MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

. Выяснить, является ли данная функция гар-

f (r) = −9 ln

f (r) = −9 ln

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 5236 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

	2		2				2	=9 .
ческого тела (области V ), если V : x	2	+ y		2		+ z		=9 .
	2	+ y		2		=3 z
x		+ y				=3 z
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
y = x
тяжести, если область D : y =1− x ,	а поверхностная плотность ве-

x =0
щества γ (x ; y) = x3 y .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области					y =		x	2	равна γ (x ; y) = x − y .
стная плотность вещества в области	D :				y =		x		равна γ (x ; y) = x − y .
					y = 1
					y = 1

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫y dl по треуго-

льной области ABC : A(0 ; 1) , B(−1; − 2) , C(−1; 4) .	L
льной области ABC : A(0 ; 1) , B(−1; − 2) , C(−1; 4) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода	∫	dx		+ dy не-
	∫	y
	Г D
			2	.
посредственно и по формуле Грина, если область D : y = x				.

	y =1

19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = −7 cos(k r) . Выяснить, является ли данная функция гар-

монической.

20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-

	x+y		y+z		z+x	. Если для данного поля отсутствует цирку-

		;		;

тенциал F =	x		y		z

ляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора				x	2	; 2 y 2 ; −	3 z	2	через поверхность
	J	=	−	x			3 z
	J	=	−				5
			7				5

единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y2+z2 =1.

350

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 5

Изобразить область определения функции

1 − x

z = − x2 − y +

(x − 2 y

Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:

а) z = 3y tgx −

sin (2x − y)

;

б) z = 2xy − 4xy2 + ctgx .

Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

sin u

ций: а) z = 3tg

, u = x − 4 y2 , v = x + y ; б)

ctg

+ x3 y −8 y 4 = 2 .

− y

Удовлетворяет ли функция z = arcsin

соотношению:

x + y

x zx' + y z'y = 0 .

Найти градиент и производную по

направлению от функции

z =

x −3y

в точке M0 (3; 1) при α =π .

y −3x

Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности z = 9 x2 − 4 yx в точке M0 (2; 1; −2).

7.Найти экстремумы функции z = x2 − 2 xy + y2 + 6x − 4 y +5 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 −3 xy + 6 y2 + 4 в области D :	−1	≤ x ≤2	.
	−1	≤ y ≤1 − x

9. Найти условные экстремумы функции z =−x2 +4 xy + y2 −2y на линии

x2 +y2 =1.

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

повторные интегралы, если область

	y =3 x
D :
D :	y =4 − x .
	y =0

x =3

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

3	y/ 4
∫ ∫f (x; y)dx dy.
1	y

351

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

	4	16 −y	2	dx
12. Вычислить интеграл	4	16 −y		dx		dy в полярной системе ко-
	∫0	∫0		x 2 +	y 2

ординат.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y 2 =2 x +1.

x − y −1=0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V : x=2 y 2, y =0, z =0.

x+2 y +z =4

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

тяжести, если область	D :		2	=2 x +1,	а поверхностная плотность
тяжести, если область	D :	y		=2 x +1,	а поверхностная плотность
			− y −1=0
вещества γ (x ; y) = x .		x	− y −1=0
вещества γ (x ; y) = x .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D :						2	+1 равна γ (x ; y) = 2 y .
стная плотность вещества в области D :					y = − x		+1 равна γ (x ; y) = 2 y .

					y = 0

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода		∫(2 x2 −3y)dl по
треугольной области ABC : A(0; 0) , B(0; 4) , C(4; 0) .		L
треугольной области ABC : A(0; 0) , B(0; 4) , C(4; 0) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода	∫	2 dx		+ dy	непо-
	∫			x
	ГD
средственно и по формуле Грина, если область D :		=−x	2	+1.
средственно и по формуле Грина, если область D :	y	=−x		+1.
		=0
	y	=0

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = − 4r . Выяснить, является ли данная функция гармони-

ческой.

20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =(3x 2−y +z ; x −5 y 2 +z; x + y +z 2) . Если для данного поля отсут-

ствует циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21.Вычислить поток вектора J = (3x 2 ; x −5 z ; x +3y) через поверхность

единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.

352

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

			Вариант 6
1.	Изобразить область определения функции z =								x2 + y2 −1 +arcsin (x).
									6 4 − x2 − y2
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	а) z =	x2	+ 3arcsin (xy2 );	б) z = xy 5 + 3 x 2 − 4 y 2 + arccos y .
	а) z =	3x + 2 y	+ 3arcsin (xy2 );	б) z = xy 5 + 3 x 2 − 4 y 2 + arccos y .
		3x + 2 y
3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций:
а) z = 4 arcsin (uev ), u = 2xy , v = y − 2x ;				б)	z5 +3xy − 2 yz + arccos(2x −5 y + z) = 4 .
					y
4.	Удовлетворяет ли функция z = arctg					соотношению:				zxx'' + z'yy' = 0 .
4.	Удовлетворяет ли функция z = arctg					соотношению:				zxx'' + z'yy' = 0 .
				x
5.	Найти градиент и производную				по	направлению				от функции
z = x 2 arcsin( y −1) в точке M (2; −2) в направлении								=(3; 4) .
z = x 2 arcsin( y −1) в точке M (2; −2) в направлении							S	=(3; 4) .
			0

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0(−2; −1; −1).

7.Найти экстремумы функции z = 3x2 − 2 xy + y2 − 6x +10 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = 2 xy + y2 +4x −4 в области D : 0	≤ x ≤4	.
x	−4 ≤ y ≤0

9. Найти условные экстремумы функции z = −x2 −2 xy +4x +6 на линии

4x 2 +9y 2 =36.

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

x = y 2

повторные интегралы, если область D : x =1 − y 2 .

y ≥0

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

		1		4
		∫		∫f (x; y)dy dx.
		−1 2−x 2
12. Вычислить интеграл	∫0	1− y 2				в полярной системе ко-
	∫0		∫0	(x 2 +y 2
	1			(x 2 +y 2	−1 ) dx dy

ординат.
ординат.

353

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

	− x		2
y =4 x	− x			.
	2			.
	2	−5 x
y =2 x		−5 x

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V :					= 4 −x	2	, x = 0,	y = 0 .
ческого тела (области V ), если V :			z		= 4 −x		, x = 0,	y = 0 .
				2 x +y = 4, z = 0
				2 x +y = 4, z = 0
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
тяжести, если область	D :		− x		2
тяжести, если область	D :	y =4 x	− x		, а поверхностная плотность
			2	−5 x
		y =2 x		−5 x

вещества γ (x ; y) = 2 .

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

	+4 x−x	2	равна γ (x ; y) =1 .
стная плотность вещества в области D : y =4	+4 x−x		равна γ (x ; y) =1 .

y =−2
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(y −3x)dl				по тре-
угольной области ABC : A(2 ; 3) , B(4; 2) , C(−1; 3) .			L
угольной области ABC : A(2 ; 3) , B(4; 2) , C(−1; 3) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
∫[ ( y + 1) dx + ( x − 1) dy ]
Г D
непосредственно и по формуле Грина, если область				+4 x −x	2	.
непосредственно и по формуле Грина, если область			D : y =4	+4 x −x		.

			y =−2

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = r −6 rr 0 . Выяснить, является ли данная функция гармо-

нической.

20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =(x2y ; yz; xz 2 ). Если для данного поля отсутствует циркуля-

ция, то найти уравнения силовых линий.

21.Вычислить поток вектора J = (x 2 − y ; 4 y 2; x z 2 ) через поверхность

единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

354

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 7

1. Изобразить область определения функции z =		6	+	1 − xy
1. Изобразить область определения функции z =	x	2	+	x + y .
	x		− y

2. Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:

а) z = y3x +	x2	;	б) z = −6xy − x3 y2 −5 cos(x − 2 y) .
	sin(3y − 2x)

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функций:

	а) z = 3u 2 − 4 cos v , u = x + 3 y , v =			y	; б)		z −6xy z2 +5y2 z2 −2 cos(x −2 y + z) = 0 .
	а) z = 3u 2 − 4 cos v , u = x + 3 y , v =				; б)		z −6xy z2 +5y2 z2 −2 cos(x −2 y + z) = 0 .
				x
4.	Удовлетворяет ли функция z = e					y	соотношению: (x2 zx' )' = y2 z'yy' .
4.	Удовлетворяет ли функция z = e					3x	соотношению: (x2 zx' )' = y2 z'yy' .
							x
5.	Найти градиент		и производную по направлению от функции
z = 9 x2 − 4 yx в точке M0 (−2; 0) при α = π .
							2
6.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z =		x2 y	в точке M0 (5; 2;3).
		y + 2x

7.Найти экстремумы функции z = x3 − 4xy +12 y3 −11.

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x2 −2y2 +4 в

области	−2	≤ x ≤ 2		.
	D :	4−x2	≤ y ≤ 4−x2
	−

9. Найти условные экстремумы функции z = 2 y 2 − 4 x + 6 y на линии

x+y =4.
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x;		y) dx dy			двумя способами через
	D
			2	−x	2	=1
		y		−x		=1	.
повторные интегралы, если область D :							.
		y = 4−x2

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
3	x
∫	∫ f (x; y) dy	dx .
1 x 3

355

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

16−y

в полярной системе ко-

12. Вычислить интеграл ∫

∫

+ y

ординат.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

= 4

− y

+ 2 y − 4 = 0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области			25 − x	2	, x = 0, x = 4 .
ческого тела (области	V ), если V : y =		25 − x		, x = 0, x = 4 .

		z = 0 , z = 4
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
	x = 9 − y
тяжести, если область D :		x + y + 4 = 0 , а поверхностная плотность
		x [ 0 ; 3 ]
		x [ 0 ; 3 ]
вещества γ (x; y) = x y 2 .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
			x =1− y
стная плотность вещества в области D : x +y −2 =0 равна γ (x ;						y) =1 + y .

			x [0 ;1]
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(2x − y2 )dl						по тре-
угольной области ABC :	A(3; −1) , B(0 ; −1) ,		C(0; 4) .		L
угольной области ABC :	A(3; −1) , B(0 ; −1) ,		C(0; 4) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ x dx − y dy ] не-

Г D

x =1− y

посредственно и по формуле Грина, если область D : x +y −2 = 0.

x [0 ;1]

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

монической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный по-

тенциал		x −2					. Если для данного поля отсутствует
		x −2
	F =			+3y ;	x + y −z ;	xy
	F =		x	+3y ;	x + y −z ;	xy
			x

циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора J =(3y ; 2 x +y 2 −2 z; 3 x y z )через поверхность единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.

356

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 8

1. Изобразить область определения функции
z =	(x −1)2 + ( y +1)2	− 4	1 − x
			+ln	+1	.
			x

2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	а) z =	3x + 4 y	+ 2 ln (x +3y);		б) z = 8xy − x2 y4 + 7 sin( y −3x) .

		y
3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций: а) z = −5 ln (4u −3v), u = xy2 , v = x3 y ;					б) 8xy − x2 z 4 −3sin( y + 2zx) = 9 .
				x
4.	Удовлетворяет ли функция z = e y 2				соотношению: 2 x y zxx'' + z'y = 0 .
5.	Найти градиент и производную				по направлению от функции

z = x ln (2x − y2 )в точке M0 (2; 1) в направлении S =(2; −2) .

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности cos(z2 − xy) + y2 x −2 =0 в точке M0 (2; −2; 2).

7.Найти экстремумы функции z = x2 −6xy + y2 −12x + 4 y +3 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 −2xy + y2 +4 в области D :	−3 ≤ x ≤0	.
	−2 ≤ y ≤ x +1

9. Найти условные экстремумы функции z = 6 x 2 − 2 xy + 4 y на линии

3 x − 2 y = 6 .
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy					двумя способами через
			D
				y =2 x −4
повторные интегралы, если область D : y = x +1 .

				x [1;3]
11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
		π / 2	sin y
		∫	∫f (x; y)dx dy.
		0	0
	∫0	36−y 2
	∫0		∫0
12. Вычислить интеграл	6		(x 2	+ y 2 ) 2 dx dy	в полярной системе ко-
ординат.
ординат.

357

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

x y =	4
		.
y = x		.
		y =0
x =4,		y =0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V :		2	+y		2	+1=z	.
ческого тела (области V ), если V :	2x		+y			+1=z	.
				=1, x = y = z =0
	x+y			=1, x = y = z =0
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
x y = 4
тяжести, если область D : y = x				,	а поверхностная плотность
	y = 0
x = 4,	y = 0

вещества γ (x ; y) = x +1.

16. Вычислить моменты инерции тела стная плотность вещества в области D :

(область D ), если поверхно-

x y =1 равна γ (x ; y) = x − 2 .

y =2 − x

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫3x2 y dl по тре-

L
угольной области ABC : A(1; 1) , B(1; 5) , C(2; 2) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
∫[ ( y − x ) dx + ( y + x ) dy ] .
Г D
непосредственно и по формуле Грина, если область D : x y =1	.
y =2 − x
19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) =

e−k r

. Выяснить, является ли данная функция гармо-

нической.

и div на векторный по-

20. Найти результат действия операторов rot

x y

тенциал F = x yz ; x+y+z;

. Если для данного поля отсутствует цир-

куляция, то найти уравнения силовых линий.

x + y −3 z

x y z

x −y

21. Вычислить поток вектора J =

;

через поверхно-

сть единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y2 +z 2 =1.

358

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 9

1. Изобразить область определения функции

z = 4 − 4x 2 − y2 + arccos (x − 2).

2. Найти первые (а) и вторые (б)

частные производные функций:

б) z = xy 2 − x 2 y + log 7 ( x + y − 2) .

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

ций: а)

u +2v

y 2

z =8tg

, u =

, v =

; б) 4 xy 2 z − x 2 z 2

+ log 7 ( x − 3 y − 2 z) = 0 .

v −1

4. Удовлетворяет ли функция z = ln(x2 − y 2 )соотношению:

(zx' )2 + (z'y )2 = 2 z'yy' .

5. Найти градиент

производную по направлению от функции

z = −

в точке M0

(1; 1) при α =

5π

y + 2x

6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности z = x2 + y2 в точке M0 (2; 1; 2).

7.Найти экстремумы функции z = x3 − xy + y3 − x −3y + 2 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x 2 + 2 xy − 10 в области	−2			≤ x ≤	0		.
	D :					2
		0	≤ y ≤4		− x

9. Найти условные экстремумы функции z = −4 x2 + 8xy −12 x на линии

x+y 2 =2 .

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

x =9 − y2

повторные интегралы, если область D : x =1 − y 2 .

x [0; 7]

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

5	y+2
∫ ∫ f (x; y) dx dy.
3	y+1

359

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 5236 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025688 Кб2metodichni-vkazivki-operator-pk.docx
#
01.07.2025534 Кб0metodychka SUL.doc
#
01.04.2025284 Кб2metrologia_lab.docx
#
01.04.2025793 Кб1metrologia_laboratornye_raboty_2010.doc
#
22.09.2019186 Кб3Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
13.04.201514 Мб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.05.2019762 Кб36Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20193 Мб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20193 Мб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc