Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MI_T2TerekhovSV

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 18

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) 2 x 1 − y2 dx + y dy = 0 ;

б)

5 + y2 + y′ y 4 − x2 = 0 ;

в)

e y ( y '+1 )= 2 ,

y(0) = 0 ;

– однородные

а) x y′ = 4 2 x2 + y2 + y ;

;

б) x sin

y′

+ x

= y sin

в)

y′ =

y(1) =1;

– линейные

а) y′− xy = 12x4 ;

б) y′ = x y+1 + x 2−1 ;

в)	d s	−	2 s	=	1	, s (1) =1;
	d t		t		t 3

–уравнение Бернулли: 2 y′ + 3 y cos x = (8 +12 cos x )e−3 sin x y −1 . II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

–допускающие понижение порядка

′′

′

′′

а) (1+x

=2; б)

=1,

=1, y′

=1;

) y

−x y

– со специальной правой часть

а)

y′′−6 y′+8 y = (2 x +1)+sin(2x);

б) y′′− y′ = ex + x2 ;

в)

y′′−6 y′+9 y = cos x + 2sin(2x);

г)

y′′+ y = −sin(2x)+3 ,

y(π)= y′(π )=1;

– методом вариации постоянных

а) y

′′

′

=ch(2x) (

α =

eα +e−α

);

б)

y′′−9 y′

9 e 3 x

, y(0) = y′(0) = 0 .

+18 y = 1 + e−3 x

− y

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 3y − x ;

б) x& = 7x − y .

y = y −5x

y = 5x + 2 y

210

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 19

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) ( x3 + 2 ) y′ = 3 y +1;

б)

4 + y 2 + 2 − x2 y y′ = 0 ;

– однородные

в) (1 + y 2 ) dx = x y dy , y( 2 )=1;

а)

y′

+ cos

;

б)

′

x2 + x y −

3 y2

= 2 x2 −6 x y ;

в)

= x , y(1) = 0 ;

( x y′− y ) arctg

– линейные

а)

′

= e

−x

−

;

1+ x

б) y′+ 4 x y = − 4 x3 ;

1 ;

в)

(1 +t 2 )

d s

−t s = t 2 , s (0) =

d t

– уравнение Бернулли: 4y′+ x3 y = ( x3 +8) e−2 x

y2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

′

+1;

б)

′′

= y

′

, y(0) =

′

=1;

tg x = y

0 , y (0)

– со специальной правой часть

а) y′′−5y′+6 y = 2sin(2x)+ 4 ;

б) y′′−4 y = e2 x + (x2 −1 );

в)

y′′+9 y = cos(3x)+e3 x ;

г)

′′

′

+3y = e

+(x −3 )

, y(0) = 3 ,

′

= 9 ;

−4y

y (0)

– методом вариации постоянных

а) y′′+ 2y′+ y = 3e

−x

+1 ;

б) y′′+ 4 y = 4 ctg (2x),

= 2 .

= 3, y′

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = y − 2x

;

б) x& = x + 4 y .

y = x + 2y

y = x −6 y

211

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 20

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) 2 x y′+ y 2 =1;
б) 2x + 2 x y 2 + 1 − x y′ = 0 ;
в)	y′ = y cos x ,	y(0) =1;
– однородные		y
а)
	x y′− y = x tg		;

	x

б)

′

x2 + x y −5 y2

;

= x2 −6 x y

– линейные

в)

( x2 + 2 y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 ,

y(1) =1;

а)

y′

−

= x ln x ;

x ln x

б)

y′

−

2 x y

=1 + x2

;

1 + x2

в)

ctg t

d s

+s = 2 ,

s (0) = 4 ;

d t

– уравнение Бернулли: 8 x y′−12 y = −( 5 x2 + 3) y3 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

( 2 y + 3)

′

)

= 0

;

б)

′′

(2 x

′

y(2) = 2 ,

′

;

− 2 ( y

−1) = y

y (2) =1

– со специальной правой часть

а) y′′− y = (5 x + 2) ex + 4 ;

б)

y′′−6 y′+5y = cos x +e 2 x ;

в) y′′+ 25 y = sin(5x)+ (x +5);

г)

′′

− y

′

= 2sin(2x)+

3cos (3x),

y(0) = 2 ,

′

;

y (0) = 0

– методом вариации постоянных

а) y

′′

+4y = 2 tg x ;

б)

4 e−2 x

y(0) = ln 4 , y′(0) = ln 4 −2 .

y′′− 2 y′ = 1 + e−2 x

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 6x + y

;

б)

x& = 5y − x .

y = 3y − x

y = 5x + 2 y

212

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 21

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) ex − y y′ =1;

б) 6 x dx − y dy = y x2 dy − 2 x y 2 dx ;

в)

′

y +1

, y(1) = 0 ;

– однородные

а) ( x2 + y 2 ) dx − x y dy = 0 ;

б)

′

2 y

= x2

+ 6 x + 6 ;

– линейные

в)

( x2 + 5 y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 ,

y(1) =1;

а) y′+ 2 x y = x e−x 2 ;

б)

y′+

x +5

;

в)

d s

−s = t 2 ,

s (0) = 0 ;

d t

– уравнение Бернулли:

y′+ x y = (x −1) ex y2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y '' y ln y + (1 + ln y ) ( y′)2

= 0 ;

б)

y′′−

y′

= x2 (x −1) ,

y(0) = y′(0) =1;

x +1

– со специальной правой часть

а)

y′′+9 y′−10 y = (6x +1 )+sin x ;

б)

y′′−9 y′+8y = x ex +cos(2x)

в)

y′′+ 4 y = sin(2x)+5 ;

г)

y′′+ y′ = 2sin x +e2 x ;

– методом вариации постоянных

а)

′′

′

;

б)

′′

e x +1

2 ,

y( )

y ( )

2 .

+3y +2y =

4y + y =ctg

′ π

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x −9y

;

б)

x& = y −3x .

y = 9x + y

y = x + 6 y

213

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 22

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) ( x y 2 + x ) dx + ( y − x2 y ) dy = 0 ;

б) 3x +3 x y2 + 3 − x2 y′ = 0 ;

в)	(1 + y 2 ) dx + x y dy = 0 , y(2) =1;
– однородные		2
а)	y		y	;
	y′ = 4 +	+
			x
	x
б) x y′ = 6 2 x2 + y 2 + y ;
в)	( y 2 −3x2 ) dy + 2 x y dx = 0 , y(1) = 2 ;

– линейные

а) y′+ 2 x y = − 4 x5 ;

б)	y′−		y	+	ln x	= 0 ;
			x		x
в)	d s	+s = t e−t , s (0) =1;
	d t

– уравнение Бернулли: 4 x y′+ 3 y = −e x x4 y5 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) x y

′′

′

;

б)

2 y y

′′

′

)

4 y

, y(0)

=1,

′

= 0 ;

= y

−3( y

y (0)

– со специальной правой часть

а)

y′′+ 4 y = cos (2x)+ x ;

б) y′′−5y′ = x2 + x e−2 x ;

в) y′′+5y′+4y =sin x +5 x ;

г)

′′

′

+3y = e

5 x

+3 , y(0)

= 3

′

= 9

;

−4y

, y (0)

– методом вариации постоянных

а) y′′+ y =

cos(2x) ; б)

y′′+

y'=

, y(0) = ln 27 ,

y′(0) =1−ln 9 .

2 + ex

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = y − 2x ;

б)

x& = 7x + 2 y .

y = 2 y −3x

y = 6x − y

214

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 23

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) y y′ =1+ 2x ;

б)

9 − x2 y′+ x2 ( y +1) = 0 ;

в)

y′sin x = y ln 2

= e ;

– однородные

а) x y′ = xe

+ y ;

б) x y′ = 4 x2 + y2 + y ;

– линейные

в)

(x2 + 3y 2 )dx + 2 x y dy = 0 ,

y(1) =1;

а)

y′− y cos x = − sin (2x);

б)

y′−

= 3x

;

в)

d s

−s = t 2 et

s (1) = 2 ;

d t

– уравнение Бернулли:

y′+

= x

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) ( y

′′

′

б)

(1 + x

) y

′′

+ 2 x y

′

= 0

, y(0) = 2 ,

′

= 3

;

)

= (

y )

+1;

y (0)

– со специальной правой часть

а) y′′−7 y′+12y = x e 3 x + 4 ;

б)

y′′+5y′ = sin (5x)+3 x3 ;

в) y′′−4y′+ 4y = e2 x + x2 ;

г)

′′

+ y

′

= 4 cos x

+ (3 x + 2),

′

y(π) = y (π) = 0 ;

– методом вариации постоянных

а) y′′+ 4 y′ = ctg (2x);

б)

y′′+ y =

y(0) =1, y′(0) = 0 .

cos x

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 8x −3y ;

б)

x& = 5y − 2x .

y = x

y = 4x + y

215

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 24

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) (

x y − x )dy + y dx = 0 ;

б) (1 − e x ) y y′ = e x ;

– однородные

в)

y dx = ( x +1) dy ,

y(1) = 0 ;

x + y

а)

y′

;

x − y

б)

x y

′

2 y3

+ 4 y x2

;

= 3 y2 + x2

в)

y′

2 x

−

, y(−1)

= 0 ;

2 x

– линейные

а)

x y′− y = x2 cos x ;

б)

y′

−

= −

;

в)

d s

−2 s = −t 2 ,

s (0) =1;

d t

– уравнение Бернулли:

′

− y tg x = −

sin x .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

y′

;

б)

(1 + x

′′

+ 2 x y

′

= 0

′

, y(0) = 0 , y (0) = 3 ;

– со специальной правой часть

а)

y′′+ 4 y′ = 2sin(2x)+ x2 ;

б)

y′′+ 2y′−3y = x ex +cos x ;

в)

y′′+ 4y′+ 4y = 3 +cos x ;

г)

′′

− y

′

= e

+(x

−1 )

, y(0) =

′

=1;

y (0)

– методом вариации постоянных

а) y′′+5y′+ 6 y =

;

б) y′′+ y = cosec x ,

+ e2 x

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 2y

;

б)

x& = 3x + 7 y .

y = 5x + y

y = 2x − y

y′	π		=	π	.
		2		2

216

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 25

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) 2x 1 − y 2 dx − y d y = 0 ;

б)

4 + y 2 dx − y dy = x 2 y dy ;

– однородные

в)

y +

x2 + y2

− x y′ = 0 ,

y(1) = 0 ;

а)

y′ =

;

+ cos

б) x y′ = 3 2 x2 + y2 + y ;

в)

y′ =

2 x

−

, y(−1) = 0 ;

2 x

– линейные

а)

y′−

= x ;

б)

y′ctgx − y = 2 cos2 x ctg x ;

в)

d s

−

2 s

−1 −t = 0 , s (0) = 0 ;

d t

−t 2

– уравнение Бернулли: 2 x y′−3y = −( 5 x2 + 3) y3 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

′

б)

2 y

′

′′

+ y

′

;

= ( y

) ;

( y )

= 0 , y(1) = 0 , y (1)

– со специальной правой часть

а) y′′− y′+ y = x3 + 6 ;

б) y′′− 6 y′+ 9 y = 3 x e 2 x + e 3 x ;

в)

y ''+y = 2 e x + cos x ;

г)

y ''−9 y = (2 − x)+ cos x ,

y(0) =1, y '(0) = 2 ;

– методом вариации постоянных

9 e 3 x

′′

′

−x

а) y

+ 2y

+ y = 3e

+1 ;

б)

y′′−9 y′+18 y = 1 + e−3 x

y(0) = y′(0) = 0 .

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 6x + y ;

б) x& = y −3x .

y = 3y − x

y = x + 6 y

217

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 1

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	1		∞	2n
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	n5n			3n +1
n=1			n=1

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞	(−1 )n		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	22 n			(n +1 )(n + 2 )
n=1			n=1

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞	1		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	n2 + ln n			(n +1 )ln (n +1 )
n=1			n=1

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞	2n			∞	n!
а) ∑			;	б) ∑		.

n=1	n +	1		n=1	n2 + 2

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞		1		∞	1
а) ∑			;	б) ∑		.
	3	(2n +3 )			(n +1 )ln2 (n +1 )
n=1				n=1

6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

а)1− 1

+ 1

− 1

+ 1

− 1 +... ;

∞

(−1 )n n

б) ∑

n=1

n4 +1

Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(−1) n x2 n

а) (x +1)+ (x +1)2 + (x +1)3 +... ;

б) ∑

;

в) ∑

n=1

n 2 n

n=1

5n −6

а) Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора (при

x0 ≠ 0 )

или ряд Маклорена

(при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = x2 cos x ; x0 = 0 ; б) f (x) = ln (3x ).

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:

y'' = x y2 − y' ; y(0) = 2 ; y' (0)=1.

10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)	f (x) = x2 ; x (−π; π ];			б)	f (x) = x +1;	x (−π; π ) (по синусам).
11. а)		x, 0 < x ≤1	;	б)	−1, − 2 < x ≤ 0		(по косинусам).
	f (x) =	2 − x, 1 < x ≤ 2			f (x) =	0 < x ≤ 2
					x,

218

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 2

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞	1		∞	3n
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑		;	б) ∑		.
	3 (n +1 )2			n +1
n=1			n=1

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞	∞	5
а) ∑2−2 n ;	б) ∑		.
		(n +1 )(n +3 )
n=1	n=1

3.	Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:
	∞		1		∞	ln (n + 2 )
	а) ∑		1	;	б) ∑	ln (n + 2 )		.
	а) ∑	n2		;	б) ∑			.
	n=1	n2	n +1		n=1	n
4.	Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:
	∞	5n			∞	n +3
	а) ∑	5n	;		б) ∑	n +3	.
	а) ∑	n	;		б) ∑		.
	n=1	n			n=1	n!
	n=1				n=1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞	1		∞	1
а) ∑		;	б) ∑		.
	(n + 2 ) n + 2			(n +1 )ln (n +1 )
n=1			n=1

а) 1− 1

+ 1 −

∞

(−1 )n

+... ; б) ∑

n=1

8n +3

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

∞

(−1)

а) (x − 2)+ (x − 2)2 + (x − 2)3

∑

+... ;

б)

2n sin

;

в)

7n −11

n=1

3 n

n=1

8. а) Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора (при

≠ 0 ) или ряд Маклорена

(при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x)	в ряд Маклорена, используя
стандартные разложения: а) f (x) = esin x ; x0 = 0 ;	б) f (x) = 3 − x2 .

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y' = x2 + y3 ; y(1) =1. 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а) f (x) = 2 x +1; x (−π; π ];	б) f (x) = x +π ; x (0; π ) (по косинусам).
11. а) f (x) = ex ; x (−1; 1 ];	2,	0 < x ≤1	(по синусам).
	б) f (x) =	1 < x ≤ 2
	x,

219

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.05.2019199.2 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551.11 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20192.69 Mб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20192.94 Mб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc
#
01.05.2025207.36 Кб1Mitsubishi Corporation.doc
#
13.04.201514.02 Mб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.04.20255.57 Mб3mkt_kontr.doc
#
09.11.2018700.93 Кб12mk_1_1.doc
#
09.11.2018226.82 Кб3mk_1_2.doc
#
20.08.201962.98 Кб12MK_2.doc
#
04.09.2019129.54 Кб8MK_Krayinoznavstvo_2011.doc