MI_T2TerekhovSV

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫2 sin 2 x dx ;

∫2 sin 4 x dx .

0

0

−1

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = e3x ;

x [0;

2].

4.

Вычислить указанные интегралы:

π

π

2

1

dx

2

4

− x dx .

а) ∫ctg x dx ;

б) ∫

;

в) ∫(2x −3 )sin (5x )dx ;

г) ∫1

1 + 2x − x

2

π

0

0

0

x + 4

6

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

в) ρ = 3tg ϕ ; ϕ = π .

а) xy =1 ; y = 0 ; x =1; x = 2 ;

б) y = x2 ; y 2 = x ;

6

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y =1 − x2 ;

y = 0 ;

б) x =cos t

.

y = 2 sin t

−

1

;

1

x

2

2

.

x = t (3 −t 2 )

(петля); (Oy ).

ным точкам на линии

2

y = 3t

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

0

x2

∞

dx

3

dx

1

x2 dx .

а) ∫

dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

−∞

2

1

x (x +1 )

0 x −1

0

1 − x2

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫2 sin x dx ;

∫2

sin x dx .

0

0

ния

f (x) = cos (2x );

0;

π

x

2

.

2

1

(x −3)dx

1

5

а) ∫cos x dx ;

б) ∫

;

в) ∫x e−x dx ;

г) ∫ 3x −7 dx .

x

2

+ 4x

+14

π

−2

0

1

4

а) xy =1 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ;

б) x = 4 −( y −1 )2 ; x = y 2 − 4 y +3 ;

в) ρ =tg ϕ ; ϕ =

π .

4

а) y = 2 sin x ; y = 0 ; x =

π

;

б) x = 2 cos t .

4

y = 6sin t

π

π

x

;

.

4

3

ным точкам на линии x2 + y 2 =16 ;

от A(2; 2

3 )до B(3;

7 ); (Ox ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

0

dx

6

dx

16

3 + 2 x dx .

а) ∫ 7 x5 dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

2

+ 6x +11

0

−∞ x

0

6 − x

0

x − 4

1

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e x dx ;

∫x dx .

0

0

3

8

dx

1

3

а) ∫(1 + 2x +3x2

)dx ;

б) ∫

; в) ∫x10 x dx ;

г) ∫

dx .

2

− 6x +34

2

3 x

0

0

4 − x2

а)

x y = 6 ;

3

t ; x ≥3 3

;

x + y = 7 ; б) x = 8 cos

3

t

y = 8sin

в)

ρ = 3(1 −cosϕ ); ρ = 3 (вне кардиоиды).

а) x y = 5 ; y = 0 ; x =1; x = 2 ;

б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 .

∞

(3x +1 )dx ;

∞

ln x dx

2

dx

2

dx

а) ∫

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

.

3

4

0

2

x

−2 x −1

0 x ln

x

а)

dx

=

dy

;

x + y

y − x

б)

x y′ = 4 2 x 2 + y 2 + y ;

в)

y′ =

y

y

,

y(1)=1;

ln

x

– линейные

x

а)

y′− y sin x = sin x cos x ;

б)

y′−

y

= x

2

;

x

в)

d s

+

3 s

=

2

,

s (1)=1;

t

– уравнение Бернулли:

d t

t 3

y′ + x y = (1 + x) e−x y 2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

′

y

′′

′

)

2

+1

;

б)

2 y y

′′

−

3( y

′

)

2

= 4 y

2

,

′

=1;

а) 2 x y

= ( y

y(0) = y (0)

– со специальной правой частью

а)

y′′+ 9 y = sin (3x)+ 2 e x ;

б)

y′′− 4 y′+ 5y = (16 − 2x ) e x + x 2 ;

′′

′

3 x

4

1

в)

y

− 6 y

+ 9 y

=

3e

,

y(0) = 3 ,

y(0) = 27 ;

г)

y

′′

+ 4y

′

=1;

= sin x , y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

′′

1

′′

′

4e 2 x

′

а) y

+ 4 y

= sin 2 x ;

б)

y

−6 y

+8y

=

1 + e−2 x

, y(0) = y (0) = 0 .

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 2x −3y ;

б)

x& = y

.

&

&

y = x

y = 3x + 4y

а) ( x2 −1) dy + (1 − y 2 ) dx = 0 ;

б)

4 + y 2 dx − y dy = x 2 y dy ;

– однородные

в)

(1 + y 2 ) dx = x y dy , y(2) =1;

y

а)

x y′+

y ln

= 0 ;

x

б) x y′ = 4 x 2 + y 2 + y ;

y

в)

( x y′− y ) arctg

= x ;

– линейные

x

y

а)

y

′

= e

− x

;

−1 + x

б)

′

1

sin (2x);

y

+ y cos x = 2

в)

d s

cos2 t − s = tg t , s (0) = −1;

d t

– уравнение Бернулли: x y′+ y = 2 y 2

ln x .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y y′′ = 2 ( y′)2 ;

б)

y′′

−

y′

= x (x

−1) , y(2) =1,

y′(2) = −1;

x −1

– со специальной правой частью

а)

y′′+ 5 y′+ 4 y = 3sin x + e−x ;

б) y′′+ 4 y = x e 2 x + 5 ;

в)

y′′− 6 y′+ 9 y = x2 − x + 3 ; y(0) = 34 , y′(0) =

1

;

27

г)

y

′′

+9 y = cos x ,

′

;

y(0) = y (0) =1

– методом вариации постоянных

1

′′

′′

′

′

а) y

+ y = sec x ;

б)

y

−3 y

+ 2 y =

3 + e −x , y(0) =

1+8ln 2 ,

=14ln2.

y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x + y ;

б) x& = y − 2x .

&

&

y = x − y

y = x +5y

Вариант 3

I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:

– с разделяющимися переменными

а) x2 dy + ( y −5) dx = 0 ;

б) x2 y 2 y′+1 = y ;

π

1

в) y′ = ( 2 y +1) ctg x , y

=

;

4

2

а)

y′− y ctg x = 2 x sin x ;

б) ( x y + e x ) dx − x dy = 0 ;

в)

t

d s

− s = t 2 , s (0) = 0 ;

d t

– уравнение Бернулли: x2 y′ = y 2 + x y .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

′

;

б) y

′′

′

e

y

,

y(0) = 0 ,

′

=1,

′

= 0;

x ln x = y

= y

y (0)

y (0)

– со специальной правой частью

а) y′′− 4 y = 8 x 3 + e 2 x ;

б)

y′′+ 2 y′+ 5 y =10 cos x + x e− x ;

в)

y

′′

′

+3 y = e

5 x

,

y(0)

′

= 9 ;

−4 y

= 3 , y (0)

г)

y

′′

+ 4 y = sin(2x),

′

y(0) = y (0) =1;

– методом вариации постоянных

а) y

′′

′

e x

′′

′

+ y

= x ;

б)

y

− 2 y

+ 9 y = 9sec(3x), y(0) =1, y (0) = 0.

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x +8y

;

б)

x& = 3x +5y .

&

&

y = y − 2x

y = x + 4y

′′

′

+1;

б)

y

′′

y

−

′

)

2

= 0 ,

y(0) =1,

′

= 2 ;

а) y

tgx = y

( y

y (0)

– со специальной правой частью

а)

y′′−5 y′+ 6 y =13sin (3x)+ e 2 x ;

б) y′′− 4 y′+ 4 y = 2 x2 + x e x ;

в)

2 y

′′

− y

′

=1,

y(0)

=

0 ,

′

y (0) =1;

г)

y

′′

+ y = 2 cos

(7x),

′

=1

;

y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

а) y

′′

′

e− x

′′

′

9 e−3 x

′

+ 2 y

+ y =

x

; б)

y

−3 y

= 3 + e−3 x

,

y(0) = 4ln 4 ,

y (0)

= 3(3ln 4 −1) .

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 2x − y ;

б)

x& = 7x + y .

&

&

y = y − 4x

y = 3x − y

в)

dx −

1 − x2 dy = 0 ,

y(1) = π

;

– однородные

2

x + 2y

а)

y

′

=

;

x

б) x y′ = 3 2 x2 + y2 + y ;

– линейные

в)

(y +

x2 + y2 )dx − x dy = 0 ,

y(1) = 0 ;

y

а)

y′−

= x sin x ;

x

б)

y′+

y

= x2 sin x ;

x

в)

d s

+

s

= 3t (t > 0) ,

s(1) =1;