; t) |
=36 |
∂ 2 f (x ; t) , |
f ( x; 0) = |
∂ f ( x; 0) |
=0, |
f (0; t ) =0, |
∂ f (l ; t ) |
=sin(ω t ). |
||
∂t |
|
∂x |
||||||||
∂t 2 |
|
∂ x 2 |
|
|
|
|
||||
443
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 23
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а) cos2 (ω 0 t) ; |
б) |
t |
cos u |
d u . |
∫ |
|
|||
|
|
u |
||
|
|
0 |
|
|
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y(p) :
|
5 y ''' + 4 y ' − 2 y , y '' (0) = −1, |
y' (0) = −2 , y (0) = 2 . |
|
|
|
|
||||||||||
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p ( p − 8) 2 |
|
|
|
|||||||
5. Решить дифференциальное уравнение y '' − y ' = |
|
1 |
|
|
|
|
при нулевых |
|||||||||
|
+ e t |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
начальных условиях ( y' (0) = 0 , |
y (0) = 0 ) |
с помощью интегралов Дюа- |
||||||||||||||
меля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти частные решения дифференциального уравнения |
|
|||||||||||||||
|
y''' −16 y' = t 2 +1, y'' (0) = −1, |
y' (0) = 0 , y (0) = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
7. Решить систему дифференциальных уравнений |
' |
+ 2 y |
= 3t , x (0) =2. |
|||||||||||||
x |
' |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 x |
= 4 |
y (0) =3 |
||||
8. Решить операционным методом: |
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||
|
t ) = 441 ∂ 2 T ( x ; t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂ t |
∂ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−8t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
=−8 |
∂I |
−3I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) телеграфное уравнение ∂x |
|
∂t |
|
, U(x; 0) =0, U (0; t ) =−4t ; |
|
|||||||||||
|
∂I |
=− ∂U −8U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) уравнение продольных колебаний стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂ 2 f (x ; t) |
= 49 ∂ 2 f (x ; t) , f ( x; 0) =∂ f ( x; 0) =0, f (0; t ) =0, ∂ f (l ; t ) |
=2cos(ω t ). |
||||||||||||||
∂t 2 |
∂ x 2 |
∂t |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||
444
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 24
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а) e t +7 ; б) t 3e −2 t .
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y ( p) :
y(4) − 2 y'' +3 y' , y''' (0) = −1 , y'' (0) = 2 , y' (0) = 0 , |
y (0) = 3 . |
|
||
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: |
|
p |
. |
|
( p − 1)( p 2 + 25 ) |
||||
|
|
|||
5. Решить дифференциальное уравнение y'' −y' = e2t при нулевых на-
1+et
чальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) =0 ) с помощью интегралов Дюамеля.
6. |
Найти частные решения дифференциального уравнения |
||||||||||
|
y''' − y' = 3(2 −t 2 ) , |
y'' (0) =1, y' (0) =1, y (0) =1 . |
|||||||||
7. |
Решить систему дифференциальных уравнений |
||||||||||
|
|
' ' |
− 2 x |
' |
= y |
x (0 ) =0 , |
x |
' |
(0 ) =0 |
|
|
|
x |
|
|
|
. |
||||||
|
|
' ' |
|
|
' |
|
, |
y '(0 ) =0 |
|||
|
|
− 2 y |
= x |
y (0 ) =0, |
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Решить операционным методом:
а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; t )
∂ t
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−3 t ;
∂U |
=−4 |
∂I |
−3I |
|
|
∂x |
∂t |
||
б) телеграфное уравнение |
|
|
||
∂I |
=−7 ∂U −4U |
|||
|
∂x |
|
∂t |
|
|
|
|
||
=144 ∂ 2 T ( x ; t ) ,
∂x 2
,U(x; 0) =0, U (0; t ) =5t ;
в) уравнение продольных колебаний стержня
∂ 2 f (x ; t) |
=16 |
∂ 2 f (x ; t) , |
f ( x; 0) = |
∂ f ( x; 0) |
=0, |
f (0; t ) =0, |
∂ f (l ; t ) |
=9sin(ω t ) . |
∂t 2 |
|
∂ x 2 |
|
∂t |
|
|
∂x |
|
445
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVI. Операционное исчисление
Вариант 25
1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:
а)sin(4 t − 2) ; б) t sin(2 t) .
2.Найти изображение графически заданного оригинала:
3.Найти изображение выражения, если y(t) 
Y ( p) :
4 y ''' + y '' − 5 y ' , y'' (0) = −3 , y' (0) = −2 , y (0) =1 . |
|
|
|
||||
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
p ( p 2 + 4 p + 21) |
||||
5. Решить дифференциальное уравнение |
y'' +4 y = |
|
1 |
|
при нуле- |
||
|
+ cos |
2 (2t) |
|||||
|
3 |
|
|
||||
вых начальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) = 0 ) с помощью интегралов Дюамеля.
6. Найти частные решения дифференциального уравнения
|
y''' −3 y' + 2 y = 8t e−t , |
y'' (0) =1, y' (0) = 0 , |
y (0) = 0 . |
|
||||||||||
7. Решить систему дифференциальных уравнений |
|
|
||||||||||||
|
|
' ' |
+ x + y = 5 |
|
|
|
|
|
' |
( 0 ) =0 |
|
|
||
|
x |
|
|
|
x ( 0 ) =0, |
x |
. |
|
||||||
|
|
' ' |
|
|
|
, |
|
( 0 ) =0, |
y ' ( 0 ) =0 |
|
||||
|
|
− 4 x − 3 y = − |
3 |
y |
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Решить операционным методом: |
|
|
∂ 2 T ( x ; t ) , |
|
||||||||||
а) уравнение теплопроводности |
∂ T ( x ; t ) = 441 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ t |
|
|
∂ x 2 |
|
|
||
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−8t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂U |
=−8 |
∂I |
−3I |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂x |
∂t |
|
|
|
|
|
||||
б) телеграфное уравнение |
|
|
|
, U(x; 0) =0, U (0; t ) =−4t ; |
||||||||||
|
|
|
∂I =− ∂U −8U |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) уравнение продольных колебаний стержня |
|
|
|
|
||||||||||
∂ 2 f (x ; t) |
= 49 ∂ 2 f (x ; t) , f ( x; 0) =∂ f ( x; 0) |
=0, f (0; t ) =0 |
, ∂ f (l ; t ) |
=2cos(ω t ). |
||||||||||
∂t 2 |
∂ x 2 |
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
∂x |
|
||
446
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный университет Кафедра “Нанофизика”
Национальная академия наук Украины
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина
Математический
инструментарий для студентов-физиков
Т.2. Задачи. Часть 2. Специальный курс
Замечание: для групп физиков-теоретиков приведены 10 вариантов заданий; в текстах заданий курсивом выделены основные слова, на которые следует обращать повышенное внимание.
447
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Модульный блок № 9
Задания для самостоятельного решения
XVII. Уравнения математической физики
Вариант 1
1.Вывести уравнение движения материальной точки с массой m ,
если лагранжиан L(t; x; x& =v) = m2v2 − k 2x 2 .
2.Найти решение уравнения колебаний струны длиной l а) методом
бегущих волн; б) методом разделения переменных:
∂ 2 u |
= 4 |
∂ 2 u |
, u(t; 0) =0. |
|
∂t 2 |
∂ x 2 |
|||
|
u(t; l ) =0 |
3. Найти решение уравнения диффузии а) методом автомодельной переменной; б) методом функции Грина:
∂ c(t; x) |
=11 |
∂2c (t; x) |
, c (0; x > 0) = 0, 2 |
: |
|||||||||
|
∂t |
|
|||||||||||
|
|
|
∂x 2 |
|
|
c (0; x < 0) = 0,8 |
|
||||||
4. Найти решение уравнения колебаний бесконечной струны |
|||||||||||||
|
∂ 2 u |
|
|
∂ 2 u |
u (0; x) = x − 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= 25 |
|
, |
∂u (0; |
x) |
= 4x |
+3 |
. |
|
||
|
∂ t 2 |
∂ x 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти решение уравнения |
d |
(1 − x 2 ) |
dy |
|
+ y = 0 в виде степенного |
|
d x |
dx |
|
||
ряда.
6. Найти методом разделения переменных решение уравнения Лап-
ласа для шаровой области единичного радиуса:
|
1 |
|
∂ |
|
ρ 2 |
∂u |
|
|
1 |
|
∂ |
|
∂u |
|
|
1 |
|
∂ |
2 |
u |
= 0 . |
∆u = |
|
|
|
+ |
|
sinθ |
|
+ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
ρ 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 |
|||||
|
|
∂ ρ |
|
∂ ρ |
|
ρ 2 sinθ ∂θ |
|
|
|||||||||||||
7. Найти решение стационарного уравнения Шрёдингера:
d 2ψ |
+(4−x2 )ψ =0 при условии |
∞ |
|
2 d ξ = |
1 . |
|||
∫ |
|
ψ |
|
|||||
|
|
|||||||
2 |
||||||||
d x |
−∞ |
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
||||
8. Найти решение уравнения Фредгольма 2-го рода
b
ϕ (x) − 2 ∫(x −s)ϕ (s) d s =4x . 3 a
448
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVII. Уравнения математической физики
Вариант 2
1.Вывести уравнение движения материальной точки с массой m ,
если лагранжиан L(t; x; x& =v) = m2v2 −mω2 x2 .
2.Найти решение уравнения колебаний струны длиной l а) методом
бегущих волн; б) методом разделения переменных:
∂ 2 u |
= 9 |
∂ 2 u |
, |
u (t ; 0) = 0 . |
|
∂t 2 |
∂ x 2 |
||||
|
|
u (t ; l ) = 0 |
3. Найти решение уравнения диффузии а) методом автомодельной переменной; б) методом функции Грина:
∂ c (t ; x) |
=24 |
∂ 2c (t ; x) |
, c (0; x > 0) = 0,3 |
: |
||||||||||||
|
∂t |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂ x 2 |
|
|
c (0; x < 0) = 0,7 |
|
|||||||||
4. Найти решение уравнения колебаний бесконечной струны |
||||||||||||||||
|
∂ 2 u |
|
|
∂ 2 u |
u (0; x) = x +8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= 121 |
|
|
|
|
, |
∂u (0; x) |
= 2x −5 |
. |
|
||||
|
∂ t 2 |
∂ x 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти решение уравнения |
d |
|
(1 − x 2 ) |
dy |
|
+ 9 y = 0 в виде степенного |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
dx |
|
|
|
||||
ряда.
6. Найти методом разделения переменных решение уравнения Лап-
ласа для шаровой области единичного радиуса:
|
1 |
|
∂ |
|
ρ 2 |
∂u |
|
|
1 |
|
∂ |
|
∂u |
|
|
1 |
|
∂ |
2 |
u |
= 0 . |
∆u = |
|
|
|
+ |
|
sinθ |
|
+ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
ρ 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 |
|||||
|
|
∂ ρ |
|
∂ ρ |
|
ρ 2 sinθ ∂θ |
|
|
|||||||||||||
7. Найти решение стационарного уравнения Шрёдингера:
d 2ψ |
+(7−x2 )ψ =0 при условии |
∞ |
|
2 d ξ = |
1 . |
|||
∫ |
|
ψ |
|
|||||
|
|
|||||||
2 |
||||||||
d x |
−∞ |
|
|
8 |
||||
|
|
|
|
|
||||
8. Найти решение уравнения Фредгольма 2-го рода
b
ϕ (x) −2∫(x −s)ϕ (s) d s =x −1.
a
449