MI_T2TerekhovSV

ем производной: а) f (x)=

1

x

; б) f (x) = 5sin

.

3x + 2

2

а) y = ln (sin (2x))−

1

cos2

(3x);

б) y =

x

+

3 x ;

2

2 −3x2

(8x )

4

3

ln

;

г) y = e

1 − 2 t

9

;

в) y =

3 − x

t −1

a + x

x

x = a (cos t +t sin t )

;

e)

= x y

2

−b

2

;

ж)

.

д) y = arctg

1 − a x

y

−t cos t )

y = a (sin t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y = (2x +1)sin (3x), x 0 = 0 ;

б) x = 3sin t ;

в) x 4 − x y + y 4 =1 .

y = 2 tg t

ра: а) y 2 = x3 , x 0 = 0 ;

б) x = ln (1 +t 2 ), t0 = 0 .

2

y = t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

ln (cos x)

e

2x − e x

π x

а) lim

;

б) lim

;

в) lim

(1

− x)tg

;

π ln (cos (3x))+1

x→0 sin (3x)−sin (5x)

2

x→1

x→ 2

1

1

cos (2x)

;

д) lim x x + ln x .

г) lim

−

x

x →0 sin x

x→0

f (x) =

x −3

.

4 (x + 5)

1.

Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x)=

1

; б) f (x) = 5ln(3x + 2).

x3

2.

Продифференцировать указанные функции.

а) y =

x 3

arcctg (2x)−ln(x2 +1)

; б) y = 5 2 −3x2 +10−8x + 1

;

3

x

1

x = arctg t

а) y = ln 2 x +

, x

0

=1 ;

б)

2

)

;

в) y sin x = ln y .

x

+ t

y = ln (1

x 3

x = 3 cos t

π

ра: а) y =

, x0 = −1;

б)

, t 0 =

.

3

3

y = sin t

а) y =

ln(x − 2)

, x0 =1 ;

б) x = 5 cos t ;

в) 3y −3x = 2 y .

x − 2

y = 4sin t

ра: а) y = x3 , x0

=1;

t

, t0 = 0 .

б) x

= 2 e

−t

y = e

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

x2 + 3x

ln(9 −

2x2 )

π

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim arccos x −

ctgx ;

ln x

sin(2π x)

2

x→∞

x→2

x→0

г)

1

1

;

д)

(ctg(3x))sin(3x).

lim

−

lim

x

x →0

x→0 2 x −1

1 −sin

3

x

3

3

а) ∫

dx ;

б) ∫ 14x

+

dx .

sin

2

x

1 + x

2

2.

Метод замены переменной интегрирования

а) ∫e2x dx ;

б) ∫

1 +ln x

dx ;

в) ∫

arctg x + x

dx .

x

1

+ x

2

3.

Метод интегрирования по частям

а) ∫ln x dx ;

б) ∫x e2x dx ;

в) ∫x arctgx dx ;

г) ∫x2 cos x dx ;

д) ∫e2x sin x dx .

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

x + 5

dx ;

б) ∫

2 − x

dx .

3 − 4x − 4x

2

9x2 + 6x +13

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

а) ∫

2x3 +1

dx ;

б) ∫

x2

+1

dx .

3

(x

2

x −1

+1) (x − 2)

6.

Интегрирование тригонометрических функций

а) ∫sin 2 x cos 2 x dx ;

б) ∫cos3 (2x)dx ;

в) ∫tg 5 x dx ;

г) ∫sec4 x dx ;

д) ∫

dx

;

е) ∫sin (2x)cos (3x)dx ;

sin

3

(4x)

ж) ∫

dx

.

5 +3cos x

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) ∫3

x +1

dx ;

б) ∫ 4 − x2 dx ;

3x +

1

dx

г) ∫x2

dx

в) ∫(25 + x2 )

25 + x2 ;

x2 −9 .

а) ∫x−2 (1 − x)3 dx ;

б) ∫

4

5sin x +

2

dx .

1 − x

2.

Метод замены переменной интегрирования

в) ∫ e x + e2x

а) ∫tg (5x)dx ;

б) ∫

x3

dx ;

dx .

1 − x8

1 + e2x

3.

Метод интегрирования по частям

∫

2 e

−

x

∫

x sin (5x)dx ;

∫

x

2

а)

x

2 dx ;

б)

в)

x arctg

dx ;

г) ∫x ln(x2 +3)dx ;

д) ∫e2x cos x dx .

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

2x − 6

dx ;

б) ∫

3x +1

dx .

x

2

8x − x2 −12

+5x + 7

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

а) ∫

3x + 5

dx ;

б) ∫

x3 +5x −1

dx .

4 2

3

x

+ x

x

−1

6.

Интегрирование тригонометрических функций

а) ∫

cos5 x

dx ;

б) ∫sin 6

(3x)dx ;

в) ∫ctg 3 (2x)dx ;

г) ∫

dx

;

sin

3

x

sin

3

(2x)

д) ∫cos ec4 x dx ; е) ∫sin (5x)cos (3x)dx ;

ж) ∫

dx

.

3sin x − 4 cos x

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) ∫

dx

б) ∫ 9 − x2 dx ;

x +1 (3 x +1 +1);

в) ∫

x2

dx

;

г) ∫

x2 −4 1 dx .

16 + x2

x

8.

Разные интегралы

ж) ∫

arcsin x dx ;

з) ∫tg 3 (3x − 4)dx .

2 − x

а)

∫

x

x

2

∫

1 −3x

+ 7x4

sin

− cos

dx ; б)

dx .

2

2

x

2.

Метод замены переменной интегрирования

в) ∫arcsin2 x +1 dx .

а) ∫2 5x dx ;

б) ∫

x

dx ;

1

− x2

1 − x2

3.

Метод интегрирования по частям

в) ∫x2 3x dx ;

а) ∫arccos x dx ;

б) ∫x−5 ln x dx ;

г) ∫arctgx dx ;

д) ∫e x sin(2x)dx .

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

x + 2

dx ;

б) ∫

1 − x

dx .

9x

2

5 − 4x − x2

− 6x +13

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

а) ∫

x3 +3

б) ∫

x + 4

dx ;

(x2 +1)dx .

x3 − x2 − 2x

x2

6.

Интегрирование тригонометрических функций

а) ∫sin 4 (2x)cos2 (2x)dx ;

б) ∫cos5 x dx ;

в) ∫tg 3 (2x)dx ;

г) ∫sec4 (3x)dx ;

д) ∫

dx

;

е) ∫cos(2x)cos(3x)dx ;

ж) ∫

dx

.

3

3

+ cos x

cos (2x)

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) ∫

x

dx ;

б) ∫ 1 − 4x2 dx ;

2x +1 +

1

в) ∫

dx

;

г) ∫ x2 −2 9 dx .

(1 + x2 )3

x

8.

Разные интегралы

а)

3

6

15

x

x

2

+

−

dx ;

б)

cos

+sin

dx .

2

3

∫

x

x

∫

2

2

x

2.

Метод замены переменной интегрирования

3x −5 arctg 2 x

а) ∫ctg (3x)dx ;

б) ∫3

x

2

в) ∫

dx ;

dx .

1 + x

2

1 + x3

3.

Метод интегрирования по частям

а) ∫(4 −3x)e−3x dx ;

б) ∫(x +5)sin (3x)dx ;

в) ∫arcsin (4x)dx ;

г) ∫

ln (x +3)

dx ;

д) ∫e3x sin(2x)dx .

4

(x +3)

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

3x +1

dx ;

б) ∫

4 − x

dx .

5

− 4x − 2x

2

x2 +8x + 25

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

а) ∫

x3 +1

б) ∫

x + 2

dx ;