MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

б) z = 6x2 − 4 y + x +tg y .

z = 5xe2x − y + 7 cos

z = 5xe2x − y + 7 cos

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5239 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

	2	+ y		2	= z
x		+ y			= z		.
ческого тела (области V ), если V :	x 2		+ y 2				.
	x 2		+ y 2			= z

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

y =x
тяжести, если область D : y =2−x	, а поверхностная плотность

x =0, x =2
вещества γ (x ; y) = 4 .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области		2	равна γ (x ; y) = x − y .
стная плотность вещества в области	D : y = x		равна γ (x ; y) = x − y .

	y =1

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(2 x2 −3y)dl	по
L
треугольной области ABC : A(0; 0) , B(0; 4) , C(4; 0) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ x dx − y dy ]	не-
Г D
x =1− y
посредственно и по формуле Грина, если область D : x +y −2 = 0.

x [0 ;1]

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал

f (r) = −9 ln

. Выяснить, является ли данная функция гар-

монической.

на векторный по-

20. Найти результат действия операторов rot и div

тенциал

x y

F = x y z ; x+y+z;

. Если для данного поля отсутствует цир-

куляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора

=(−3 y ; 2 y 2 ; z 2 −2 )

через поверхность

единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y 2 + z 2 =1.

380

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 18

1. Изобразить область определения функции z =	x	2	+ y	2		6x −1
1. Изобразить область определения функции z =	x		+ y		−1 +ln	3	.
						3

2. Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

ций: а)			z = ctg(u + v), u = e xy , v = 3x − 2 y2 ; б) cos(z 2 − x4 ) − y2 x + arccos( y + 2z) = 5 .
4.	Удовлетворяет ли функция z = x2 −3y2			соотношению: x zxx'' = −y zxy'' .
5.		Найти градиент и производную по		направлению от функции
z =		x −3y	в точке M0 (3; 1) при α =π .
		y −3x

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0(−2; −1; −1).

7.Найти экстремумы функции z = x3 − 4xy +12 y3 −11.

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = x2 −2xy + y2 +4 в области D :	−3 ≤ x ≤0	.
	−2 ≤ y ≤ x +1

9. Найти условные экстремумы функции z = −4 x 2 + 8 xy −12 x на линии

x + y 2 = 2 .
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy		двумя способами через
D			2		2
повторные интегралы, если область			2	+ ( y −1)	2	=16 .
повторные интегралы, если область	D : (x −1)			+ ( y −1)		=16 .

	x [−2 ; 3]

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

		2		4−y 2
		2			f (x; y) dx dy.
	∫0			2−∫y
	∫0			2−∫y

	12		144−y		2
12. Вычислить интеграл	12		144−y			x2 + y 2 dy dx в полярной системе ко-
	∫0			∫0

ординат.
ординат.

381

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

y = xy =5x .

x =1

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области		2		2		2	=4 .
ческого тела (области	V ), если V : x	2	+ y	2	+ z		=4 .
		2	+ y	2	=2x
	x		+ y		=2x
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
	y = x
тяжести, если область D : y =1− x ,		а поверхностная плотность ве-

щества γ (x ; y) = x3 y .	x =0
щества γ (x ; y) = x3 y .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области							2	+1 равна γ (x ;	y) = 2 y .
стная плотность вещества в области		D : y =−x						+1 равна γ (x ;	y) = 2 y .

			y =0
17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(y −3x)dl									по тре-
угольной области ABC :	A(2 ; 3) , B(4; 2) ,	C(−1; 3) .						L
угольной области ABC :	A(2 ; 3) , B(4; 2) ,	C(−1; 3) .

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ x dx − y dy ] не-

Г D

x =1− y

посредственно и по формуле Грина, если область D : x +y −2 = 0.

x [0 ;1]

19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r ) = e −rk r . Выяснить, является ли данная функция гармо-

нической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =(x2 y−3z ; y2 z−2x; x z2 +5y). Если для данного поля отсутствует

циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора

через поверхность

J = −

;

; −

y+1

3z+2

x+1

единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

382

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 19

1.	Изобразить область определения функции z =						5 x .
							y2 − x
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	а) z = 9x cos y −5		2 y	;	б) z = 5x2 y3 + 6xy + log3 (x − y) .
			x2

3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
	sin u					z
ций: а) z = 3tg		, u		= x − 4 y2	, v = x + y ; б) ctg		+ x3 y −8 y 4 = 2 .

	v
					x	− y

							y		(x2 zx' )'
4.	Удовлетворяет ли функция z = e							соотношению:		= y2 z'yy' .
4.	Удовлетворяет ли функция z = e						3x	соотношению:		= y2 z'yy' .
									x
5.	Найти градиент			и производную по направлению от функции
z = −		x3	в точке M0	(1; 1) при α =	5π	.
z = −		y + 2x	в точке M0	(1; 1) при α =		.
		y + 2x		4

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности ctg x −z y −3x2 y4 − 2 = 0 в точке M0 (1; 1;0).

7.Найти экстремумы функции z = x2 + xy + y2 − 2x − y .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 4 − x2 − y 2 в

области	−1	≤ x ≤1		.
	D :	1−x2	≤ y ≤ 1−x2
	−

9. Найти условные экстремумы функции z = x 2 − 4 xy − 4 x на линии

2x − 4 y =12 .
10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy				двумя способами через
D		2			2
повторные интегралы, если область		2	− y		2	=1.
повторные интегралы, если область	D : x		− y			=1.
		=6
	x	=6

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

		3	y/ 4
		∫ ∫f (x; y)dx dy.
		1	y
12. Вычислить интеграл	∫0	1− y 2		2 +y 2		в полярной системе ко-
	∫0		∫0
	1		(x		−1 ) dx dy

ординат.
ординат.

383

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

	− y		2
x = 4	− y			.
				.
		−4 = 0
x +2 y		−4 = 0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V : 2 x 2 + y 2 +1 = z .

x +y =1, x = y = z = 0

15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра

тяжести, если область D : x 2 +(y −1)2 =9, а поверхностная плотность

y ≥x

вещества γ(x; y) =2x.

16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-

стная плотность вещества в области D : x = y2 равна γ (x ; y) = xy .

x [0; 2]

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(2x − y2 )dl по тре-

угольной области ABC : A(3; −1) , B(0 ; −1) , C(0; 4) .	L

18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода	∫	dx		− dy непо-
		3 y		2 x
	ГD
средственно и по формуле Грина, если область D :	x2	+	y2	=1.
	4
		9
19. Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) =

. Выяснить, является ли данная функция гармони-

r 2

ческой.

на векторный по-

20. Найти результат действия операторов rot и div

тенциал F =( x −2 y +3z ; x −y+5z;

x z ). Если для данного поля отсутству-

ет циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора

через поверхность

J = −

;

; −

y+1

3z+2

x+1

единичной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

384

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 20

1.	Изобразить область определения функции z = x − y 2 +lg (x2 −3x + 2).
							4
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
	y −1			2	−3 y ;		б) z = xy2 − x2 y + log7 (x + y − 2) .
	а) z = 7xtg	+ 3e x

	x + 2
3.	Найти первые частные производные сложной и неявной функ-
ций: а) z = −5 ln (4u −3v),			u = xy2 , v = x3 y ;				б) 8xy − x2 z 4 −3sin( y + 2zx) = 9 .
4.	Удовлетворяет ли функция z = e					y	соотношению: (x2 zx' )' = y2 z'yy' .
						3x
									x
5.	Найти градиент		и	производную по направлению от функции
z = x 2 arcsin( y −1) в точке M				(2; −2) в направлении					=(3; 4) .
								S
			0
6.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-
верхности z = 9 x2 − 4 yx			в точке M0 (2; 1; −2).

7.Найти экстремумы функции z = x3 +3xy2 −15x −12 y .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = 3x2 − xy −4x + y в области	−2		≤ x ≤2	.
	D :	2
			≤ y ≤4
	x

9. Найти условные экстремумы функции z = x2 − y2 +2xy −4y на линии

x2 −y 2 =1.

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

x y = 4

повторные интегралы, если область D : y = x .

x = 4

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

12. Вычислить интеграл

ординат.

	1	1−x 2
	∫	∫f (x;
	∫	∫f (x;
	−1	0

4		9− y 2
∫		∫(2 x −
0		0

y)dy dx.

3 y) dx dy в полярной системе ко-

385

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :

x y =	4
		.
y = x		.
		y =0
x =4,		y =0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если V :				25 − x	2		, x = 0, x = 4 .
ческого тела (области V ), если V :	y =			25 − x			, x = 0, x = 4 .
			= 0 , z = 4
	z		= 0 , z = 4
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
	− x		2	, а поверхностная плотность
тяжести, если область D : y = 4 x	− x			, а поверхностная плотность
	2	− 5 x
y = 2 x		− 5 x
вещества γ (x ; y) = 2 .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
стная плотность вещества в области D :						2	+1 равна γ (x ; y) = 2 y .
стная плотность вещества в области D :				y =−x			+1 равна γ (x ; y) = 2 y .

				y =0

17.	Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫y dl по треуго-
	L
льной области ABC : A(0 ; 1) , B(−1; − 2) , C(−1; 4) .
18.	Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫[ 2 dx + y dy] не-
	ГD

посредственно и по формуле Грина, если область D : (x −1)2 +( y −1)2 =1.

19.Найти результат действия операторов grad и ∆ на скалярный потенциал f (r) = −2 r . Выяснить, является ли данная функция гармони-

ческой.

20.Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F =( x−2y+3z ; x−y+5z; x z ). Если для данного поля отсутствует

циркуляция, то найти уравнения силовых линий.

				2				2
21. Вычислить поток вектора		=	x		y	; x;	x z		через поверхность еди-
	J		x		y		x z
	J			6			4
				6			4

ничной сферы, которая описывается уравнением x 2 + y 2 + z 2 =1.

386

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 21

1. Изобразить область определения функции

z = 4 − 4x 2 − y2 + arccos (x − 2).

2. Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:

а)	z =	3x + 4 y	+ 2 ln (x +3y);	б) z = 8xy − x2 y4 + 7 sin( y −3x) .
		y

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функций:

	а) z = 3u 2 − 4 cos v , u = x + 3 y , v =				y	; б) z −6xy z2 +5y2 z2 −2 cos(x −2 y + z) = 0 .
	а) z = 3u 2 − 4 cos v , u = x + 3 y , v =					; б) z −6xy z2 +5y2 z2 −2 cos(x −2 y + z) = 0 .
					x		y
4.	Удовлетворяет ли функция						y	соотношению:	zxx'' + z'yy' = 0 .
					z = arctg
					z = arctg
						x
5.		Найти градиент и		производную			по	направлению	от функции
z =		x −3y	в точке M0 (3; 1)	при α =π .
z =			в точке M0 (3; 1)	при α =π .
		y −3x

6.Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

верхности arctg(z −x + y) −4z =0 в точке M0(−2; −1; −1).

7.Найти экстремумы функции z = −x2 − xy − y2 + 6x + 2 .

8.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 4 − x2 − y 2 в

области	−1	≤ x ≤1		.
	D :	1−x2	≤ y ≤ 1−x2
	−

9. Найти условные экстремумы функции z = x2 + y2 + 2x − 2 y на линии

4x 2 + 9y 2 =1.

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

повторные интегралы, если область D : (x −1)2 +(y −1)2 =16 .

x [−2; 3]

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

1		y

∫		∫f (x; y)dx dy.
0		y

387

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

12. Вычислить интеграл	3		9−y 2
	∫0		∫0
			1−(x2		+y2)dx dy в полярной системе ко-

ординат.
ординат.
13. Вычислить площадь плоской фигуры (области D ), где D :
		x y =4				.
				=0		.
		y + x −5		=0

14. Вычислить с применением тройного интеграла объём цилиндри-

ческого тела (области V ), если			2		2		2	=4 .
ческого тела (области V ), если	V : x		2	+ y	2	+ z		=4 .
			2	+ y	2	=2x
		x		+ y		=2x
15. Вычислить массу тела (область D ) и координаты его центра
	2	= 2 x	+1 ,		а поверхностная плотность
тяжести, если область D : y		= 2 x	+1 ,		а поверхностная плотность
	− y −1 = 0
x	− y −1 = 0
вещества γ (x ; y) = x .
16. Вычислить моменты инерции тела (область D ), если поверхно-
				x =1− y
стная плотность вещества в области D : x +y −2 =0 равна γ (x ; y) =1 + y .

				x [0 ;1]

17. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(4x + 3y)dl							по тре-
угольной области ABC : A(−1; − 2) , B(3; 0) , C(−1; 2) .		L
угольной области ABC : A(−1; − 2) , B(3; 0) , C(−1; 2) .
18. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода		∫	dx		+	dy	непо-
		∫	x			3 y
		ГD
средственно и по формуле Грина, если область	D :		= y	2	.
средственно и по формуле Грина, если область	D :	x	= y		.

		x [0; 2]
19. Найти результат действия операторов grad	и ∆ на скалярный по-

тенциал f (r) = 8 sin( k r) . Выяснить, является ли данная функция гар-

монической.

20. Найти результат действия операторов rot и div на векторный потенциал F = (2x −y ; 2 y +z; x) . Если для данного поля отсутствует цир-

куляция, то найти уравнения силовых линий.

21. Вычислить поток вектора		x + y −3 z			x y z		x −y	через поверхно-

	J =			;		;
			3		5		2

сть единичной сферы, которая описывается уравнением x2 + y2 +z 2 =1.

388

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XIV. Функции нескольких переменных

Вариант 22

1.	Изобразить область определения функции				3	1 − x	.
1.	Изобразить область определения функции				z = − x2 − y +	(x − 2 y	.
					8	(x − 2 y
2.	Найти первые (а) и вторые (б) частные производные функций:
		x	;	б) z = 6x2	− 4 y + x +tg y .
	а) z = 5xe2x − y + 7 cos	x
	а) z = 5xe2x − y + 7 cos

		y

3. Найти первые частные производные сложной и неявной функ-

ций: а) z = −5 ln (4u −3v), u = xy2 , v = x3 y ;	б) 8xy − x2 z 4 −3sin( y + 2zx) = 9 .
4. Удовлетворяет ли функция z = ln(x2 − y2 )соотношению:
(zx' )2 + (z'y )2 = 2 z'yy' .
5. Найти градиент и производную по	направлению от функции

z =lg(x2 y)в точке M0 (−1; 1) в направлении S =(1; −1) .

6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали для по-

	z			в точке M		(1; 1;0).
верхности ctg	z	−3x2 y4	− 2 = 0		0
верхности ctg		−3x2 y4	− 2 = 0

x − y

7.	Найти экстремумы функции z = x3 − 4xy +12 y3 −11.
8.	Найти наименьшее и наибольшее значения функции
	z = x2 −2xy + y2 +4 в области D : −3	≤ x ≤0	.
	−2	≤ y ≤ x +1
9.	Найти условные экстремумы функции z = 6 x 2 − 2 xy + 4 y на линии

3 x −2y =6 .

10. Записать двойной интеграл ∫∫f (x; y) dx dy двумя способами через

y = x 2

повторные интегралы, если область D : y =1 − x .

y =1 + x

11. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

12. Вычислить интеграл ∫

ординат.

3		x
∫		∫ f (x; y) dy	dx .
1	x 3
		9− y 2
		∫(2 x − 3 y) dx dy в полярной системе ко-
		0

389

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5239 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025688 Кб2metodichni-vkazivki-operator-pk.docx
#
01.07.2025534 Кб0metodychka SUL.doc
#
01.04.2025284 Кб2metrologia_lab.docx
#
01.04.2025793 Кб1metrologia_laboratornye_raboty_2010.doc
#
22.09.2019186 Кб3Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
13.04.201514 Мб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.05.2019762 Кб36Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20193 Мб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20193 Мб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc