MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

12. Вычислить интеграл ∫ e2z 2

=1 с помощью вычетов.

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5241 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 4

1. Выполнить арифметические действия над комплексными числами z1 и z2 , отобразить все числа на комплексной плоскости, если

z1 = −1 +i 2 , z2 = −2 +i 3 .

2.Представить z = −3 + i 4 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 − x + 3 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z ≤ 2 , π6 < ϕ < π2 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = z z−i . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

Равен ли интеграл от функции f (z) =

нулю на единичной

z − (1/ 2)

окружности с центром в начале координат.

i / 2

2 z +i

dz .

Вычислить интегралы: а) ∫(z 2 − 2 z +3) dz ;

б) ∫

( z + 2 +i 3)

−2−i3

Разложить в ряд Тейлора в точке z0 =1+i

функцию

z +1

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

z −i

Разложить в ряд Лорана функцию

3 z −4

в кольце 2 <

z +

<4 .

3 z +2

10. Найти и классифицировать особые точки функции

z +2

(z2 +z −2)(z +1)

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

ez −1

12. Вычислить интеграл ∫

cos3 z d z , L :

с помощью вычетов.

400

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 5

z1 = 6 −i 5 , z2 = −4 −i 3 .

2. Представить z = 12 −i 23 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 2 x2 −3x + 4 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z − 12 ≤ 2 , Im z > −1 .

5. Найти вещественную и мнимую части функции		1		1	. Регу-
	f (z) =		z +
		2		z

лярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

Равен ли интеграл от функции f (z) =

нулю на единичной ок-

3 −i 4

ружности с центром в начале координат.

tg z

Вычислить интегралы: а) ∫(3z −i 2) dz ;

б)

∫

dz .

z −π / 3

π / 3

Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =5 функцию

3 − z

и найти ра-

z −2

диус сходимости полученного ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию

z −2

в кольце 1 <

< 4 .

2z3 +z2

−z

10. Найти и классифицировать особые точки функции

z 2 + z

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

z 3 +i 3

12. Вычислить интеграл ∫

ze z

d z , L :

z −π i

с помощью вычетов.

401

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 6

z1 = −i , z2 = 3 +i 2 .

2.Представить z = − 23 −i 12 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + x +1 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z −1 < 3, Re z < 32 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = z2 + z −2 . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 3zz−−12 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

7. Вычислить интегралы: а) ∫

dz ;

б)

∫

2 z

−3 z +i

dz .

−i

( z +i )

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =2i

функцию

4z +1

и найти

радиус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

z −1

в кольце

z +i

10. Найти и классифицировать особые точки функции

(z +i)(z −2)2

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

2 z −3

(z2 +1)(z +2)

12. Вычислить интеграл ∫

d 2z

, L :

= 2 с помощью вычетов.

sin

402

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 7

z1 = i , z2 = 5 −i 4 .

2.Представить z = 22 +i 22 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 5x 2 + 6x + 2 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z ≤ 4 , Im z > 12 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = sh z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 3zz−−12 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

−1+i

z 2 − 2 z −3

Вычислить интегралы: а)

∫

;

б) ∫

dz .

1 − z 2

3+i

( z −3 −i )

Разложить в ряд Тейлора в точке z0 =0 функцию arctgz и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию

в кольце 1 <

z + 2

< 2 .

z2 −4

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

(z2 −9)(z2 +4)

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

1−cos(2 z)

z2 sin(2 z)

12.

Вычислить интеграл ∫

z43

d z , L :

с помощью вычетов.

403

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 8

z1 = 4 −i , z2 = −1 −i 3 .

2.Представить z = 12 +i 23 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 + 4x + 9 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z +i ≤ 2 , Im z < 12 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = ch z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) =(z +1) (z −3) нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

i	dz		z	6z5		dz .
7. Вычислить интегралы: а) ∫		;	б) ∫
	4 + z 2			( z −2 )	5
1−i			2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −1 функцию z 2 −2 z −3 и найти

радиус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

cos

в кольце 0

z +1

<∞.

z +1

z2 +2 z −1

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

(z −1)( z2 +9)

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

tg (π z )

3 z

12.

Вычислить интеграл ∫

d z

L :

z −1

= 2 с помощью вычетов.

(z −2)

(z −1)

404

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 9

z1 = −5 +i 2 , z2 = −2 −i .

2.Представить z = −1 + i 2 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + 5x +12 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную усло-

виями: 1 < z < 2 , − π2 < ϕ < π2 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = e zz−1 . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = ze+z 1 нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

i / 4	z dz		z	e z
7. Вычислить интегралы: а) ∫		;	б) ∫				dz .
	z 2 −1			( z −π	/ 2 )	3
0			π / 2

	8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −i функцию	5
	8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −i функцию	z −1
		z −1

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию e1−z в кольце 0 < z −1 <3 .

10.	Найти и классифицировать особые точки функции				3 z +2		.

					z2 −1
11.	Найти вычеты относительно особых точек функции					cos(π z)		.

						(2 z −1)2
12.	Вычислить интеграл ∫	1 −2cos(2z) d z , L :	z	=3 с помощью вычетов.

	L	z (z −1)

405

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 10

z1 = 5 +i , z2 = 5 −i .

2.Представить z = 2 + i 3 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 3x2 − 4x + 3 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную усло-

виями: z +1 >1, z + 2 < 2 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = sinz z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 2 zz−i нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

π / 2

z −1

7. Вычислить интегралы: а) ∫z cos z dz ;

б)

∫

dz .

( z +1 −i )

−1+i

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0

=1 −i

функцию

3 z +7

и найти

3 z −4

радиус сходимости полученного ряда.

z −2

9. Разложить в ряд Лорана функцию ln

в кольце 2 <

z + 2

<3.

z −4

ctg z

10. Найти и классифицировать особые точки функции

z −4

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

(z −1)(z −i) 2

12. Вычислить интеграл ∫e1 /3z

d z , L :

с помощью вычетов.

L z

406

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 11

z1 = 2 +i 3 , z2 = 3 −i .

2.Представить z = i в тригонометрической и показательной фор-

мах записи.

3.Решить квадратное уравнение x 2 + 2x + 2 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z ≤ 2 , π6 < ϕ < π2 .

5. Найти вещественную и мнимую части функции		1		1	. Регу-
	f (z) =		z +
		2		z

лярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6. Равен ли интеграл от функции f (z) = 3zz−−12 нулю на единичной ок-

ружности с центром в начале координат.

−1+i	dz	;
7. Вычислить интегралы: а) ∫	dz	;
0	1 − z 2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −1

радиус сходимости полученного ряда.

z	z 2 − 2 z −	3
б) ∫			dz .
	( z −3 −i )	2
3+i

функцию z 2 −2 z −3 и найти

9.Разложить в ряд Лорана функцию e1−z в кольце 0 < z −1 <3 .

10.Найти и классифицировать особые точки функции zctg−4z .

11.Найти вычеты относительно особых точек функции sin1 z .

407

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 12

z1 = 4 +i , z2 = 2 +i 5 .

2.Представить z = −3 + i 4 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 2 x2 −3x + 4 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z +i ≤ 2 , Im z < 12 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = sh z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) =(z +1) (z −3) нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

i / 4

z dz

;

б)

e z

dz .

7. Вычислить интегралы: а) ∫

∫

z 2 −1

( z −π

/ 2 )

π / 2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =1 −i

функцию

3 z +7

и найти

3 z −4

радиус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

в кольце 1 <

z + 2

<3 .

z2 −1

cos(π z)

10. Найти и классифицировать особые точки функции

(4z

2 −1)(z2 +1)

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

z2 +1

(z −4) (z +1)

12. Вычислить интеграл ∫cos3 z d z , L :

с помощью вычетов.

408

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 13

z1 = 6 −i 5 , z2 = −4 −i 3 .

2.Представить z = − 23 −i 12 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 5x 2 + 6x + 2 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z −1 < 3, Re z < 32 .

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 2 zz−i нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

1+i

z 2

sin z

dz .

Вычислить интегралы: а) ∫

dz ;

б) ∫

( z −1)

Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 =0 функцию sh z

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию

2 z +1

в кольце 2 <

z +1

<3 .

z2 −2 z −3

z +2

10.

Найти и классифицировать особые точки функции

(z2 +z −2)(z +1)

11.

Найти вычеты относительно особых точек функции

z 3 +i 3

12.

Вычислить интеграл ∫ d2z

, L :

= 2

с помощью вычетов.

L sin

409

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5241 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025688 Кб2metodichni-vkazivki-operator-pk.docx
#
01.07.2025534 Кб0metodychka SUL.doc
#
01.04.2025284 Кб2metrologia_lab.docx
#
01.04.2025793 Кб1metrologia_laboratornye_raboty_2010.doc
#
22.09.2019186 Кб3Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
13.04.201514 Мб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.05.2019762 Кб36Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20193 Мб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20193 Мб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc