MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

. Если для данного поля отсутствует цир-

F = x y z ; x+y+z;

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5240 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y 2 =10 x + 25.

y2 =6 x +9

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

	x2 + y 2 =4
ческого тела (области V ), если V : x + y + z =6 .
			+ y + z =10
	x		+ y + z =10

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
	− x		2	, а поверхностная плотность
тяжести, если область D : y = 4 x	− x			, а поверхностная плотность
	2	− 5 x
y = 2 x		− 5 x
вещества γ (x ; y) = 2 .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D : y = 2x					равна γ (x ;	y) = x .
				y = 4 x, x =1
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(2x − y2 )dl						по тре-
угольной области ABC : A(3; −1) , B(0 ; −1) ,				C(0; 4) .	L
угольной области ABC : A(3; −1) , B(0 ; −1) ,				C(0; 4) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
∫[ ( y + 1) dx + ( x − 1) dy ]
Г D
							2	.
непосредственно и по формуле Грина, если область D : y =4 +4 x −x								.

					y =−2

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = e−rk r . Выяснить, является ли данная функция гармо-

нической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-

					y−z		z−x

тенциал			x−y	;		;

	F =				y+z			. Если для данного поля отсутствует цир-
		x+y					z+x

куляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора J =(3x 2 ; x −5 z ; x +3y) через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.

390

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 23

1. Изобразить область определения функции				− x
z =	(x −1)2	+ ( y +1)2	1
			− 4 +ln	+1	.
			x

2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	а) z =	3x + 4 y	+ 2 ln (x +3y);						б) z = 8xy − x2 y4 + 7 sin( y −3x) .
	а) z =		+ 2 ln (x +3y);						б) z = 8xy − x2 y4 + 7 sin( y −3x) .
		y
3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций: а) z = ctg(u + v), u = e xy ,						v = 3x − 2 y2 ;		б) cos(z 2 − x4 ) − y2 x + arccos( y + 2z) = 5 .
4.	Удовлетворяет ли функция z =						y		соотношению: (x2 zx'	)' = y 2 z'yy' .
							x			x
5.	Найти градиент и				производную по направлению					от функции
				π	;	π		π	.
z = ctg(2x − y) в точке M0				4	;	при α =		6	.
				4		2		6

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0(−2; −1; −1).

7.Найти экстремумы функции z = −2x2 − xy − 4 y2 +3x .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 +2xy − y2 −4x в области D :	−1≤ x ≤3	.
	0 ≤ y ≤ x +1

9. Найти условные экстремумы функции z = −x2 −2 xy +4x +6 на линии

4x 2 +9y 2 =36.

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

x = y 2

повторные интегралы, если область D : x =1 − y 2 .

y ≥0

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

		5 y+2
		∫ ∫ f (x; y) dx dy.
		3 y+1
12. Вычислить интеграл	∫0		1− y 2	2 +y 2		в полярной системе ко-
	∫0		∫0
	1		(x		−1 ) dx dy

ординат.
ординат.

391

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y = x2

y = x 2/ 2 .

x [1; 2]

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

		2	+ y	2	=4x	.
ческого тела (области V ), если V : x			+ y		=4x	.
		− z =0, 4 x − z =0
	x	− z =0, 4 x − z =0
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
x = 9 − y
тяжести, если область D :	x + y + 4 = 0 ,			а поверхностная плотность
	x [ 0 ; 3 ]
	x [ 0 ; 3 ]

вещества γ (x; y) = x y 2 .

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхностная плотность вещества в области D : (x−1)2 +(y −1)2 =1 равна γ (x; y) =5.

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода		∫3x2 y dl			по тре-
угольной области ABC : A(1; 1) , B(1; 5) , C(2; 2) .		L
угольной области ABC : A(1; 1) , B(1; 5) , C(2; 2) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода	∫	2 dx		+ dy		непо-
	∫			x
	ГD
средственно и по формуле Грина, если область D :			2	+1.
средственно и по формуле Грина, если область D :	y =−x			+1.

	y =0

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = r −6 rr 0 . Выяснить, является ли данная функция гармо-

нической.

20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =(3x 2−y +z ; x −5 y 2 +z; x + y +z 2) . Если для данного поля отсут-

ствует циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21.Вычислить поток вектора J =(3y ; 2 x +y 2 −2 z; 3 x y z )через поверхно-

сть единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.

392

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 24

1.	Изобразить область определения функции z =					6	1 − xy
1.	Изобразить область определения функции z =				x	2	+ x + y .
					x		− y
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
		x	;	б) z = 6x2			+ x +tg y .
	а) z = 5xe2x − y + 7 cos	x			− 4 y
	а) z = 5xe2x − y + 7 cos				− 4 y

		y

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

ций: а)		z = ctg(u + v), u = e xy , v = 3x − 2 y2 ; б) cos(z 2 − x4 ) − y2 x + arccos( y + 2z) = 5 .
4. Удовлетворяет ли функция z = ln(x2 − y2 )соотношению:
				(zx' )2 + (z'y )2 = 2 z'yy' .
5. Найти градиент				и производную по направлению от функции
z = −	x3		в точке M0	(1; 1) при α =	5π	.
	y + 2x
				4

6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности z =	x2 y	в точке M0 (5; 2;3).
	y + 2x

7.Найти экстремумы функции z = x3 − 4xy +12 y3 −11.

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 +2xy − y2 −4x в области D :	−1≤ x ≤3	.
	0 ≤ y ≤ x +1

9. Найти условные экстремумы функции z = 6 x 2 − 2 xy + 4 y на линии

3 x − 2 y = 6 .

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

y =2 x −4

повторные интегралы, если область D : y = x +1 .

x [1;3]

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

		1		4
		∫		∫f (x; y)dy dx.
		−1 2−x 2
12. Вычислить интеграл	∫0	1− y 2				в полярной системе ко-
	∫0		∫0	(x 2 +y 2
	1			(x 2 +y 2	−1 ) dx dy

ординат.
ординат.

393

y =x22

y =x / 2, y =2

x=2 y 2, y =0, z =0.

x+2 y +z =4

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y = x2

y = x 2/ 2 .

x [1; 2]

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V :

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра тяжести, если область D : , а поверхностная плотность

вещества γ (x; y) =7 .

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

стная плотность вещества в области D : x y =1	равна	γ (x ; y) = y .
y + x −4 =0
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫ 3 xy		dl по треу-
гольной области ABC : A(−2; 0) , B(2; 0) , C(2; 4) .	L
гольной области ABC : A(−2; 0) , B(2; 0) , C(2; 4) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ x dx − y dy ] не-

Г D

x =1− y

посредственно и по формуле Грина, если область D : x +y −2 = 0.

x [0 ;1]

нической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-

тенциал		x+y		y+z		z +x	. Если для данного поля отсутствует цир-

			;		;

	F =	x		y		z

куляция, то найти уравнения силовых линий.

394

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 25

1. Изобразить область определения функции				− x
z =	(x −1)2	+ ( y +1)2	1
			− 4 +ln	+1	.
			x

Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:

а) z =

3x + 4 y

+ 2 ln (x +3y);

б) z = 8xy − x2 y4 + 7 sin( y −3x) .

Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

−9

ций: а) z = ln

, u = e y −2x , v = e3x − y ;

б) sin(z +2x3) +6xy +

7x+y−z

=8 .

+ 4

Удовлетворяет ли функция z = e

соотношению: (x2 zx' )'

= y2 z'yy' .

Найти градиент и производную

по направлению от функции

z = x 2 arcsin( y −1) в точке M (2; −2) в направлении

=(3; 4) .

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности cos(z2 − xy) + y2 x −2 =0 в точке M0 (2; −2; 2).

7.Найти экстремумы функции z = 3x2 − 2 xy + y2 − 6x +10 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 4 − x2 − y 2 в

области	−1	≤ x ≤1		.
	D :		≤ y ≤ 1−x2
	− 1−x2

9. Найти условные экстремумы функции z =4x2+8xy−2y 2 −x+y на линии

x + 2 y = 6 .				двумя способами через
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy				двумя способами через
D
		2	−x	2	=1
повторные интегралы, если область	y		−x		=1	.
повторные интегралы, если область	D :					.
	y = 4−x2

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

12. Вычислить интеграл

ординат.

	1	4
	∫	∫f (x; y)dy dx.
	−1 2−x 2
3	9−y 2
∫	∫	4−(x2 +y 2) dx dy в полярной системе ко-
0	0

395

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y = x2

y = x 2/ 2 .

x [1; 2]

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

	2	+ y		2	= z
x		+ y			= z		.
ческого тела (области V ), если V :	x 2		+ y 2				.
	x 2		+ y 2			= z

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

тяжести, если область D : y 2 = 2 x +1 , а поверхностная плотность

x − y −1 = 0

вещества γ (x ; y) = x .

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

стная плотность вещества в области D :	x2	+	y2	=1 равна γ (x ; y) = 5 .
	4
		9

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫3 xy dl по треу-

гольной области ABC : A(−2; 0) , B(2; 0) , C(2; 4) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ x dx − y dy ] не-

Г D

x =1− y

посредственно и по формуле Грина, если область D : x +y −2 = 0.

x [0 ;1]

нической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-

куляция, то найти уравнения силовых линий.

396

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 1

1. Выполнить арифметические действия над комплексными числами z1 и z2 , отобразить все числа на комплексной плоскости, если

z1 = 2 +i 3 , z2 = 3 −i .

2.Представить z =1+i в тригонометрической и показательной фор-

мах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 − 4x + 5 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z +1 ≤ 3 , Re z <1.

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = cos z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = z −z1+i нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

1+i

z 2

sin z

dz .

Вычислить интегралы: а) ∫

dz ;

б) ∫

( z −1)

Разложить в ряд Тейлора в точке z0 =i

функцию sin(2z)

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию

в кольце 1 <

z + 2

<3 .

z2 −1

sin(π z)

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

z4 −1

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

sin z

12.

Вычислить интеграл ∫

2z +1

d z , L :

с помощью вычетов.

L z

(z −

397

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 2

z1 = −2 −i , z2 =1 +i .

2.Представить z = i в тригонометрической и показательной фор-

мах записи.

3.Решить квадратное уравнение 2x 2 − x +1 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную усло-

виями: z −i ≥ 32 , ϕ ≤ π4 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = tg z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = z +z i 2 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

π−i

cos z

7. Вычислить интегралы: а) ∫sin z dz ;

б) ∫

dz .

( z − 2 +i )

π / 3

2−i

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =0 функцию sh z

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

в кольце 1 <

z −i

<3 .

z2 +1

cos(π z)

10. Найти и классифицировать особые точки функции

(4z2 −1)(z2

+1)

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

(1−ez )(z2

−1)

12. Вычислить интеграл ∫ e2z 2

=1 с помощью вычетов.

d z , L :

z −

L z −1

398

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 3

z1 = 4 +i , z2 = 2 +i 5 .

2.Представить z = −1 −i в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 + 2x + 2 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: Re z ≤ 2 , − 2 < Im z ≤ 12 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = ctg z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = z e−z нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

iπ / 2

ln z

dz .

7. Вычислить интегралы: а) ∫e z dz ;

б)

∫

( z −2 )

−iπ / 2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =1 функцию ch z

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

2 z +1

в кольце 2 <

z +1

<3 .

z2 −2 z −3

5 z −4

10. Найти и классифицировать особые точки функции

z2 −4 z +5

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

z2 +1

(z −4) (z +1)

d z

= 2

с помощью вычетов.

12. Вычислить интеграл ∫z(z −i)(z −2i)

, L :

z −i

399

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5240 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025688 Кб2metodichni-vkazivki-operator-pk.docx
#
01.07.2025534 Кб0metodychka SUL.doc
#
01.04.2025284 Кб2metrologia_lab.docx
#
01.04.2025793 Кб1metrologia_laboratornye_raboty_2010.doc
#
22.09.2019186 Кб3Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
13.04.201514 Мб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.05.2019762 Кб36Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20193 Мб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20193 Мб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc