MI_T2TerekhovSV
.pdf
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
|
− y |
2 |
|
|
x = 4 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
−4 = 0 |
|
|
x +2 y |
|
|||
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
|
2x |
2 |
+y |
2 |
+1 |
=z |
. |
ческого тела (области V ), если V : |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x+y =1, x = y = z =0 |
|
||||||
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
тяжести, если область D : x 2 +(y −1)2 =9, а поверхностная плотность
y ≥x
вещества γ(x; y) =2x.
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D : x = y2 равна γ (x ; y) = xy .
x [0; 2]
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(x + 2 y)dl по тре-
L
угольной области ABC : A(1; 1) , B(2 ; −1) , C(1; 3) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода 
∫[ x 2 y dx + xy 2 dy ]
ГD
непосредственно и по формуле Грина, если область D : y =2x .
y =4x, x=1
19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r ) = 5 sin( k r ) . Выяснить, является ли данная функция гар-
монической.
20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-
тенциал |
|
|
x+y |
|
y+z |
|
z+x |
|
. Если для данного поля отсутствует цир- |
|
|
|
|
||||||||
|
|
; |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
F = |
x |
y |
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
куляция, то найти уравнения силовых линий.
21. Вычислить поток вектора J =(3x 2 ; x −5 z ; x +3y) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.
370
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 15
1. |
Изобразить область определения функции z = |
x2 + y2 −1 +arcsin (x). |
||||
|
|
|
|
|
|
6 4 − x2 − y2 |
2. |
Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций: |
|||||
|
а) z = y3x + |
x2 |
; |
б) z = −6xy − x3 y2 −5 cos(x − 2 y) . |
||
|
sin(3y − 2x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
|||||
ций: а) z = −5 ln (4u −3v), u = xy2 , |
v = x3 y ; |
б) 8xy − x2 z 4 −3sin( y + 2zx) = 9 . |
||||
4. |
Удовлетворяет ли функция z = ln(x2 − y2 )соотношению: |
|||||
|
|
|
(zx' |
)2 + (z'y )2 = 2 z'yy' . |
|
|
5. |
Найти градиент и |
производную |
по направлению от функции |
|||
z = 8 xe3 y −5x в точке M0 (−1; 0) в направлении S =(−1; 0) .
6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = 2xx−−yy в точке M0 (1; −1; 3).
7.Найти экстремумы функции z = x3 − 4xy +12 y3 −11.
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = 3x2 − xy −4x + y в области |
−2 ≤ x ≤2 |
. |
||
D : |
2 |
|
||
|
|
≤ y ≤4 |
|
|
|
x |
|
|
|
9. Найти условные экстремумы функции z =4x2+8xy−2y 2 −x+y на линии
x + 2 y = 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy |
двумя способами через |
||||||
|
|
|
|
|
D |
y =3 x |
|
|
|
|
|
|
|
||
повторные интегралы, если область D : |
|
− x . |
|||||
y =4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
y =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =3 |
|
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле |
|||||||
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ f ( x; y) dy dx . |
|
|||
|
−1 |
2−x 2 |
|
|
|
||
12. Вычислить интеграл 4 |
|
16 −y |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
dy |
в полярной системе ко- |
||||
∫0 |
|
|
∫0 |
|
x 2 + y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординат.
371
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
x y =4 |
|
|
. |
y = x |
|
|
|
x =4, y =0 |
|
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
|
2 |
+ y |
2 |
=4x |
. |
ческого тела (области V ), если V : x |
|
|
|||
|
− z =0, 4 x − z =0 |
|
|||
x |
|
||||
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра |
||||
тяжести, если область |
|
2 |
|
, а поверхностная плотность |
D : y =x |
2 |
|
||
|
|
/ 2, |
y =2 |
|
|
y =x |
|
||
вещества γ (x; y) =7 . |
|
|
|
|
16. |
Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно- |
|||
стная плотность вещества в области D : x y =1 |
4 =0 |
равна γ (x ; |
y) = y . |
|
|
y + x − |
|
|
|
17. |
Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(x − y)dl |
по тре- |
||
угольной области ABC : A(0 ; −1) , B(4 ; −1) , C(4 ; 1) . |
|
L |
|
|
|
|
|
||
18. |
Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ 2 dx + y dy] не- |
|||
|
|
|
ГD |
|
посредственно и по формуле Грина, если область D : (x −1)2 +(y −1)2 =1.
19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = −7 cos(k r) . Выяснить, является ли данная функция гар-
монической.
20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-
тенциал F =(3x 2−y +z ; x −5 y 2 +z; x + y +z 2) . Если для данного поля отсут-
ствует циркуляция, то найти уравнения силовых линий.
21. Вычислить поток вектора J = (x 2 − y ; 4 y 2; x z 2 ) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.
372
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 15
1. |
Изобразить область определения функции z = |
|
6 |
1 − xy |
||||||||
x |
2 |
+ x + y . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
2. |
Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций: |
|||||||||||
|
а) z = |
3x + 4 y |
+ 2 ln (x +3y); |
|
б) z = 8xy − x2 y4 + 7 sin( y −3x) . |
|||||||
|
y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
|||||||||||
|
|
u +2v |
x2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|||
ций: а) z =8tg |
|
|
, u = |
|
, v = |
|
; б) 4 xy 2 z − x 2 z 2 |
+ log 7 ( x − 3 y − 2 z) = 0 . |
||||
|
|
y |
x |
|||||||||
|
|
v −1 |
|
|
|
|
|
|||||
4. Удовлетворяет ли функция z =cos2(yx−y) соотношению:
y2 zxx'' = (y 2 z'y )y' .
5. Найти градиент и производную по направлению от функции
z =sin (x − y) в точке M0 |
|
π |
; |
π |
при α = |
3π |
. |
||
|
2 |
3 |
|
|
|||||
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z 2 − 2xy + e x −3z +1 = 0 в точке M0 (3; 1; 2).
7.Найти экстремумы функции z = −x2 − xy − y 2 + 6x + 2 .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = x2 +2xy − y2 −4x в области D : |
−1≤ x ≤3 |
. |
|
0 ≤ y ≤ x +1 |
|
9. Найти условные экстремумы функции z =−x2 +4 xy + y2 −2y на линии
x2 +y2 =1. |
|
|
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; |
y) dx dy двумя способами через |
|
|
D |
x = y 2 |
|
|
|
|
|
|
повторные интегралы, если область D : x =1 − y 2 . |
||
|
|
|
|
|
y ≥0 |
|
|
|
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле |
||
3 |
x |
|
∫ |
∫ f (x; y) dy |
dx . |
1 x 3 |
|
|
373
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
|
∫0 |
|
36−y 2 |
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
12. Вычислить интеграл |
6 |
|
(x |
2 + y 2 ) 2 dx dy |
в полярной системе ко- |
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D : |
|||||
|
|
|
x 2 + y2 =2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
|
|
y ≥0, y < x |
|
|
|
|
x ≥0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
x2 + y 2 =4
ческого тела (области V ), если V : x + y + z =6 .
x + y + z =10
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
тяжести, если область D : x y =4 , а поверхностная плотность ве-
y +x −5=0
щества γ (x; y) = x2 y .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D : y = 2x |
|
равна |
γ (x ; y) = x . |
|||
y = 4 x, x =1 |
|
|
|
|
|
|
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫x2 dl |
|
по треуго- |
||||
льной области ABC : A(2 ; 1) , B(2; 4) , C(1; 1) . |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода |
dx |
+ dy не- |
||||
|
|
|
∫ |
y |
|
|
|
|
|
Г D |
|
|
|
посредственно и по формуле Грина, если область D : |
|
|
2 |
. |
||
y = x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1 |
|
|
|
19. Найти результат действия операторов grad |
и ∆ на скалярный по- |
|||||
тенциал f (r) = − 4r . Выяснить, является ли данная функция гармони-
ческой.
20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =(x2y ; yz; xz 2 ). Если для данного поля отсутствует циркуля-
ция, то найти уравнения силовых линий.
21.Вычислить поток вектора J =(3y ; 2 x +y 2 −2 z; 3 x y z )через поверхно-
сть единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.
374
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 16
1. Изобразить область определения функции |
|
|
||||
z = |
(x −1)2 |
+ ( y +1)2 |
− 4 |
1 − x |
|
|
+ln |
+1 |
. |
||||
|
|
|
|
x |
|
|
2. Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций: |
||||||
y −1 |
|
|
2 |
|
|
|
а) z = 7xtg |
|
|
+ 3e x |
|
−3 y ; |
б) z = xy2 − x2 y + log7 (x + y − 2) . |
|
|
|||||
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
|||||||||||
|
u −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ций: а) z = ln |
|
, u = e y −2x , |
v = e3x − y ; |
б) sin(z +2x3) +6xy +7x+y−z |
|
=8 . |
||||||
|
|
|||||||||||
|
v + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Удовлетворяет ли функция z = sin 2 (2 y − x) соотношению: 4 zxx'' = z'yy' . |
|||||||||||
5. |
Найти градиент |
и |
производную по направлению от функции |
|||||||||
z = cos (x + y) в точке M0 |
π |
; − |
π |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
6 |
в направлении S =(0; 1) . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = y 2 arcsin( x +1) в точке M0 (0; 2; −2) .
7.Найти экстремумы функции z = x3 +3xy2 −15x −12 y .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = x2 −3 xy + 6 y2 + 4 в области |
D : |
−1 |
≤ x ≤2 |
. |
|
|
−1 |
≤ y ≤1 − x |
|
9. Найти условные экстремумы функции z = −x2 −2 xy +4x +6 на линии
4x 2 +9 y 2 = 36 . |
|
|
|
двумя способами через |
|||
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy |
|||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− x |
2 |
=1 |
|
|
повторные интегралы, если область |
y |
|
|
. |
|||
D : |
|
|
4 − x 2 |
||||
|
y = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
|
|
π / 2 sin y |
||
|
|
∫ |
|
∫f (x; |
|
|
0 |
|
0 |
|
∫0 |
|
9− y 2 |
|
|
|
∫0 |
|
|
12. Вычислить интеграл |
4 |
|
|
(2 x − |
ординат.
y)dx dy.
3 y) dx dy в полярной системе ко-
375
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
y = x2
y = x 2/ 2 .
x [1; 2]
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
|
2 |
|
2 |
|
2 |
=2z . |
ческого тела (области V ), если V : x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
|
|
|
+ y |
= z |
|
|
||
x |
|
|
|
|
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
y = x
тяжести, если область D : y =5x, а поверхностная плотность веще-
x=1
ства γ (x ; y) = 2x + y .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхностная плотность вещества в области D : (x−1)2 +(y −1)2 =1 равна γ (x; y) =5.
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫y dl |
|
по треуго- |
||||||||||||||||||||||
льной области ABC : |
A(0 ; 1) , B(−1; − 2) , C(−1; 4) . |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода |
|
2 dx |
+ dy |
непо- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГD |
|
|
|
|
средственно и по формуле Грина, если область D : |
|
|
2 |
+1. |
|
|||||||||||||||||||
y =−x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =0 |
|
|
|
|
19. Найти результат действия операторов grad |
|
и ∆ на скалярный по- |
||||||||||||||||||||||
тенциал f (r) = |
|
|
6 r |
. Выяснить, является ли данная функция гармо- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r − r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на векторный по- |
|||||||
20. Найти результат действия операторов rot и div |
||||||||||||||||||||||||
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тенциал F = |
|
|
|
|
|
+3y ; |
x + y −z ; xy . Если для данного поля отсутствует |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
циркуляция, то найти уравнения силовых линий. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y −3 z |
|
x y z |
|
|
x −y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. Вычислить поток вектора J = |
|
; |
|
|
; |
|
|
|
через поверхно- |
|||||||||||||||
3 |
5 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сть единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y2 +z 2 =1.
376
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 16
1. |
Изобразить область определения функции |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 4 − x 2 − y2 |
+ arccos (x − 2). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2. |
Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций: |
||||||||||||
|
|
а) |
|
|
2x −9 y |
|
|
|
|
||||
|
|
z = 9 y ln |
−arctg(x2 y) ; |
|
б) z = x5 + y2 − xy |
+ 72x +9 y . |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y + 4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||
ций: а) |
z |
= 5sin |
|
|
, u = x + 4 y , v = y − 2x ; б) z3 + y −9x + 4 x −2 y +3z −3 = 0 . |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Удовлетворяет ли функция z = |
y |
соотношению: (x2 zx' |
)' = y 2 z'yy' . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
5. |
Найти градиент |
и производную |
по направлению |
от функции |
|||||||||
z = − |
x3 |
|
в точке M0 |
(1; 1) при α = |
5π |
. |
|
|
|
||||
y + 2x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0(−2; −1; −1).
7.Найти экстремумы функции z = x2 − 2 xy + y2 + 6x − 4 y +5 .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = 2 xy + y2 +4x −4 в области D : 0 |
≤ x ≤4 |
. |
x |
−4 ≤ y ≤0 |
|
9. Найти условные экстремумы функции z = 2 y 2 − 4 x + 6 y на линии
x + y = 4 . |
|
|
|
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; |
y) dx dy |
двумя способами через |
|
|
D |
y =2 x −4 |
|
|
|
||
повторные интегралы, если область D : y = x +1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
x [1;3] |
|
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле |
|||
5 |
y+2 |
|
|
∫ ∫ f (x ; y) dx dy . |
|
||
3 y+1 |
|
|
|
1 |
1−x 2 |
|
|
12. Вычислить интеграл ∫ |
∫(x 2 + y 2 +9) dy dx |
в полярной системе ко- |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
ординат.
377
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
x y =4 |
|
. |
|
=0 |
|
y + x −5 |
|
14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-
|
2 |
+ y |
2 |
= z |
|
||
x |
|
|
. |
||||
ческого тела (области V ), если V : |
x 2 |
+ y 2 |
|
||||
|
= z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
y =x |
|
|
|
тяжести, если область D : y =2−x |
, а поверхностная плотность |
||
|
|
|
|
x =0, x =2 |
|
|
|
вещества γ (x ; y) = 4 . |
|
|
|
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно- |
|||
стная плотность вещества в области |
|
2 |
равна γ (x ; y) = x − y . |
D : y = x |
|
||
|
|
|
|
|
y =1 |
|
|
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(2 x 2 |
− 3 y )dl по |
|||
L |
|
|
|
|
треугольной области ABC : A(0; 0) , B(0; 4) , C(4; 0) . |
|
|
|
|
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода |
|
|
|
|
∫[ ( y + 1) dx + ( x − 1) dy ] |
|
|
|
|
Г D |
|
|
|
|
непосредственно и по формуле Грина, если область D : |
|
=4 +4 x −x |
2 |
. |
y |
|
|||
|
|
=−2 |
|
|
|
y |
|
|
|
19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-
тенциал |
|
r |
|
. Выяснить, является ли данная функция гар- |
||
f (r) = −9 ln |
|
|||||
r |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
монической.
20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-
тенциал |
|
|
|
x y |
. Если для данного поля отсутствует цир- |
|
|
|
|||||
F = x y z ; x+y+z; |
|
|
||||
|
||||||
|
|
|
|
z |
|
|
куляция, то найти уравнения силовых линий.
21. Вычислить поток вектора J =(−3 y ; 2 y 2 ; z 2 −2 ) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.
378
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIV. Функции нескольких переменных
Вариант 17
1. |
Изобразить область определения функции z = x − y 2 +lg (x2 −3x + 2). |
|||
|
|
|
|
4 |
2. |
Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций: |
|||
|
а) z = −2 |
x − y |
+3sin (xy); |
б) z = 2x3 y − 4x2 y2 + e x −2 y . |
|
|
|||
|
|
x + y |
|
|
3. |
Найти первые частные производные сложной и неявной функ- |
|||
ций: а) z = ctg(u + v), u = e xy , v = 3x − 2 y2 ; б) cos(z 2 − x4 ) − y2 x + arccos( y + 2z) = 5 .
5. Найти градиент и производную по направлению от функции z =lg(x2 y)в точке M0 (−1; 1) в направлении S =(1; −1) .
6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = 9 x2 − 4 yx в точке M0 (2; 1; −2).
7.Найти экстремумы функции z = 3x2 − 2 xy + y2 − 6x +10 .
8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x2 −2y2 +4 в
области |
−2 |
≤ x ≤ 2 |
. |
|
D : |
4−x2 |
≤ y ≤ 4−x2 |
||
|
− |
|
||
|
|
|
|
|
9. Найти условные экстремумы функции z = 6 x 2 − 2 xy + 4 y на линии
3 x − 2 y = 6 . |
|
|
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy |
двумя способами через |
|
D |
|
− y2 |
|
x =9 |
|
повторные интегралы, если область |
|
|
D : x =1 − y 2 . |
||
|
|
|
x [0; 7]
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
|
|
|
1 |
|
1−x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫f (x; y)dy dx. |
||||
|
|
−1 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить интеграл |
∫0 |
|
|
∫0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1−(x2 |
|
|
||||
3 |
|
9−y |
+y 2) dx dy в полярной системе ко- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D : |
|||||||||
|
|
|
x y =4 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
||
|
|
|
y + x −5 |
|
|||||
379