MI_T2TerekhovSV
.pdf
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 3
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 6 вокруг оси аппликат.
|
|
|
−1 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
−1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
−1 |
и вектора |
|
|
= |
5 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
1 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
1 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
3 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
1 |
1 |
− 2 |
|
ного тензора второго ранга |
1 |
−1 |
0 |
. |
− 2 |
0 |
2 |
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
−1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
1 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−4 ((x − y + z)i +(x + 4z)j +(x − y)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
320
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 4
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 3 вокруг оси абсцисс.
|
|
|
0 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
−2 |
3 |
−3 |
|
|
|
1 |
4 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
−1 |
0 |
−1 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
0 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
− 2 |
|||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
− 2 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
3 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
2 |
3 |
0 |
|
ного тензора второго ранга |
3 |
−1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−3 ((3x − 4 y)i + (2 y +5z)j + (− y + 2z)k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
321
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 5
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 3 вокруг оси ординат.
|
|
|
3 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
−2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 3
21
и найти его свёртку.
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 2 |
и вектора |
|
|
= |
1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
||
1 −1
0 1
5 − 3
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
6 |
3 |
0 |
|
га |
3 |
0 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
9 |
−1 |
0 |
|
ного тензора второго ранга |
−1 |
−1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
−1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−4 ((z − x − y)i +(2x −3y + z)j +(x −8y + z)k ), определить тип деформа-
ций и вычислить объёмную деформацию.
322
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 6
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 3 вокруг оси аппликат.
|
|
− 2 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
5 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
1 |
4 |
5 |
|
|
−2 |
0 |
4 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
−3 |
2 |
1 |
|
|
|
и найти его свёртку.
|
|
− 2 |
|
|
0 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
5 |
и вектора |
|
|
= |
−1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
0 |
− 2 |
|||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
7 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
1 |
−3 |
. |
|
0 |
−3 |
− 2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
1 |
6 |
1 |
|
|
ного тензора второго ранга |
6 |
− 4 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
3 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
4 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
1 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−2 ((5x − 2z)i + (7x − y)j + (2x +3y − z)k ), определить тип деформаций и вычислить объёмную деформацию.
323
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 7
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 4 вокруг оси абсцисс.
|
|
|
1 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
−1 |
1 |
4 |
|
|
|
−1 |
8 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
−2 |
−2 |
−7 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
1 |
|
−5 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= 2 |
. |
a |
b |
|||||||
|
|
−1 |
−1 |
|||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
1 |
2 |
0 |
|
|
га |
2 |
3 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
0 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
ного тензора второго ранга |
2 |
− 2 |
0 . |
|
|
|
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора. |
|||||||
|
|
|
−1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
2 |
. Какие дей- |
|||
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−3 ((− x + 2y −3z)i +(x −5y + 2z)j +(x − y +3z)k ), определить тип дефор-
маций и вычислить объёмную деформацию.
324
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 8
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 4 вокруг оси ординат.
|
|
|
− 2 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
−1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
5 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
1 |
0 |
−3 |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
− 2 |
|
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
−1 и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
3 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
3 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
1 |
0 |
0 |
|
|
ного тензора второго ранга |
0 |
− 3 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
−1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
5 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−4 ((4x − y + 6z)i + (2x − y)j + (− y + z)k ), определить тип деформаций и вычислить объёмную деформацию.
325
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 9
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 4 вокруг оси аппликат.
|
|
|
−3 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
−3 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
1 |
2 |
||
|
3 |
0 |
−5 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
4 |
−1 |
8 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
−3 |
|
|
−1 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
−3 |
и вектора |
|
|
= |
− 2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
−1 |
1 |
||||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
7 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
5 |
−1 |
. |
|
0 |
−1 |
0 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
2 |
1 |
1 |
|
|
ного тензора второго ранга |
1 |
− 4 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
7 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задается тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
1 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−2 ((7x −3y + z)i + (x + 4 y)j + (x − 2 y +3z)k ), определить тип деформа-
ций и вычислить объёмную деформацию.
326
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 10
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 3π / 4 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
5 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
4 |
3 |
2 |
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
7 |
1 |
1 |
−2 |
−1 |
0 |
|
и найти его свёртку.
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
5 и вектора |
|
|
= |
7 |
. |
|
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
2 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
4 |
− 2 |
. |
|
0 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|||
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
3 |
− 1 |
2 |
|
ного тензора второго ранга |
−1 |
−8 |
0 |
. |
|
2 |
0 |
−2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
− 2 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задается тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие |
|
0 |
0 |
0 |
|
действия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−4 ((−5y + 2z)i +(2x +6y − z)j +(2y − z)k ), определить тип деформаций и вычислить объёмную деформацию.
327
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 11
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол 3π / 4 вокруг оси ординат.
−1
2. Найти координаты вектора a = 3 в новой системе координат п.1. Вы-
1
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
0 |
− 3 |
1 |
|
|
|
5 |
−1 |
0 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
−1 |
|
6 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
3 |
и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
0 |
5 |
0 |
|
|
га |
5 |
−1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
9 |
−5 |
−3 |
|
ного тензора второго ранга |
−5 |
0 |
0 |
. |
−3 |
0 |
2 |
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10 −3 ((3x + y − z )i + (x + 3 y ) j + (x − z ) k ), определить тип деформаций и вычислить объёмную деформацию.
328
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 12
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 3π / 4 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
− 2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 2 |
4 |
−4 |
|
|||||||
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
3 |
6 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
− 2 |
|
|
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 2 |
и вектора |
|
|
= 4 . |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
||||||
|
|
− 2 |
−1 |
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
4 |
−1 |
0 |
|
га |
−1 − 4 |
0 . |
||
|
0 |
0 |
3 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
0 |
0 |
1 |
|
ного тензора второго ранга |
0 |
0 |
4 |
. |
|
1 |
4 |
− 2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
−1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−2 ((− x − y + 2z)i + (4x + y)j + (y − z)k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
329