MI_T2TerekhovSV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) y = x ; y = 2x ; x = 3 ;

t ; x ≥3 3 ;

в) ρ = 4 cosϕ ; ρ = cosϕ .

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 3

2	2
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e x dx ;	∫(x −1 )dx .
1	1

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫sin x dx .

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = 3x2 + x ;	x [0; 2 ].
4. Вычислить указанные интегралы:
				π
1	0	dx		2	5	dx
а) ∫2 x dx ;	б) ∫	dx	;	в) ∫x sin x dx ;	г) ∫	dx	.
а) ∫2 x dx ;	б) ∫	2	;	в) ∫x sin x dx ;	г) ∫	3x +1 +1	.
0	−1	4x −9		π	1	3x +1 +1
				3

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y 2 = 2x + 4 ; x = 0 ;

б) x = y 2 ( y −1 ); x = 0 ;

в) ρ =1 −sin ϕ .

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y 2 = x ; x =1;	б) x = 2 (t −sin t ) .
	y = 2 (1 −cos t )

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y =1 − ln (sin x );

x π3 ; π2 .

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

ным точкам на линии	y = cos x ;		0;	π	;	(Ox ).
		x		2

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞	dx			∞	2 x dx		2	dx		e	dx .
а) ∫			;	б) ∫		;	в) ∫		;	г) ∫
	9 + x	2			2			x
0				−∞	x +1		−2			1	x ln x

170

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 4

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫1	(x2 +1 )dx ;	∫1	x	dx .
			2
0		0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫cos x dx .

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = 2 x ; x [0; 2].

Вычислить указанные интегралы:

π sin

а) ∫(1 + 2x +3x2 )dx ;

б) ∫

;

в) ∫

ln x dx

;

г) ∫

dx .

x +1 +2

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

б) x = 4 (t −sin t ) ;

а) y = x2 ; y = 2 − x2 ;

y ≥4 ;

в) ρ = 2 cos (2ϕ ).

y = 4 (1 −cos t )

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = x2 ; y = x ;	б)	x2	+	y 2	=1 ;	y ≥1.
		16
			9

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

	2				.
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии x = 6 t			2	)	.
		−t	2
y = 2 t (3		−t

8.Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии y = sin x ; x [0; π ]; (Ox ).

9.Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞	(x +3 )dx ;	∞	ln x dx		3	dx		4	dx
а) ∫		б) ∫		;	в) ∫		;	г) ∫		.
			3			2			x2 − 4x +5
−∞		2	x		2 x	− 4		2

171

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 5

12	12
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫x2 dx ;	∫(x −3 )dx .
4	4

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫2 x dx .

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = x2 +3 ;	x [0; 3].
4. Вычислить указанные интегралы:
π
2	8		dx		1	3	dx
а) ∫sin x dx ;	б) ∫		dx	;	в) ∫x 6 x dx ;	г) ∫	dx	.
а) ∫sin x dx ;	б) ∫	2	− 6x +34	;	в) ∫x 6 x dx ;	г) ∫	x +1 + 2	.
0	3 x		− 6x +34		0	0	x +1 + 2

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = ln x ; y = 0 ; x = e ;	б) y = 3sin x ; y = sin x ; x [0; π ];
в) ρ = 3(1 +sinϕ ); ρ = 3 .

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) x = y 2 ; y = x ;	б)	x2	+	y 2	=1 ;	y ≥2 .
		4
			9

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 2 (1 + cos ϕ );

ϕ −π; − π2 .

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии	x = 2 (t −sin t )				(Ox ).
	y = 2 (1 −cos t ) ;
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞	0		dx		3		dx		e
а) ∫(x2 + x −1 )dx ;	б) ∫			;	в) ∫			;	г) ∫		3dx .
		x	3			x	2			x
0	−∞		−1		1		−1		1		ln x

172

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 6

π π

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫2sin2 xdx;	∫2sin5 xdx.
0	0

2. Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫ln x dx .

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = x2 + x −3 ; x [0; 2].

4. Вычислить указанные интегралы:

1	dx			1	dx		1	4	dx
а) ∫			;	б) ∫		;	в) ∫x10 x dx ;	г) ∫		.
	1 + x	2			7 −6x − 2x2				2x +1 + 3
0				0			0	0

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = x3 ; y = 8 ; x = 0 ; б) y = (x − 2 )3 ; y = 4x −8 ;

в) ρ = 2 (1 +sinϕ ); ρ = 2 (вне кардиоиды).

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = x2 ; y = 2x ;	б) x = 4 cos t .
	y = sin t

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

	1 − x2 + arcsin x ;			7
y =		x	0;		.
y =		x	0;	9	.
				9

ным точкам на линии	y =	x3	; x [− 2; 2 ]; (Ox ).

	3

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

а) ∫e−x dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

+ 2x +9

9 − x2

−∞

x ln

173

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 7

π π

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫2 cos x dx ;	∫2 cos3 x dx .
0	0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

		π
чение интеграла ∫2 sin (2x )dx .
		0
3.	Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = 3x2 + 2x −1; x [1; 3].
4.	Вычислить указанные интегралы:
		π			3
	1	2	(2x )dx ;	2	3	dx .
	а) ∫e x dx ;	б) ∫sin3 x sin	(2x )dx ;	в) ∫x 5x dx ;	г) ∫	dx .
	0	0		1	0	4 − x2
5.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.			б) x = 4 cos t ; y ≥1;
	а) y = sin x ;	y = 0 ; x [0;π ];	б) x = 4 cos t ; y ≥1;		в) ρ = 2 sin ϕ ; ρ = 5sin ϕ .
				y = 2 sin t

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = x2 ; y = 5x ;	б)	x2	−	y2	=1;	y = ±2 .
		9
			4

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 5 (1 −cosϕ );

ϕ − π3 ; 0 .

ным точкам на линии	y =	x2	; x [0; 3]; (Oy ) .

	2

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

x dx .

а) ∫

;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

4 + x

(x2 −1 )

−2

−5 x + 5

x −1

174

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 8

2	2
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e3x dx ;	∫x dx .
1	1

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫arctg x dx .

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = 7x2 − 2x + 6 ;

x [0;

2].

Вычислить указанные интегралы:

(1 + x )dx

ln 8

x +1

а) ∫

;

б) ∫

;

в) ∫x cos x dx ;

г) ∫

dx .

x + 4

ln 3

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) x y = 6 ; x + y = 7 ;

б) y = e x −1 ; y = 5 ln 2 ; x = 0 ;

в) ρ = sin ϕ ;

ρ = cosϕ ; ϕ 0;

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = e x ; y = e2x ; x =1;	б) x = 5 cos t	;	y ≥1.
	y = 3sin t

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии	x = 2 t (3 − t 2 )
			2
		y = 6 t

(петля).

ным точкам на линии y 2 = 4 + x ; x [−

6; 6]; (Ox ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

а) ∫

;

б) ∫x e−2x dx ;

в) ∫

;

г) ∫

dx .

5x −1

4 − x2

−∞

4 + x

175

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 9

π π

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫2 sin x dx ;	∫2 sin 4 x dx .
0	0

2. Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено

значение интеграла ∫arctg x dx .

3.	Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = x2 − 2x + 7 ;			x [0; 1].
4.	Вычислить указанные интегралы:				π
	π				π
	2	−1	dx		3	4	x − 2 dx .
	а) ∫cos x dx ;	б) ∫	dx	;	в) ∫x sin (3x )dx ;	г) ∫	x − 2 dx .
	0	−2	5 − 4x − x2		0	0	x + 2

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 2 x ; y = 23x ; x =1; б)	x2	−	y2	=1;	y = ±2 .
	4
		9

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии	y =	x 2 − 2 ln x	;
		4
x [1; 2].

	2			; (Ox ).
ным точкам на линии x = 9 t				; (Ox ).
		−t	2	)
y = 3t (3		−t		)

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞	∞	−x	dx		5	dx		3	x dx .
а) ∫x2 dx ;	б) ∫	e		;	в) ∫		;	г) ∫
		−x	+ 3
−∞	0	e			1 x − 2			2	x − 2

176

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 10

1 1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e x dx ; ∫sin x dx .

0 0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫3 (x2 + 7x − 2 )dx .

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) =			1	; x [0;		2].
			3x +1

4. Вычислить указанные интегралы:
2	dx			e				3	4	3 x + 2 dx .
а) ∫		;		б) ∫	1 + ln x		dx ;	в) ∫x 7 x dx ;	г) ∫
	2
1 x				1		x		1	1	x +1

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = x ; y = 3x ; x = 2 ;	б) x = 9 cos t	;	y ≥2 ;
	y = 4 sin t
в) ρ = 3(1 −cosϕ ); ρ = 3 (вне кардиоиды).

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 1x ; y = 0 ; x =1; x = 3 ; б) x = ( y − 2 )3 ; x = 2 y − 4 .

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии			2			(
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии	x = 3t					(
		(3 −t		2	)
	y = t	(3 −t			)

петля).

ным точкам на линии x2 + ( y −1 )2 =16 ; от A(4; 1 ) до B(2								2; 3 );	(Oy ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞	∞	dx			1	dx		4	x
а) ∫(2x −7 )dx ;	б) ∫			;	в) ∫		;	г) ∫		dx .
		3				1 − x2			x −1
−∞	2 x ln		x		0			1

177

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 11

1	1
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e x dx ;	∫cos x dx .
0	0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫4 tg x dx .

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = x3 − x +12 ; x [1; 3].

4. Вычислить указанные интегралы:

ln x dx

7x dx .

а) ∫

;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

1 − x2

+ 4x +10

−2 x

5x −1

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = −x2 +1; y = 0 ;

б) x = ( y − 2 )3 ; x = y − 2 ;

в) ρ = 3sin ϕ ; ρ = sin ϕ .

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

x =16 cos t

а) x y = 5 ; y = 0 ; x =1; x = 2 ; б) ; y ≥2 .

y = 4 sin t

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 2 (1 + sin ϕ );

ϕ − π2 ; 0 .

ным точкам на линии x2 = 4 + y ;

x [−

6]; (Oy ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

(e3x −1 )dx

∞

а) ∫(4x

−15 )dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

3x −

x ln

−∞

178

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 12

1	1
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫x2 dx ;	∫(x +1 )dx .
0	0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла ∫e3x dx .

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = x2 + x −5 ;

x [2;

4].

4. Вычислить указанные интегралы:

ln x dx

а) ∫

;

б) ∫

;

в) ∫cos x sin 2 x dx ;

г) ∫

1 − x2

x +1 + 2

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = −x2 +3 ; y = 0 ; x ≥ 0 ;	б) y = x 16 − x2 ; y = 0 ; x [0; 4 ];
в) ρ = sin ϕ ; ρ = 2 sin ϕ .

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = e2x ; y = 0 ; x = 0 ; x =1;

б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 .

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 3(1 + sin ϕ );

ϕ − π2 ; 0 .

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии (x − 4 )2 + y 2 = 36 ; от A(2; 4 2 ) до B(4; 6 ); (Ox ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

а) ∫x5 dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

−5x

2x −

1 x ln

179

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025688 Кб2metodichni-vkazivki-operator-pk.docx
#
01.07.2025534 Кб0metodychka SUL.doc
#
01.04.2025284 Кб2metrologia_lab.docx
#
01.04.2025793 Кб1metrologia_laboratornye_raboty_2010.doc
#
22.09.2019186 Кб3Mezhd.ekonomika_Magistr.doc
#
13.04.201514 Мб281MI_T2TerekhovSV.pdf
#
01.05.2019762 Кб36Mif_o_vetshnom_vozvrashenii.doc
#
08.05.2019199 Кб30mikroekon (1).docx
#
01.05.202551 Кб3MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI.docx
#
04.05.20193 Мб5MINISTYeRSTVO_OSVITI_I_NAUKI.docx
#
02.05.20193 Мб24mitchel_vyrobnytstvo_novyn_hurtom.doc