Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MI_T2TerekhovSV

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 5243 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 24

1. Выполнить арифметические действия над комплексными числами z1 и z2 , отобразить все числа на комплексной плоскости, если

z1 = 4 +i , z2 = 2 +i 5 .

2.Представить z = −3 + i 4 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение 2 x2 −3x + 4 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z −1 < 3, Re z < 32 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = sh z . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) = 2 zz−i нулю на единичной окружности с центром в начале координат.

i / 4	z dz		z	e z
7. Вычислить интегралы: а) ∫		;	б) ∫				dz .
	z 2 −1			( z −π	/ 2 )	3
0			π / 2

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z0 =1+i функцию zz +−1i

и найти ра-

диус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию 5 в кольце 1 < z −i <3 .

z2 +1

10.Найти и классифицировать особые точки функции zctg−4z .

11.Найти вычеты относительно особых точек функции ez 3−1 .z

12. Вычислить интеграл ∫	4 z	z43	d z , L :	z	=1 с помощью вычетов.
12. Вычислить интеграл ∫		z43	d z , L :	z	=1 с помощью вычетов.
L		+1
		+1

420

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XV. Комплексные функции

Вариант 25

z1 = i , z2 = 5 −i 4 .

2.Представить z = − 23 −i 12 в тригонометрической и показательной

формах записи.

3.Решить квадратное уравнение x2 + 5x +12 = 0 .

4.Отобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями: z +i ≤ 2 , Im z < 12 .

5.Найти вещественную и мнимую части функции f (z) = z2 + z −2 . Регулярна ли эта функция? Является ли она гармонической?

6.Равен ли интеграл от функции f (z) =3 −zi 4 нулю на единичной ок-

ружности с центром в начале координат.

i / 2

2 z

dz .

7. Вычислить интегралы: а) ∫(z 2 − 2 z +3) dz ;

б)

∫

( z + 2 +i 3)

−2−i

8. Разложить в ряд Тейлора в точке z 0 = −1 функцию

2 z − 5

и найти

z − 1

радиус сходимости полученного ряда.

9. Разложить в ряд Лорана функцию

z −1

в кольце

z +i

10. Найти и классифицировать особые точки функции

5 z −4

z2 −4 z +5

11. Найти вычеты относительно особых точек функции

z2 +1

(z −4) (z +

12. Вычислить интеграл ∫e1 /3z

d z , L :

с помощью вычетов.

L z

421

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Модульный блок № 8

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 1

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а)sin(4 t − 2) ; б) t sin(2 t) .

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :


y(4) − 2 y'' +3 y' , y''' (0) = −1 , y'' (0) = 2 ,	y' (0) = 0 ,		y (0) = 3 .
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:				1		.
		( p +1)( p + 2) 2
5. Решить дифференциальное уравнение	y '' − y ' =		1		при нулевых
			+ e t
	1

начальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) = 0 ) с помощью интегралов Дюа-

меля.
6.	Найти частные решения дифференциального уравнения
	y'' −2 y' =et (t 2 +t −3) , y' (0) = 2 , y (0) = 2 .
7.	Решить систему дифференциальных уравнений	'		+ 2 y = 3t , x (0) =2.
7.	Решить систему дифференциальных уравнений	x	'	+ 2 y = 3t , x (0) =2.
			'	− 2 x = 4	y (0) =3
		y		− 2 x = 4

8. Решить операционным методом:

а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; t )

∂ t

T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−2t ;

∂U		=−0,5	∂I	−2 I
	∂x		∂t
б) телеграфное уравнение
∂I		=−3 ∂U +10U
	∂x	∂t

=625 ( x t ) ,

∂x 2

,U(x; 0) =0, U (0; t ) =3t ;;∂ 2 T

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)	= 4	∂ 2 f (x ; t) ,	f ( x; 0) =	∂ f ( x; 0)	=0,	f (0; t ) =0,	∂ f (l ; t )	=2sin(ω t ).
∂t 2		∂ x 2		∂t			∂x

422

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 2

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а) cos(3t + 5) ; б) t 2 cost .

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :

4 y ''' + y '' − 5 y ' , y'' (0) = −3 , y' (0) = −2 , y (0) =1 .

4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:			p 2
				.
		( p 2 + 9)( p 2 + 4)
5. Решить дифференциальное уравнение y '' + y =	1		при нулевых
	2 + cos t

начальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) = 0 ) с помощью интегралов Дюа-

меля.

6.	Найти частные решения дифференциального уравнения
	y'' +4 y' +3 y = sht sint , y' (0) =1, y (0) = 0 .
7.	Решить систему дифференциальных уравнений

x' + y' − y = et

2 x' + y ' + 2 y =

, x (0) =0.

cos t y (0) =0

8. Решить операционным методом:

а) уравнение теплопроводности			∂ T ( x ; t )
			∂ t
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−t ;
	∂U	=−	∂I	−5 I
	∂x		∂t
б) телеграфное уравнение
∂I =−5 ∂U −2U
	∂x		∂t

=400 ∂ 2 T ( x ; t ) ,

∂x 2

,U(x; 0) =0, U (0; t ) =−2t ;

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)	= 9	∂ 2 f (x ; t) ,	f ( x; 0) =	∂ f ( x; 0)	=0,	f (0; t ) =0,	∂ f (l ; t )	=5cos(ω t ).
∂t 2		∂ x 2		∂t			∂x

423

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 3

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а) e t +7 ; б) t 3e −2 t .

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :

y(5) −y(4) −y''' +2 y'' −4 y' +6y, y(4) = y''' (0) = 0 ,

y'' (0) = y' (0) = −1, y (0) =1 .

Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:

( p − 1)( p 2 + 25 )

Решить дифференциальное уравнение

y'' + y =

при нулевых

+cos2 t

начальных условиях ( y' (0) = 0 ,

y (0) = 0 ) с помощью интегралов Дюа-

меля.

Найти частные решения дифференциального уравнения

y'' +2 y' + y = e−t (cost +t) ,

y' (0) = −1, y (0) =1 .

Решить систему дифференциальных уравнений

− x + 2 y = t

x (0) =2

− y = t

y (0) =4

− 2 x + y

8. Решить операционным методом:

а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; t )

∂ t

T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−3 t ;

∂U		=−4	∂I	−3I
	∂x		∂t
б) телеграфное уравнение
∂I		=−7 ∂U −4U
	∂x		∂t

=144 ∂ 2 T ( x ; t ) ,

∂x 2

,U(x; 0) =0, U (0; t ) =5t ;

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)	=16	∂ 2 f (x ; t) ,	f ( x; 0) =	∂ f ( x; 0)	=0,	f (0; t ) =0,	∂ f (l ; t )	=9sin(ω t ) .
∂t 2		∂ x 2		∂t			∂x

424

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 4

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а) sh (6 −t) ; б) t 2ch (3t) .

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :

− 2 y (4) + 5 y ''' 3 y '' − y ' + y , y''' (0) = y'' (0) = y' (0) = y (0) = 0 .

4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:

				1			.
		( p 2 + 6 p +13)( p 2 − 6 p +10)
5. Решить дифференциальное уравнение y'' +9 y = sin3 (3t)										при нулевых
начальных условиях ( y' (0) = 0 ,			y (0) = 0 )			с помощью интегралов Дюа-
меля.
6. Найти частные решения дифференциального уравнения
	y'' + 2 y' + 2 y = 2 e−t sin t , y' (0) =1, y (0) =1 .
							'		=−y		, x (0) =1.
7. Решить систему дифференциальных уравнений x								'	=−y		, x (0) =1.
								'	=2x+2y		y (0) =1
8. Решить операционным методом:							y		=2x+2y
8. Решить операционным методом:						t ) = 225 ∂ 2 T ( x ; t ) ,
а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ;						t ) = 225 ∂ 2 T ( x ; t ) ,
				∂ t			∂ x 2
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−4 t ;
		∂U	=−3	∂I	−2 I
			=−3		−2 I
б) телеграфное уравнение ∂x				∂t		, U(x; 0) =0, U (0; t ) =−7t ;
		∂I	=−7 ∂U −4U
				∂t
		∂x		∂t
в) уравнение продольных колебаний стержня
∂ 2 f (x ; t)	= 25 ∂ 2 f (x ; t) , f ( x; 0) =∂ f ( x; 0) =0, f (0; t ) =0, ∂ f (l ; t )									=7cos(ω t ).
∂t 2	∂ x 2		∂t				∂x

425

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 5

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а) ch (9 −5t) ; б) −t sh t .

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :


6 y '' − 7 y ' + 5 y , y ' (0) = 4 ,	y (0) = −2 .
	1
4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:			.
		( p − 5) 2 ( p − 3) 2
5. Решить дифференциальное уравнение	y'' +16y =cos2(4t) при нулевых

начальных условиях ( y' (0) = 0 , y(0) =0) с помощью интегралов Дюаме-

ля.

6.	Найти частные решения дифференциального уравнения
	y'' + 4 y' −5y = t e−5 t , y' (0) = 0 , y (0) = 0 .
7.	Решить систему дифференциальных уравнений

		'	+ x − y = e			t
x			+ x − y = e
				'			t
	−x + y			'	+ y = e		t
	−x + y				+ y = e

,x (0) =1.y (0) =1

8. Решить операционным методом:					∂ 2T (x ; t) ,
а) уравнение теплопроводности ∂T (x ; t)				=169	∂ 2T (x ; t) ,
		∂t			∂ x 2
T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−2t ;
∂U	=−2	∂I	−5 I
	=−2		−5 I
б) телеграфное уравнение ∂x		∂t		, U(x; 0) =0, U (0; t ) =9t ;
∂I	=−2 ∂U −3U
		∂t
∂x		∂t

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)	=36	∂ 2 f (x ; t) ,	f ( x; 0) =	∂ f ( x; 0)	=0,	f (0; t ) =0,	∂ f (l ; t )	=sin(ω t ).
				∂t			∂x
∂t 2		∂ x 2

426

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 6

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

	t
а) t e−2 t ;	б) ∫	e4 u	du .
		u
	0

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :

4 y (4) + 3 y ''' + 2 y '' + y ' − 7 y , y''' (0) =1 , y'' (0) = −1, y' (0) =1, y (0) = −1 .

4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля: p 2 .

( p 2 + 1) 2

5. Решить дифференциальное уравнение y'' −y' = e2t при нулевых на-

1+et

чальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) =0 ) с помощью интегралов Дюамеля. 6. Найти частные решения дифференциального уравнения

y''' − y'' + 4 y' − 4 y = 5 e−t sin t , y'' (0) =1, y' (0) =1, y (0) = 0 .

7. Решить систему дифференциальных уравнений

' '

+ x + y = 5

( 0 ) =0

x ( 0 ) =0,

' '

( 0 ) =0,

y ' ( 0 ) =0

− 4 x − 3 y = −

8. Решить операционным методом:

∂ 2 T ( x ; t )

а) уравнение теплопроводности

∂ T ( x ; t ) = 441

∂ t

∂ x 2

T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−8t ;

∂U

=−8

∂I

−3I

б) телеграфное уравнение ∂x

∂t

, U(x; 0) =0, U (0; t ) =−4t ;

∂I

=− ∂U −8U

∂t

∂x

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)

= 49 ∂ 2 f (x ; t) , f ( x; 0) =∂ f ( x; 0)

=0, f (0; t ) =0,

∂ f (l ; t )

=2cos(ω t ).

∂t 2

∂ x 2

∂t

∂x

427

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 7

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а) −t sin(2 t) ;	t
а) −t sin(2 t) ;	б) ∫u3 e u du .
	0

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y ( p) :

−3y''' +9 y'

−6 y ,

y'' (0) = −3 ,

y' (0) = −2 , y (0) = 0 .

Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:

p ( p − 8) 2

Решить дифференциальное уравнение

y'' +16y =

при нуле-

+sin

(4t)

вых начальных условиях ( y' (0) = 0 , y (0) = 0 )

с помощью интегралов

Дюамеля.

Найти частные решения дифференциального уравнения

y''' − y'' − y' + y = 4 e t ( 6t −1) +3t , y'' (0) = 0 ,

y' (0) = −1, y (0) =1 .

Решить систему дифференциальных уравнений

' '

− 2 x

= y

x (0 )

=0 ,

(0 ) =0

' '

=0,

y '(0 ) =0

− 2 y

= x

y (0 )

8. Решить операционным методом:

а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; t )

∂ t

T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−9 t ;

∂U		=−3	∂I	−4 I
	∂x		∂t
б) телеграфное уравнение
∂I		=−6 ∂U −5U
	∂x		∂t

=196 ∂ 2 T ( x ; t ) ,

∂x 2

,U(x; 0) =0, U (0; t ) =t ;

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)	=121	∂ 2 f (x ; t) ,	f ( x; 0) =	∂ f ( x; 0)	=0,	f (0; t ) =0,	∂ f (l ; t )	=6sin(ω t ) .
				∂t			∂x
∂t 2		∂ x 2

428

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XVI. Операционное исчисление

Вариант 8

1. Найти изображение аналитически заданных оригиналов:

а) t cos(8t) ;	t
а) t cos(8t) ;	б) ∫eu sin2 u d u .
	0

2.Найти изображение графически заданного оригинала:

3.Найти изображение выражения, если y(t) Y(p) :

2y(5) −3y''' +2y'' −3y,

y(4)(0) =0,

y''' (0) = 2 , y'' (0) =1,

y' (0) = −1,

y (0) = −2 .

4. Найти оригинал с помощью теоремы Бореля:

( p 2 + 2 p + 2)( p 2 − 2 p + 7)

5. Решить дифференциальное уравнение y''

+4 y =

при нуле-

+ cos2

(2t)

вых начальных условиях ( y' (0) = 0 ,

y (0) = 0 )

с помощью интегралов

Дюамеля.

6. Найти частные решения дифференциального уравнения

y'''

− y' = 3(2 −t 2 ) , y'' (0) =1, y' (0) =1,

y (0) =1 .

7. Решить систему дифференциальных уравнений

' '

+ 2 x

− 3 y = e

(0 )

x (0 ) =1,

' '

−t

+ 4 y

− 5 x

= e

y (0 ) =0,

y ' (0 ) =1

8. Решить операционным методом:

а) уравнение теплопроводности ∂ T ( x ; t )

∂ t

T ( x; 0) =0, T (0; t ) =e−2t ;

∂U		=−2	∂I	−4 I
	∂x		∂t
б) телеграфное уравнение
∂I		=−9 ∂U −3U
	∂x		∂t

=900 ∂ 2 T ( x ; t ) ,

∂x 2

,U(x; 0) =0, U (0; t ) =−7t ;

в) уравнение продольных колебаний стержня

∂ 2 f (x ; t)	= 64	∂ 2 f (x ; t) ,	f ( x; 0) =	∂ f ( x; 0)	=0,	f (0; t ) =0,	∂ f (l ; t )	=5cos(ω t ).
∂t 2		∂ x 2		∂t			∂x

429

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 5243 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.05.2019199.2 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551.11 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20192.69 Mб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20192.94 Mб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc
#
01.05.2025207.36 Кб1Mitsubishi Corporation.doc
#
13.04.201514.02 Mб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.04.20255.57 Mб3mkt_kontr.doc
#
09.11.2018700.93 Кб11mk_1_1.doc
#
09.11.2018226.82 Кб3mk_1_2.doc
#
20.08.201962.98 Кб12MK_2.doc
#
04.09.2019129.54 Кб8MK_Krayinoznavstvo_2011.doc