MI_T2TerekhovSV
.pdfТерехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) число верных знаков приближённого числа x =1,9048578, |
если |
|||||||||
|
|
% |
|
|
|
−2 |
; |
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = 0.1 10 |
|
|
|
|
||||||
б) округлённое значение чисел x = −0,6594229 и x = 8,7592434 , |
если |
|||||||||
|
|
% |
|
−4 |
; |
|
|
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x =10 |
|
|
|
|
|
|
||||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 42,875 , если |
||||||||||
известна относительная погрешность |
δx = 2% ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −0,7694 , |
||||||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции |
|
y = x4 в точке x =1 |
при |
|||||||
абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е) абсолютную погрешность функции |
|
z = y e−x в точке |
A(0;1) , |
|||||||
если известны абсолютные погрешности аргументов: |
|
|
||||||||
∆ x = 0.5 10 |
−3 |
и ∆ y = 0.132 . |
|
|
|
|||||
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти приближенное значение функции |
|
f (x) в точке x =1,32 |
с ис- |
|||||||
пользованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 8,5 − 0,9 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
10,1 |
9,5 |
8 |
6,8 |
6,1 |
4,6 |
3,9 |
2,4 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
460
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
– 1,5 |
1,3 |
2,8 |
3,1 |
4,2 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
4,2 |
2,1 |
0 |
2,3 |
4,5 |
14,9 |
24,4 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
33,2 |
29,6 |
14,1 |
11,3 |
10,1 |
8,5 |
6,4 |
y i |
3,1 |
4,4 |
6,1 |
7,9 |
9,7 |
11,3 |
20,2 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 6 x − 3 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫x dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
461
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 3
1. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
а) число верных знаков приближённого числа x =1,3469837 |
, если |
||||||
% |
|
|
|
−2 |
; |
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = 0.1 10 |
|
|
|
||||
б) округлённое значение чисел x = −0,3968387 |
и x = 7,9846370 |
, если |
|||||
% |
|
−4 |
; |
|
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x =10 |
|
|
|
|
|
||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 63,156 |
, если |
||||||
известна относительная погрешность |
δx = 2% ; |
|
|
|
|||
|
% |
|
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −9,1647 , |
|||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|
|||||
|
|
% |
|
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции y =4x2 −1 в точке x =1 при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ;
е) абсолютную погрешность функции z = x2 y в точке A(1;1) , ес-
ли известны абсолютные погрешности аргументов:
∆ x% = 0.5 10−3 и ∆ y% = 0.132 .
2. Найти приближенное значение функции f (x) в точке x =1,95 с использованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 6,2 + 3,1x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
3,1 |
6,5 |
9,2 |
11,9 |
16,4 |
19,9 |
23,3 |
25,8 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
462
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
– 2,5 |
0,2 |
3,1 |
8,7 |
15,4 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
8.1 |
4,1 |
0,5 |
3,6 |
9,2 |
17,4 |
31,1 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
61,2 |
59,4 |
50,8 |
48,5 |
39,6 |
25,9 |
19,1 |
y i |
63,5 |
51,7 |
46,2 |
32,4 |
25,2 |
18,8 |
10,3 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 5 x − 4 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(x +1) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
463
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 4
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 7,9347634, если
известна абсолютная погрешность |
% |
0.1 10 |
−2 |
; |
|
|
|
||||
∆ x = |
|
|
|
|
|||||||
б) округлённое значение чисел x = −0,2754906 |
и x = 3,1478576 , |
если |
|||||||||
известна абсолютная погрешность |
% |
10 |
−4 |
; |
|
|
|
|
|
||
∆ x = |
|
|
|
|
|
|
|||||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 83,274 , если |
|||||||||||
известна относительная погрешность δx = 2% ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −0,2564 , |
|||||||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции |
y = x2 −2x |
в точке |
x =1 |
||||||||
при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
е) абсолютную погрешность функции |
z = y ln x |
в точке |
A(1;1) , |
||||||||
если известны абсолютные погрешности аргументов: |
|
|
|||||||||
∆ x = 0.5 10 |
−3 |
и ∆ y |
= 0.132 . |
|
|
|
|
||||
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти приближенное значение функции f (x) |
в точке x =1,01 с ис- |
||||||||||
пользованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 2,9 + 4,1x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
–2,1 |
3,2 |
7,5 |
10,4 |
13,8 |
21,7 |
25,3 |
29,6 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
464
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
–2,5 |
–1,8 |
–0,3 |
0,9 |
2,1 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
4,4 |
2,6 |
0,3 |
1,8 |
1,6 |
1,2 |
0,5 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
42,3 |
40,1 |
38,5 |
35,7 |
32,2 |
30,1 |
27,7 |
y i |
21,1 |
24,8 |
25,9 |
27,2 |
29,5 |
31,6 |
33,4 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 8 x − 9 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(2x 2 −1) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
465
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 5
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 0,8638485 , если
% |
|
|
|
−2 |
; |
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = 0.1 10 |
|
|
||||
б) округлённое значение чисел x = −0,0427682 |
и x = 7,8542683, если |
|||||
% |
|
−4 |
; |
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x =10 |
|
|
|
|
||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 52,175 , если |
||||||
известна относительная погрешность |
δx = 2% ; |
|
|
|||
|
% |
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −6,4679 , |
||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|||||
|
|
% |
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции y =4x2 −5 в точке x =1 при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ;
е) абсолютную погрешность функции z =(5x −1)ln y в точке A(1;1) ,
если известны абсолютные погрешности аргументов:
∆ x% = 0.5 10−3 и ∆ y% = 0.132 .
2. Найти приближенное значение функции f (x) в точке x =1,63 с использованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 10 ,4 − 0,3 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
11,2 |
10,1 |
9,5 |
9,1 |
8,9 |
8,5 |
8,1 |
7,8 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
466
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
– 4,5 |
–3,8 |
–2,7 |
–1,2 |
–0,3 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
9,1 |
4,3 |
1,1 |
4,7 |
9,2 |
16,7 |
29,3 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
9,7 |
8,5 |
7,4 |
6,1 |
5,2 |
4,9 |
3,6 |
y i |
14,1 |
13,7 |
12,2 |
10,9 |
9,3 |
8,1 |
6,8 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + x − 2 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(3x 2 + 4) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
467
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
XVIII. Вычислительная математика
Вариант 6
1. Найти:
а) число верных знаков приближённого числа x = 9,7489692, если
|
|
|
% |
0.1 10 |
−2 |
; |
|
|
|
||
известна абсолютная погрешность ∆ x = |
|
|
|
|
|||||||
б) округлённое значение чисел x = −0,46789402 |
и x =1,8426406 , если |
||||||||||
|
|
|
% |
10 |
−4 |
; |
|
|
|
|
|
известна абсолютная погрешность ∆ x = |
|
|
|
|
|
|
|||||
в) абсолютную погрешность определения числа x = 51,248, если |
|||||||||||
известна относительная погрешность δx = 2% ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
г) относительную погрешность определения числа x = −8,3581, |
|||||||||||
если известна абсолютная погрешность ∆x =1.275 |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
д) абсолютную погрешность функции |
y =7x2 +2 в точке |
x =1 |
|||||||||
при абсолютной погрешности ∆ x = 0.005 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
е) абсолютную погрешность функции z = ex−y |
в точке A(1;1) , ес- |
||||||||||
ли известны абсолютные погрешности аргументов: |
|
||||||||||
∆ x = 0.5 10 |
−3 |
и |
∆ y |
= 0.132 . |
|
|
|
|
|||
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти приближенное значение функции f (x) |
в точке x =1,99 |
с ис- |
|||||||||
пользованием таблицы значений функции и формулы Лагранжа:
x k |
0.35 |
0.48 |
0.97 |
1.08 |
1.18 |
1.40 |
1.71 |
1.84 |
2.09 |
2.46 |
f (x k ) |
1.419 |
1.616 |
2.637 |
2.944 |
3.254 |
4.055 |
5.528 |
5.697 |
8.084 |
11.704 |
3. Вычислить для линейного приближения функции y = 3,9 + 5,6 x
а) максимальную; б) среднюю;
в) среднеквадратичную ошибки по заданной таблице точек:
x i |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i |
2,4 |
1,5 |
0,2 |
1,7 |
3,8 |
9,2 |
15,4 |
29,3 |
4. Найти аппроксимирующий полином для таблично заданной функ-
468
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
ции:
x i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
y i |
–1,2 |
–0,5 |
1,1 |
2,3 |
5,7 |
5. Провести
а) линейное; б) параболическое
интерполирование функции y = f (x) , заданной таблицей
x i |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y i |
5,9 |
2,4 |
1,2 |
0,1 |
1,4 |
3,2 |
8,1 |
6. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а) линейной y = A x + B ,
б) степенной y = A x B , в) показательной y = AeB x
интерполирующих функций для таблично заданной функции:
x i |
5,6 |
3,2 |
2,9 |
1,3 |
0,4 |
–1,5 |
–2,7 |
y i |
24,7 |
32,1 |
35,2 |
44,8 |
58,5 |
72,1 |
90,9 |
7. Составить компьютерную программу поиска корня уравнения и с её помощью найти решение уравнения x 3 + 9 x −10 = 0 :
а) по методу хорд; б) по методу касательных;
в) комбинированным методом.
8. Составить компьютерную программу вычисления определённо-
5
го интеграла и с её помощью вычислить ∫(2x − 7) dx :
0
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций; в) методом Симпсона;
г) непосредственным интегрированием (для всех методов количество итераций n =100 ).
469