MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ческого тела (области V ), если V :

2 x + y = 4, z = 0

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5237 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

	∫0		9− y 2
	∫0		∫0
12. Вычислить интеграл	4		(2 x − 3 y) dx dy		в полярной системе ко-
ординат.
ординат.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
		x 2 + y2		=2
				.
		y = x		.

x ≥0, y ≥0, y < x

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

	2	+ y	2	=4x	.
ческого тела (области V ), если V : x		+ y		=4x	.
	− z =0, 4 x − z =0
x	− z =0, 4 x − z =0

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

(y −1)

, а поверхностная плотность

тяжести, если область D : x

y ≥x

вещества γ(x; y) =2x.

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

стная плотность вещества в области D :

=1 равна γ (x ; y) = 5 .

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(4x + 3y)dl

по тре-

угольной области ABC : A(−1; − 2) ,

B(3; 0) ,

C(−1; 2) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

∫

− dy

непо-

3 y

2 x

ГD

средственно и по формуле Грина, если область D :

=1.

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) = 8 sin( k r) . Выяснить, является ли данная функция гар-

монической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F = ( 2 x − y ; 2 y + z ; x ) . Если для данного поля отсутствует

циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора J =(−3 y ; 2 y 2 ; z 2 −2 ) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.

360

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 10

1.	Изобразить область определения функции z =				x − y 2 +lg (x2 −3x + 2).
					4
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
		2x −9 y
	а) z = 9 y ln	2x −9 y	−arctg(x2 y) ;	б) z = x5	+ y2 − xy + 72x +9 y .
	а) z = 9 y ln		−arctg(x2 y) ;	б) z = x5	+ y2 − xy + 72x +9 y .
		y + 4
		y + 4

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

ций: а)	u −9	,	u = e y −2x ,	v = e3x − y ;	б) sin(z +2x3) +6xy +7x+y−z	2	=8 .
	z = ln

	v + 4

4. Удовлетворяет ли функция z =cos2(yx−y) соотношению:

y2 zxx'' = (y 2 z'y )y' .

5. Найти градиент и производную по направлению от функции z = 8 xe3 y −5x в точке M0 (−1; 0) в направлении S =(−1; 0) .

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности ctg x −z y −3x2 y4 − 2 = 0 в точке M0 (1; 1;0).

7.Найти экстремумы функции z = −2x2 − xy − 4 y 2 +3x .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z =−x2 +3 y2 +2x+6y в области D :	0 ≤ x ≤4	.
	1− x ≤ y ≤1

9. Найти условные экстремумы функции z = −2x 2 +3 y 2 + 4 y на линии

x −4 y 2 = 0 .		двумя способами через
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy
D			2		2
повторные интегралы, если область				+ ( y −1)		=16 .
	D : (x −1)

	x [−2 ; 3]

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

	1			1−x 2
	∫			∫f (x;
	∫			∫f (x;
	−1			0

1		1−x 2
12. Вычислить интеграл ∫			∫(x 2 + y
0			0

y)dy dx.

2 +9) dy dx в полярной системе ко-

ординат.

361

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y = x 2

y = x 2 / 2 .

x [1; 2]

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

		x2 + y 2 =4
ческого тела (области V ), если V : x + y + z =6 .
			+ z =10
		x + y	+ z =10

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
	2		, а поверхностная плотность
тяжести, если область D : y =x	2		, а поверхностная плотность
	2	/ 2, y =2
y =x		/ 2, y =2
вещества γ (x; y) =7 .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D :				2	равна γ (x ; y) = xy .
стная плотность вещества в области D :			x = y		равна γ (x ; y) = xy .

			x [0; 2]

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫3 xy dl				по треуго-
льной области ABC : A(−2; 0) , B(2; 0) , C(2; 4) .	L
льной области ABC : A(−2; 0) , B(2; 0) , C(2; 4) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода	∫	dx		+	dy непо-
	∫	x			3 y
	ГD
средственно и по формуле Грина, если область D :		= y	2	.
средственно и по формуле Грина, если область D :	x	= y		.

	x [0; 2]

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) = 11r + 2 r 0 . Выяснить, является ли данная функция гар-

r 2

монической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =(x 2 y −3z ; y 2 z −2x; x z 2 +5y) . Если для данного поля отсутству-

ет циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

				2				2
21. Вычислить поток вектора		=	x		y	; x;	x z		через поверхность еди-
	J		x		y		x z
	J			6			4
				6			4

ничной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

362

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 11

1.	Изобразить область определения функции z =					−	x
1.	Изобразить область определения функции z =				x2 + y 2 −9 +ln	−	.
							3
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
		x	;	б) z = 6x2	− 4 y + x +tg y .
	а) z = 5xe2x − y + 7 cos	x
	а) z = 5xe2x − y + 7 cos

		y

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

ций: а)			z = ctg(u + v), u = e xy , v = 3x − 2 y2 ; б) cos(z 2 − x4 ) − y2 x + arccos( y + 2z) = 5 .
4.	Удовлетворяет ли функция z = x2 −3y2			соотношению: x zxx'' = −y zxy'' .
5.		Найти градиент и производную по		направлению от функции
z =		x −3y	в точке M0 (3; 1) при α =π .
		y −3x

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0 (−2; −1; −1).

7.Найти экстремумы функции z = x3 − 4xy +12 y3 −11.

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 −2xy + y2 +4 в области D :	− 3 ≤ x ≤ 0	.
	− 2 ≤ y ≤ x + 1

9. Найти условные экстремумы функции z = −4 x2 + 8xy −12 x на линии

x+y 2 =2 .
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy				двумя способами через
			D		2		2
				1)	2	+(y −1)	2	=16 .
повторные интегралы, если область D : (x −				1)		+(y −1)		=16 .

			x [−2; 3]
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
2	4−y	2
2	4−y
∫0	f ( x ; y) dx dy .
∫0	2−∫y

12. Вычислить интеграл	3	9−y 2	1−(x2
	∫0	∫0
				+y2)dx dy в полярной системе ко-

ординат.
ординат.

363

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13.

Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

=10 x + 25

=6 x +9

14.

Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если

=9 .

V : x

+ y

+ z

+ y

=3 z

15.

Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

= 2 x

+ 1 ,

а поверхностная плотность

тяжести, если область D : y

− y − 1

= 0

вещества γ (x ; y) = x .

16.

Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

стная плотность вещества в области

D :

равна γ (x ; y) =1 .

y =4+4 x−x

y =−2

17.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(2x − y2 )dl по тре-

угольной области ABC : A(3; −1) ,

B(0 ; −1) ,

C(0; 4) .

18.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

∫[ ( y − x ) dx + ( y + x ) dy ] .

ГD

19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) = 8 sin( k r) . Выяснить, является ли данная функция гар-

монической.

20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F = (x 2 y −3z ; y 2 z −2x; x z 2 +5y) . Если для данного поля отсутст-

вует циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21.Вычислить поток вектора J =( x ; 5z; −x+2y−z ) через поверхность

единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

364

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 12

1.	Изобразить область определения функции
		z =		x		2		y	2		2 + x
		z =			4		−		−1 +arccos		.
					4			3			3
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:

	а) z = 8ctg	x − 2 y	−log		3	(sin(x −3y));				б) z = x4 y2 +5x − y2 + arcsin y .
	а) z = 8ctg		−log			(sin(x −3y));				б) z = x4 y2 +5x − y2 + arcsin y .

	x +3y

3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций: а) z = −9 lg(u −v),			u = sin(xy2 ) , v = x2 ; б) arctg (z + y) + 6xy + lg(2x + 3 y) + 4 = 0 .

4. Удовлетворяет ли функция z = arcsin				x		соотношению:
4. Удовлетворяет ли функция z = arcsin						соотношению:

			x + y
			x zx' + y z'y = 0 .
5.	Найти градиент и производную по				направлению от функции
z = x 2 arcsin( y −1)		в точке M (2; −2) в направлении						=(3; 4) .
z = x 2 arcsin( y −1)		в точке M (2; −2) в направлении					S	=(3; 4) .
			0
6.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z =		x2 y	в точке M0 (5; 2;3).
		y + 2x

7.Найти экстремумы функции z = x2 −6xy + y2 −12x + 4 y +3 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x 2 + 2 xy − 10 в области	−2			≤ x ≤	0		.
	D :					2
		0	≤ y ≤4		− x

9. Найти условные экстремумы функции z = −2x 2 +3 y 2 + 4 y на линии

x −4 y 2 = 0 .
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy		двумя способами через
D			2		2
повторные интегралы, если область		1)	2	+(y −1)	2	=16 .
повторные интегралы, если область	D : (x −	1)		+(y −1)		=16 .

	x [−2; 3]

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

1		y

∫		∫f (x; y)dx dy.
0		y

	12	144−y	2
12. Вычислить интеграл	12	144−y		x2 + y 2 dy dx в полярной системе ко-
	∫0	∫0

ординат.
ординат.

365

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y =sin x

y =cos x .x ≥0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V :

=2 y

, y =0, z =0.

+2 y +z =4

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

− x

а поверхностная плотность

тяжести, если область D : y = 4 x

− 5 x

y = 2 x

вещества γ (x ; y) = 2 .

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

x =1− y

стная плотность вещества в области D : x +y −2 =0 равна γ (x ;

y) =1 + y .

x [0 ;1]

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода

∫3x2 y dl

по тре-

угольной области ABC : A(1; 1) , B(1; 5) , C(2; 2) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

∫

− dy

непо-

3 y

2 x

ГD

средственно и по формуле Грина, если область D :

=1.

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) =	11r + 2 r 0	. Выяснить, является ли данная функция гар-
	r 2

монической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-

y −z

z −x

тенциал

x−y

;

. Если для данного поля отсутствует цир-

F =

y +z

x+y

z +x

куляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора J =(2x; −x+3 z; xy) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

366

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 13

1.	Изобразить область определения функции z =						5 x .
							y2 − x
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	а) z = 9x cos y −5		2 y	;	б) z = 5x2 y3 + 6xy + log3 (x − y) .
			x2

3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
	sin u					z
ций: а) z = 3tg		, u		= x − 4 y2	, v = x + y ; б) ctg		+ x3 y −8 y 4 = 2 .

	v
					x	− y

			y	соотношению:	zxx'' + z'yy' = 0 .
4.	Удовлетворяет ли функция z = arctg
4.	Удовлетворяет ли функция z = arctg
		x
5.	Найти градиент и производную		по	направлению	от функции
z = 9 x2 − 4 yx в точке M0 (−2; 0) при α =		π .
		2

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности cos(z2 − xy) + y2 x −2 =0 в точке M0 (2; −2; 2).

7.Найти экстремумы функции z = x3 − xy + y3 − x −3y + 2 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z =−x2 +3 y2 +2x+6y в области D :	0 ≤ x ≤4	.
	1− x ≤ y ≤1

9. Найти условные экстремумы функции z = x2 + y2 +2x −2y на линии

	x 2	+	y	2 =1.

	4
	4	9
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy								двумя способами через
					D
						y = x 2
повторные интегралы, если область D :							y =1 − x .
							y =1	+ x
							y =1	+ x

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
					4 3x

					∫ ∫f (x; y)dy dx.
					1 x
				5	25 − x 2
12. Вычислить интеграл ∫					∫ ( x +	y ) dy dx		в полярной системе ко-
				0	x 2

ординат.

367

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y 2 =2 x +1.

x − y −1=0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

x = 9 − y
тяжести, если область D :	x + y + 4 = 0 , а поверхностная плотность
	x [ 0 ; 3	]

вещества γ (x; y) = x y 2 .

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

стная плотность вещества в области D : x y =1

равна

γ (x ;

y) = x − 2 .

y =2 − x

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(4x + 3y)dl

по тре-

угольной области ABC : A(−1; − 2) , B(3; 0) , C(−1; 2) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

∫

dx +

непо-

3 y

ГD

средственно и по формуле Грина, если область

D :

x = y

x [0 ; 2]

19. Найти результат действия операторов grad

и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) =

. Выяснить, является ли данная функция гармони-

r 2

ческой.

на векторный по-

20. Найти результат действия операторов rot и div

y−z

z−x

x−y

;

тенциал F =

y+z

z+x

. Если для данного поля отсутствует цир-

x+y

куляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора J =(2x; −x+3z; xy) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

368

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 14

1.	Изобразить область определения функции
		z =		x − y −3 +log2 (x + y −1).
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	а) z = 3y tgx −	sin (2x − y)	;	б) z = 2xy − 4xy2 + ctgx .

		y
3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций:

а) z = 4 arcsin (uev ), u = 2xy , v = y − 2x ; б) z5 +3xy − 2 yz + arccos(2x −5 y + z) = 4 .

		y				(x2 zx' )' = y2 z'yy' .
4.	Удовлетворяет ли функция z = e		соотношению:
		3x
						x
5.	Найти градиент и производную по направлению от функции
z = x ln (2x − y2 )в точке M0 (2; 1) в направлении					=(2; −2) .
				S
6.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = x2 + y2 в точке M0 (2; 1; 2).

7.Найти экстремумы функции z = −2x2 − xy − 4 y2 +3x .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 + 3y 2 + x − y в области D :	0 ≤ x ≤1	.
	1− x ≤ y ≤1

9. Найти условные экстремумы функции z = x2 − y2 +2xy −4y на линии

x2 −y 2 =1.		двумя способами через
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy
D	x 2 + y 2 =4

повторные интегралы, если область
	D : y =−x2 .
		2
	y =−

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

		3	y/ 4
		∫ ∫f (x; y)dx dy.
		1	y
12. Вычислить интеграл	∫0	1− y 2		2 +y 2		в полярной системе ко-
	∫0		∫0
	1		(x		−1 ) dx dy

ординат.
ординат.

369

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5237 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025688 Кб2metodichni-vkazivki-operator-pk.docx
#
01.07.2025534 Кб0metodychka SUL.doc
#
01.04.2025284 Кб2metrologia_lab.docx
#
01.04.2025793 Кб1metrologia_laboratornye_raboty_2010.doc
#
22.09.2019186 Кб3Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
13.04.201514 Мб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.05.2019762 Кб36Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20193 Мб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20193 Мб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc