MI_T2TerekhovSV
.pdf
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 23
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π вокруг оси ординат.
|
|
−2 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
−1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
−2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
1 |
1 |
7 |
|
||||||||
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
− 2 . |
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
||||||||
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
||||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
4 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
−1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
− 2 |
− 2 |
−1 |
|
|
ного тензора второго ранга |
− 2 |
3 |
1 |
. |
|
−1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
4 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−3 ((4x + y)i + (x + z)j + (2 y − z)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
340
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 24
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π вокруг оси аппликат.
|
|
3 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
4 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
4 |
−3 |
||
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
0 |
4 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
и найти его свёртку.
|
|
3 |
|
− 2 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
4 |
и вектора |
|
|
= |
3 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
3 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
2 |
−1 |
. |
0 |
−1 |
−1 |
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
4 |
4 |
2 |
|
|
ного тензора второго ранга |
4 |
1 |
−1 |
. |
|
2 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−4 ((x −3y)i +(y +3z)j +(z −3x)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
341
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 25
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
−1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
1 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|||||
− 2 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти внешнее произведение вектора a = |
−1 |
|
и вектора b |
= |
−5 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
− 2 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
4 |
− 2 |
8 |
|
ного тензора второго ранга |
− 2 |
1 |
3 |
. |
|
8 |
3 |
− 2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−4 ((z − x − y)i +(2x −3y + z)j +(x −8y + z)k ), определить тип деформа-
ций и вычислить объёмную деформацию.
342
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Модульный блок № 7
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 1
1. Изобразить область определения функции z = |
x2 |
+ y 2 |
|
− |
x |
|
−9 +ln |
3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
|
а) z = −2 |
x − y |
+3sin (xy); |
|
|
|
б) z = 2x3 y − 4x2 y2 + e x −2 y . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
||||||||||||
ций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) z = 5sin |
|
, u = x + 4 y , |
v = y − 2x ; |
б) z3 + y −9x + 4 x −2 y +3z −3 = 0 . |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Удовлетворяет ли функция z = sin 2 (2 y − x) соотношению: 4 zxx'' = z'yy' . |
||||||||||||
5. |
Найти градиент |
и |
|
производную |
по направлению от функции |
||||||||
z =sin (x − y) в точке M0 |
π |
; |
π |
|
при α = |
3π |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
3 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = 2xx−−yy в точке M0 (1; −1; 3).
7.Найти экстремумы функции z = x2 + xy + y 2 − 2x − y .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = x2 + 3y 2 + x − y в области D : |
0 ≤ x ≤1 |
. |
|
1− x ≤ y ≤1 |
|
9. Найти условные экстремумы функции z = x2 + y 2 + 2x − 2 y на линии
4x 2 + 9y 2 =1.
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через
D
x y = 4
повторные интегралы, если область D : y = x .
x = 4
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
2 |
|
4−y |
2 |
|
|
|
|
||
∫0 |
|
f ( x ; y) dx dy . |
||
|
2−∫y |
|
|
|
|
|
|
|
|
343
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
12. Вычислить интеграл |
2 |
|
4−y 2 |
|
||
|
∫ |
(x− y) dx dy в полярной системе коорди- |
||||
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
1−y |
|
|
|
нат.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
x y =4 |
|
. |
|
=0 |
|
y + x −5 |
|
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
x 2 + y 2 + z 2 =2z
ческого тела (области V ), если V : .
x 2 + y 2 = z
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
тяжести, если область D : x y =4 , а поверхностная плотность ве-
y +x −5=0
щества γ (x; y) = x2 y .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D : x y =1 |
равна γ (x ; |
y) = y . |
y + x −4 =0 |
|
|
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(x + 2 y)dl |
по тре- |
|
L
угольной области ABC : A(1; 1) , B(2 ; −1) , C(1; 3) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода 
∫[ y dx + x dy ] не-
ГD |
|
посредственно и по формуле Грина, если область D : x y =1 |
. |
y + x −4 =0 |
|
19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-
тенциал f (r) = |
3 |
. Выяснить, является ли данная функция гармони- |
|
r 2 |
|||
|
|
||
ческой. |
|
||
20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-
тенциал F = ( x − 2 y + 3z ; x − y + 5 z ; |
x z ). Если для данного поля от- |
сутствует циркуляция, то найти уравнения силовых линий. |
|
21. Вычислить поток вектора J =( |
x ; 5z; −x+2y−z ) через поверхность |
единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.
344
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 2
1. |
Изобразить область определения функции |
||||||||
|
z = |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
2 + x |
|
|
|
|
4 |
|
− |
|
−1 +arccos |
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
2. |
Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций: |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) z = 5xe2x − y + 7 cos |
|
; |
|
|
|
б) z = 6x2 − 4 y + x +tg y . |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
||||||||
ций: а) z = −2 cos (u v), u = x2 , v = y3 ; |
|
б) 4 y2 z +3xy −sin(z + 2x − y) = 0 . |
|||||||
4. |
Удовлетворяет ли функция z = |
y |
соотношению: (x2 zx' )' = y 2 z 'yy' . |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
5. |
Найти градиент |
и |
производную по направлению от функции |
||||||
z = cos (x + y) в точке M0 |
π |
; − |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6 |
в направлении S =(0; 1) . |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по- |
||||||||
верхности z 2 − 2xy + e x −3z +1 = 0 в точке M0 (3; 1; 2).
7.Найти экстремумы функции z = x3 + 4xy + y3 − 2x2 − 2 y2 .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 4 − x2 − y 2 в
области |
−1 |
≤ x ≤1 |
. |
|
D : |
|
≤ y ≤ 1−x2 |
||
|
− 1−x2 |
|
||
|
|
|
|
|
9. Найти условные экстремумы функции z = x2 − y2 + 2xy − 4 y на линии
x2 −y 2 =1.
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через
D
y = x 2
повторные интегралы, если область D : y =1−x.
y =1+x
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫f (x; y)dx dy. |
||
|
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить интеграл |
∫0 |
|
∫0 |
2 |
|
|
|
1−(x2 |
|
||||
3 |
|
9−y |
+y2)dx dy в полярной системе ко- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
345
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
y = xy =5x.x=1
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
|
2 |
+ y |
2 |
= z |
|
|
x |
|
|
. |
|||
ческого тела (области V ), если V : |
x 2 + y 2 |
|
||||
|
= z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
y = x
тяжести, если область D : y =5x, а поверхностная плотность веще-
x=1
ства γ (x ; y) = 2x + y .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D : y = 2x |
равна γ (x ; |
y) = x . |
||
y = 4 x, x =1 |
|
|
|
|
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(x − y)dl |
по тре- |
|||
угольной области ABC : A(0 ; −1) , B(4 ; −1) , C(4 ; 1) . |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода |
∫[ x 2 y dx + xy 2 dy ] |
|||
|
ГD |
|
|
|
непосредственно и по формуле Грина, если область D : y = 2x |
1 |
. |
||
|
y = 4 x, x = |
|
||
19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = −2 r . Выяснить, является ли данная функция гармони-
ческой.
20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-
|
|
|
|
|
y − z |
|
z − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тенциал |
|
|
|
x − y |
; |
; |
|
. Если для данного поля отсутствует |
||
|
|
|
|
|
||||||
F = |
y + z |
|
|
|||||||
|
|
|
x + y |
|
|
z + x |
|
|||
циркуляция, то найти уравнения силовых линий.
21. Вычислить поток вектора |
|
|
|
2x |
|
y |
|
4z |
|
через поверхность |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
J = − |
|
|
; |
|
|
; − |
|
|
||||
y+1 |
3z+2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|||||
единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.
346
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 3
1. Изобразить область определения функции z = 5 
x .
y2 − x
2. Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
z = 8ctg |
x − 2 y |
|
−log |
3 |
(sin(x −3y)); б) z = x4 y2 |
+5x − y2 |
+ arcsin y . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x +3y |
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций: а) z = ctg(u + v), u = e xy , |
v = 3x − 2 y2 ; |
б) cos(z 2 − x4 ) − y2 x + arccos( y + 2z) = 5 . |
|||
4. Удовлетворяет ли функция z = ln(e x + e y )соотношению: |
|||||
|
|
|
zxx'' z'yy' = (zxy'' )2 . |
||
5. Найти градиент и |
|
производную по направлению от функции |
|||
|
π |
; |
π |
π |
. |
z = ctg(2x − y) в точке M0 |
4 |
при α = |
6 |
||
|
|
2 |
|
||
6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = y 2 arcsin( x +1) в точке M0 (0; 2; −2) .
7.Найти экстремумы функции z = −x2 − xy − y2 + 6x + 2 .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = 3x2 − xy −4x + y в области D : |
|
−2 ≤ x ≤2 |
. |
|||
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
≤ y |
≤4 |
|
|
|
x |
|
|
|||
9. Найти условные экстремумы функции |
z = x 2 − 4 xy − 4 x на линии |
|||||
2 x − 4 y = 12 . |
|
|
|
|
|
|
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy |
двумя способами через |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
x 2 + y 2 =4 |
|
|
||||
|
|
2 . |
|
|
||
повторные интегралы, если область D : y =−x |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
y =− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
|
|
|
4 |
3x |
|
|
|
|
∫ ∫f (x; |
||
|
|
|
1 |
x |
|
|
12 |
|
144−y |
2 |
|
12. Вычислить интеграл |
|
|
|||
|
∫0 |
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
y)dy dx.
x2 + y 2 dy dx в полярной системе ко-
ординат.
347
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
y 2 =10 x + 25.
y2 =6 x +9
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
x 2 + y 2 + z 2 =4
ческого тела (области V ), если V : .
x 2 + y 2 =2x
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
y =x
тяжести, если область D : y =2−x , а поверхностная плотность
x =0, x =2
вещества γ (x ; y) = 4 .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхностная плотность вещества в области D : (x−1)2 +(y −1)2 =1 равна γ (x; y) =5. 17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫x2 dl по треуго-
L
льной области ABC : A(2 ; 1) , B(2; 4) , C(1; 1) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода 
∫[ 2 dx + y dy] не-
ГD
посредственно и по формуле Грина, если область D : (x −1)2 +(y −1)2 =1.
19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = 5 sin( k r) . Выяснить, является ли данная функция гар-
монической.
20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
тенциал |
|
|
|
x |
|
; |
; |
|
. Если для данного поля отсутствует циркуляция, |
||
|
|
|
|
|
|||||||
F = |
z |
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
x |
|
||||
то найти уравнения силовых линий.
21. Вычислить поток вектора J =(2x ; −x+3 z; xy) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.
348
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 4
1. Изобразить область определения функции
z= 
x − y −3 +log2 (x + y −1).
2.Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
а) z = 9x cos y −5 |
2 y |
; |
б) z = 5x2 y3 + 6xy + log3 (x − y) . |
|
x2 |
||||
|
|
|
||
3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
||||
ций: а) z = −9 lg(u −v), u = sin(xy2 ) , v = x2 ; б) arctg (z + y) + 6xy + lg(2x + 3 y) + 4 = 0 .
4. |
Удовлетворяет ли функция z = x2 |
−3y2 |
соотношению: x zxx'' = −y zxy'' . |
5. |
Найти градиент и производную |
по |
направлению от функции |
z =lg(x2 y)в точке M0 (−1; 1) в направлении S =(1; −1) .
6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0(−2; −1; −1).
7.Найти экстремумы функции z = x3 +3xy2 −15x −12 y .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = x2 +2xy − y2 −4x в области D : |
−1≤ x ≤3 |
. |
|
0 ≤ y ≤ x +1 |
|
9. Найти условные экстремумы функции z =4x2+8xy−2y 2 −x+y на линии
x + 2 y = 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy |
двумя способами через |
||||||||
|
|
|
D |
|
2 |
|
|
2 |
|
повторные интегралы, если область |
|
− y |
=1. |
||||||
D : x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
=6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле |
|||||||||
|
e ln x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ∫f (x; y) dy dx . |
|
|
|
|
|
|||
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
25 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить интеграл ∫ |
|
∫ ( x + y ) dy dx |
в полярной системе ко- |
||||||
0 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D : |
|||||||||
|
|
y =sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
349