MI_T2TerekhovSV
.pdfТерехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IV. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 21
Даны четыре точки A (0; −1; −1 ), B ( 0; 1; 1 ), |
C (−1; −2; 0 ) и D (0; −1; 1 ): |
|||
1. Составить уравнение плоскости, проходящей: |
|
→ |
||
a) через точку A и имеющей нормальный вектор |
||||
BC ; |
||||
→ |
→ |
; |
|
|
б) через точку B параллельно векторам AC |
и AD |
|
||
в) через точки A и B параллельно вектору |
→ |
|
|
|
CD ; |
|
|
||
г) через точки A , B и C ;
д) через точку D параллельно плоскости, проходящей через т. A , B и C ;
е) через точки C и D перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки A , B и C .
2.Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через т. A , B и C .
3.Найти угол между плоскостями, проходящими через т. A , B ,C и
B ,C , D .
4.Составить канонические и параметрические уравнения прямых линий, проходящих через точки A , B и точки C , D .
5.Если прямые AB и CD пересекаются, то найти координаты точки пересечения.
6.Определить расстояние от точки D до прямой AB .
7.Найти точку пересечения с плоскостью ABC прямой линии, которая проходит через точку D перпендикулярно к этой плоскости.
8.Определить угол между прямой AB и плоскостью, которая про-
ходит через точки B ,C , D .
9.Найти точку D 1 симметричную к точке D относительно прямой
AB .
100
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IV. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 22
Даны четыре точки A (2; 0; 1 ), B (−1; 1; −1 ), C (0; 1; 1 ) и D (−1; −1; 0 ):
1. Составить уравнение плоскости, проходящей:
a) через точку |
A и имеющей нормальный вектор |
→ |
|
BC ; |
|||
б) через точку |
→ |
→ |
|
B параллельно векторам AC |
и AD ; |
|
|
в) через точки |
A и B параллельно вектору |
→ |
|
CD ; |
|
||
г) через точки A , B и C ;
д) через точку D параллельно плоскости, проходящей через т. A , B и C ;
е) через точки C и D перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки A , B и C .
2.Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через т. A , B и C .
3.Найти угол между плоскостями, проходящими через т. A , B ,C и
B ,C , D .
4.Составить канонические и параметрические уравнения прямых линий, проходящих через точки A , B и точки C , D .
5.Если прямые AB и CD пересекаются, то найти координаты точки пересечения.
6.Определить расстояние от точки D до прямой AB .
7.Найти точку пересечения с плоскостью ABC прямой линии, которая проходит через точку D перпендикулярно к этой плоскости.
8.Определить угол между прямой AB и плоскостью, которая про-
ходит через точки B ,C , D .
9.Найти точку D 1 симметричную к точке D относительно прямой
AB .
101
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IV. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 23U U
Даны четыре точки A (−1; 0; −1 ), B (1; 2; 0 ), |
C (1; −1; 0 ) и D (0; 1; 1 ): |
||||
1. Составить уравнение плоскости, проходящей: |
|
→ |
|
||
a) через точку A и имеющей нормальный вектор |
; |
||||
BC |
|||||
→ |
→ |
; |
|
|
|
б) через точку B параллельно векторам AC |
и AD |
|
|
||
в) через точки A и B параллельно вектору |
→ |
|
|
|
|
CD ; |
|
|
|
||
г) через точки A , B и C ;
д) через точку D параллельно плоскости, проходящей через т. A , B и C ;
е) через точки C и D перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки A , B и C .
2.Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через т. A , B и C .
3.Найти угол между плоскостями, проходящими через т. A , B ,C и
B ,C , D .
4.Составить канонические и параметрические уравнения прямых линий, проходящих через точки A , B и точки C , D .
5.Если прямые AB и CD пересекаются, то найти координаты точки пересечения.
6.Определить расстояние от точки D до прямой AB .
7.Найти точку пересечения с плоскостью ABC прямой линии, которая проходит через точку D перпендикулярно к этой плоскости.
8.Определить угол между прямой AB и плоскостью, которая про-
ходит через точки B ,C , D .
9.Найти точку D 1 симметричную к точке D относительно прямой
AB .
102
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IV. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 24U U
Даны четыре точки A (−1; 1; 2 ), B (0; −1; −1 ), C (1; 0; −1 ) и D (1; 0; 1 ):
1. Составить уравнение плоскости, проходящей:
a) через точку |
A и имеющей нормальный вектор |
→ |
|
BC ; |
|||
б) через точку |
→ |
→ |
|
B параллельно векторам AC |
и AD ; |
|
|
в) через точки |
A и B параллельно вектору |
→ |
|
CD ; |
|
||
г) через точки A , B и C ;
д) через точку D параллельно плоскости, проходящей через т. A , B и C ;
е) через точки C и D перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки A , B и C .
2.Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через т. A , B и C .
3.Найти угол между плоскостями, проходящими через т. A , B ,C и
B ,C , D .
4.Составить канонические и параметрические уравнения прямых линий, проходящих через точки A , B и точки C , D .
5.Если прямые AB и CD пересекаются, то найти координаты точки пересечения.
6.Определить расстояние от точки D до прямой AB .
7.Найти точку пересечения с плоскостью ABC прямой линии, которая проходит через точку D перпендикулярно к этой плоскости.
8.Определить угол между прямой AB и плоскостью, которая про-
ходит через точки B ,C , D .
9.Найти точку D 1 симметричную к точке D относительно прямой
AB .
103
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
IV. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 25U U
Даны четыре точки A (2; −1; 1 ), B (1; 2; 1 ), C (−1; 2; 1 ) и D (1; 1; −1 ):
1. Составить уравнение плоскости, проходящей:
a) через точку |
A и имеющей нормальный вектор |
→ |
|
BC ; |
|||
б) через точку |
→ |
→ |
|
B параллельно векторам AC |
и AD ; |
|
|
в) через точки |
A и B параллельно вектору |
→ |
|
CD ; |
|
||
г) через точки A , B и C ;
д) через точку D параллельно плоскости, проходящей через т. A , B и C ;
е) через точки C и D перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки A , B и C .
2.Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через т. A , B и C .
3.Найти угол между плоскостями, проходящими через т. A , B ,C и
B ,C , D .
4.Составить канонические и параметрические уравнения прямых линий, проходящих через точки A , B и точки C , D .
5.Если прямые AB и CD пересекаются, то найти координаты точки пересечения.
6.Определить расстояние от точки D до прямой AB .
7.Найти точку пересечения с плоскостью ABC прямой линии, которая проходит через точку D перпендикулярно к этой плоскости.
8.Определить угол между прямой AB и плоскостью, которая про-
ходит через точки B ,C , D .
9.Найти точку D 1 симметричную к точке D относительно прямой
AB .
104
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Модульный блок № 2
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 1
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
− 2x + 2 + 4x2 |
; |
|
6) |
|
|
|
x |
2 |
+1 − |
|
x |
2 |
−1 |
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ 5 + x +8x2 |
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
lim |
5x4 − 7x2 + 2x +1 |
; |
7) |
lim |
1 − cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
3x3 −8x + 9 |
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
lim |
2x2 + x −3 |
; |
|
|
|
|
8) |
lim |
|
tg 2 (4x) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 x2 + x − 2 |
|
|
|
|
x→0 x sin(3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
lim |
x2 + x −6 |
; |
|
|
9) |
lim |
2x |
3x |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→−3 |
2x2 + 7x +3 |
|
|
|
|
x→∞ |
2x |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
|
|
x2 + 21 −5 |
; |
|
|
10) |
lim (7 − 3x) |
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
2 x −4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
x − 2 |
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Исследовать на непрерывность функцию |
f (x) = |
x 3 |
|
в точках x01 |
= −1 |
|||||||||||||||||||||||||
x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и x02 =2. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 2
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
6x4 −5x |
2 + 4x +11 |
; |
6) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x |
x |
|
+ |
1 − x |
|||||||||||
|
2x3 + 3x2 |
+ 2x |
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
x →∞ |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
lim |
|
x2 + 4x +8 |
; |
|
|
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
x→∞ 7x3 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
x→0 1 − cos(5x) |
|
|
||||||||||||||
3) |
lim |
|
x2 −5x + 6 |
; |
|
8) |
lim (x sin x ctg 2 (2x)); |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→3 x2 −8x +15 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
||||||||
|
|
|
x3 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −1 |
|
|||||||||
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||
|
x→2 2x2 + 5x −18 |
|
|
x→∞ |
|
4x + 3 |
|
|
|
||||||||||||||
5) |
|
|
9x +16 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +1 5x |
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
10) |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
5x |
|
|
|
|
|
3x −3 |
|
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =9 |
1−x |
|
в точках x01 =1 |
||||||||||||||||||||
и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
105
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 3
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
3x3 − 2x2 + x |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
2x3 + x −1 |
|
|
|
||||
2) |
lim |
7x5 − 2x3 +3 |
; |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ x6 + 3x2 + 9 |
|
||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
x |
3 +1 |
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→ −1 x2 + 3x + 2 |
|
|
|
||||||||
4) |
lim |
3x2 −10x + 3 |
; |
|||||||||
|
||||||||||||
|
x→3 |
|
|
x2 − 2x −3 |
|
|
|
|||||
5) |
lim |
|
|
x |
2 |
+1 − x |
|
; |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) |
lim x − |
4x −3 |
; |
||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
x −3 |
|
||
7) |
lim |
1 |
− cos (2x) |
; |
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
lim |
1 |
− cos (6x) |
; |
|||||
|
|
x sin(5x) |
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
+ 7 |
2x+3 |
||||
9) |
lim |
|
|
|
; |
||||
|
−1 |
||||||||
|
x→∞ x |
|
|
||||||
10) lim 3x + 5 5x . x→∞ 3x +1
1 |
|
||
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =ex+ |
|
|
в точках x01 =0 |
x |
|||
и x0 2 =1. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 4
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
1 − x − x2 |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
x3 + 3 |
|
|
|
|||
2) |
lim |
3x2 − 2x + 3 |
; |
|||||
|
|
|
||||||
|
x→∞ 6x3 −3x2 +1 |
|||||||
3) |
lim |
|
|
x2 −5x + 6 |
; |
|||
|
|
|
|
|||||
|
x→2 x2 −12x + 20 |
|||||||
4) |
lim |
|
x2 −3 x + 4 |
; |
|
|
||
|
2 x2 + x −1 |
|
|
|||||
|
x →−1 |
|
|
|
||||
5) |
lim |
5 − x 2 − 2 |
; |
|
|
|||
|
x→1 |
1 − x |
|
|
|
|||
6) |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
; |
||
lim |
|
|
+1 − x |
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
lim |
1 − cos (5x) |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
8) lim |
x sin 3x |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 sin |
(5x 2 ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2x + 3 x +1 |
|
||||||
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
||||
2x +1 |
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||
x
10) lim (3 − 2x)x −1 .
x→1
x
II. Исследовать на непрерывность функцию f ( x) = 5 x 2 − 4 в точках x0 1 = 1 и x02 =2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
106
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 5
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
x3 −5x + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x − x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
lim |
5x4 −7x2 + 2x +1 |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
3x3 −8x + 9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
lim |
x2 +3 x −10 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3x2 −5x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x →2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
lim |
|
|
|
x |
3 −125 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→5 |
−14x −5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
lim |
|
x |
2 |
+ x + |
|
1 − |
x |
2 |
− x +1 |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) |
lim |
|
|
x − 2 |
; |
|
|||||
|
x→4 |
|
|
2x +1 −3 |
|
|
|||||
7) |
lim |
|
cos(7x) − cos(3x) |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
x tg(8x) |
|||||||
8) |
lim |
2 arcsin(5x) |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
3x |
|
|
|
|
|||
9) |
lim |
|
3x + 8 x2 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
3x −1 |
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
10) |
lim |
|
|
− |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
||||
|
x→0 sin x |
|
|||||||||
1
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =6 x2 −1 в точках x01 =1
и x02 =2. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 6
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
x6 −3x2 − 2 |
; |
|
|
6) |
lim |
x +13 − 2 |
|
x +1 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ 2x4 + 4x + 5 |
|
|
|
x→3 |
|
x 2 −9 |
||||||||||||||||
2) |
lim |
x3 −5x +10 |
|
; |
|
|
|
7) |
lim |
|
x2 |
|
; |
||||||||||
|
x +1010 |
|
|
|
1 − cos(7x) |
||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||||||
3) |
lim |
|
2x2 + 5x + 2 |
; |
|
|
8) |
lim |
1 − cos3 (2x) |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→−2 x2 + 3x + 2 |
|
|
|
x→0 |
|
tg 2 (4x) |
|
|
||||||||||||||
4) |
lim |
|
3x2 − x − 2 |
; |
|
|
|
9) |
|
|
2x −1 x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
||||||||||
|
x→1 2x2 |
+ 5x − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
2x + 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
||
5) |
lim x |
2 |
x |
2 |
+1 |
− x |
; |
10) |
lim (5x − 4)x −1 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =5 4x в точках x01 =0 и x0 2 = 4 . В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
107
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 7
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
x5 + x2 + 2x + 5 |
; |
||||
|
|
|
|||||
|
x→∞ x3 + 2x2 −1 |
||||||
2) |
lim |
|
x4 + 2x −3 |
; |
|
||
|
|
||||||
|
x→∞ 3x3 + 2x +1 |
||||||
3) |
lim |
2x3 − 2x2 + x −1 |
; |
||||
|
|
|
|||||
|
x→1 x3 − x2 +3x −3 |
||||||
4) |
lim |
x2 −9x +14 |
; |
||||
|
|||||||
|
x →7 2x2 −13x − 7 |
||||||
5) |
lim |
1 + 2x −3 ; |
|||||
|
x→4 |
x − 2 |
|||||
II. Исследовать на непрерывность функцию
6) |
lim |
|
|
|
|
|
3x + 28 − 5 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ −1 |
|
|
|
|
x(x +1) |
|
|
||||||
7) |
lim |
cos (3x)−1 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x tgx |
|
|
|
|
|||
8) |
lim |
|
sin x −sin α |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x −α |
|
|
|
||||||
|
x→α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
|
|
|
x2 |
+1 |
3x2 |
; |
|
||||||
lim |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→∞ x |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3x +1 x +1 |
||||||||||
10) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
3x −1 |
|
|
||||||||||
f (x) = xx++14 в точках x01 =−4
и x02 =2. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 8
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
2 + x2 −3x3 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ 1 −3x + 6x3 |
|
|
|
|
||||||||||
2) |
lim |
x3 − 2x + 2 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ 7x4 −3x +1 |
|
|
|
|
||||||||||
3) |
lim |
4x2 −5x − 21 |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
x→3 2x2 −3x −9 |
|
|
|
|
||||||||||
4) |
lim |
x2 − x −12 |
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→4 x2 − 2x −8 |
|
|
|
|
||||||||||
5) |
lim x |
|
x |
2 |
+1 − x |
|
; |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II. Исследовать на непрерывность функцию
6) |
lim |
4 − |
3x +13 ; |
|||||||||||||
|
|
|
x→1 |
|
1 − |
3x − 2 |
|
|||||||||
7) |
lim |
1 − cos (8x) |
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
lim |
cos (3x)−1 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x tg(2x) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −1 x + 3 |
||||||||
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→∞ |
4x + 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 + |
1 |
3x2 − 1 |
||||||
10) |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 5x |
|
+ |
2 |
|
|
|
|||||||
f(x) = |
|
x |
|
|
в точках x01 =1 |
|||||||||||
2 |
+2x−3 |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и x02 =3. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
108
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 9
I. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
lim |
|
|
x5 − 4x2 + 5 |
; |
|
|
|
6) |
lim |
|
|
x2 +16 − 4 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ ∞ 3x4 − 2x2 + x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
(9x) |
|
|
||||||||||||||
2) |
lim |
2x2 −3x − 4 |
; |
|
|
|
|
|
7) |
lim |
1 − cos |
; |
|
|||||||||||||
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
lim |
|
2x2 + 5x + 2 |
|
; |
|
|
8) |
lim |
|
x sin(5x) |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(8x) |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→−2 2x3 + 7x2 + 6x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
|
x3 −8 |
; |
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
3x + 4 x + 3 |
; |
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→2 |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
3x + 5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
10x + 7 |
4x |
|
||||||||
5) |
lim |
|
|
2x |
|
|
+1 − x |
|
+1 |
|
; |
10) |
lim |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
10x − |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =3 2−x в точках x01 =0
и x0 2 = 2 . В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 10
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
|
1 + x + x3 |
|
; |
|
6) |
lim |
x −1 − |
2 ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
||||||||||||||
|
x→∞ 2x3 + 2x +1 |
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
lim |
6x5 −3x3 +1 |
; |
7) |
lim |
1 − cos (7x) |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ 3x3 − 2x +3 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
lim |
|
x2 − x − 2 |
; |
|
|
8) |
lim |
sin(x + 2) −sin(2 − x) |
; |
|||||||||||
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
8x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
lim |
|
|
; |
9) |
lim (1 −3x)2 x ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
3 − 4x2 − |
4x |
|
|
||||||||||||||||
|
x→1/ 2 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim ( |
|
|
|
x2 − 4 ); |
|
|
|
|
4x −1 x +1 |
|||||||||||
5) |
|
|
x2 + 4 − |
10) |
lim |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
4x − 2 |
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =9 x +1 |
в точках x01 =−1 |
||||||||||||||||||||
и x02 =2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
109