MI_T2TerekhovSV
.pdf
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 13
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
−3 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 1 |
2 |
4 |
|||||||||
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−3 |
|
|
5 |
|
|
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
1 |
и вектора |
|
|
= |
−1 |
. |
|
|
a |
b |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
− 2 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
3 |
−1 |
− 2 |
|
ного тензора второго ранга |
−1 |
0 |
−1 |
. |
|
− 2 |
−1 |
− 2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
0 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−4 ((4x −5z)i + (2x − y +5z)j + (2 y − x)k ), определить тип деформаций и вычислить объёмную деформацию.
330
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 14
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси ординат. |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
4 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
||
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
2 |
0 |
6 |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти внешнее произведение вектора a = |
2 |
|
и вектора b |
= |
−5 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
0 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
− 2 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
6 |
− 2 |
3 |
|
ного тензора второго ранга |
− 2 |
0 |
1 |
. |
|
3 |
1 |
7 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дейст- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
вия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−2 ((9x + y −2z)i +(4x −2y + z)j +(x − z)k ), определить тип деформаций
и вычислить объёмную деформацию.
331
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 15
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
−1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
1 |
5 |
−1 |
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
−1 |
1 |
−3 |
|
3 |
1 |
1 |
и найти его свёртку.
|
|
|
− 2 |
|
|
5 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
−1 |
и вектора |
|
|
= |
− 4 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
−1 |
−6 |
||||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
3 |
0 |
|
га |
3 |
1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
−1 |
−1 |
2 |
|
|
ного тензора второго ранга |
−1 |
0 |
−1 |
. |
|
2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
5 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−3 ((y − z)i +(x − y)j +(z − x)k ), определить тип деформаций и вычис-
лить объёмную деформацию.
332
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 16
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 5π / 6 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
0 |
0 |
|
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
1 |
− 4 |
|
|
4 |
2 |
0 |
|
и найти его свёртку.
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
3 |
2 |
−2 |
|
ного тензора второго ранга |
2 |
1 |
2 |
. |
|
−2 |
2 |
0 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сост-
1
авляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−4 ((2x − y −2z)i +(3x + 2y − z)j +(y − z)k ), определить тип деформаций
и вычислить объёмную деформацию.
333
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 17
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол 5π / 6 вокруг оси ординат.
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
0 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
||||
a |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат. |
− 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
2 |
6 |
− 4 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
− 2 |
|
|
−3 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
0 |
и вектора |
|
|
= |
−1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
−6 |
|||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
− 2 |
1 |
0 |
|
|
га |
1 |
−1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
−1 |
1 |
−1 |
|
|
ного тензора второго ранга |
1 |
3 |
1 |
. |
|
−1 |
1 |
5 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−2 ((− y − z)i + (x − z)j + (y − x)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
334
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 18
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 5π / 6 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
−1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
1 |
−4 |
5 |
||
|
6 |
1 |
−4 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
1 |
4 |
−1 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
−1 |
|
и вектора b |
= |
− 2 |
. |
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
0 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
4 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
|
4 |
− 2 |
8 |
|
ного тензора второго ранга |
− 2 |
1 |
3 |
. |
|
8 |
3 |
− 2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
5 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−4 ((2x + 2 y + z)i +(3y − x)j +(2z − x)k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
335
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 19
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 2 вокруг оси абсцисс.
|
|
|
−3 |
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
−5 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
2 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
−3 |
2 |
и найти его свёртку.
|
|
−3 |
|
−3 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
−5 |
и вектора |
|
|
= 0 |
. |
a |
b |
|||||||
|
|
|
2 |
|
− 2 |
|||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
−1 |
0 |
|
га |
−1 |
2 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
−5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
ного тензора второго ранга |
4 |
1 |
1 . |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора. |
|||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−2 ((x − 4 y)i + (x + 2 y)j + (y − x)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
336
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 20
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 2 вокруг оси ординат.
|
|
0 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
8 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
8 |
−5 |
7 |
|
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
3 |
0 |
5 |
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
и найти его свёртку.
|
|
0 |
|
1 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
0 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
8 |
|
1 |
|
|||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
− 2 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
3 |
1 |
. |
|
0 |
1 |
0 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
2 |
1 |
2 |
|
|
ного тензора второго ранга |
1 |
−1 |
4 |
. |
|
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
−2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−3 ((z − y)i + (z + 2 y)j + (y − z)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
337
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 21
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π / 2 вокруг оси аппликат.
−1
2. Найти координаты вектора a = 3 в новой системе координат п.1. Вы-
−1
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
−5 |
||
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 3 |
2 |
4 |
|
||||||
и найти его свёртку. |
1 |
−4 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= 3 и вектора |
|
|
= 1 |
. |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|||||
|
|
−1 |
− 2 |
|
|
|
|||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
1 |
−1 |
. |
|
0 |
−1 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
−1 |
−1 |
3 |
|
|
ного тензора второго ранга |
−1 |
− 2 |
−1 |
. |
|
3 |
−1 |
1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
−3 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )=10−4 ((x + z)i +(x + y)j +(x − y +2z)k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
338
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 22
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол π вокруг оси абсцисс.
|
|
4 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
4 |
1 |
−3 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
3 |
4 |
6 |
|
−1 |
2 |
0 |
|
|
и найти его свёртку.
|
|
4 |
|
0 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
1 |
и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
8 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
0 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубичный инварианты симметрич-
3 |
2 |
1 |
|
|
ного тензора второго ранга |
2 |
− 2 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
−1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ(n1 ) , ϕ(n2 ) , ϕ(n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
−1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )=10−2 ((− x − y − z)i +(y + 2z)j +(x + y −2z)k ), определить тип деформаций
и вычислить объёмную деформацию.
339