§ 8. Предшественники Евклида

«Начала» Евклида являются самым выдающемся сочинением во всей древнегреческой математике. Евклид в “ Началах” использовал результаты многочисленных своих предшественников. Его предшественников можно разделить на прямых и косвенных.

1.К косвенным предшественникам Евклида относятся, в частности, Фалес Милетский и пифагорейцы. Дело в том, что их сочинения в письменном виде не сохранились до времени Евклида. (Впрочем, некоторые историки математики утверждают, что седьмая книга «Начал», посвященная делимости натуральных чисел, заимствована у пифагорейцев. Эту догадку за давностью времени нельзя ни доказать, ни опровергнуть.)

К косвенным предшественникам Евклида модно отнести и двух философов – Платона и Аристотеля.

Платон был одним из крупнейших философов IV в. до н.э. Он основал в Афинах Академию – учебное и одновременно научное учреждение, где читались лекции и велись научные исследования. Платон был в философии идеалистом и, хотя сам не занимался математикой, высоко ее ценил, так как она, по его мнению, развивает логическое мышление и дает примеры идей, не связанных с реальным миром. Над входом в Академию была высечена надпись: «Пусть не входит сюда не обученный геометрии». Из школы Платона вышло несколько известных математиков. Двое из них (Леон и Фейдий) написали, значительно раньше Евклида, сочинение под названием “Начала”; в нем они, в частности, сформулировали некоторые аксиомы геометрии. Несколько крупных математиков того времени, формально не входя в Академию, были тесно с нею связаны.

Аристотель – самый выдающийся философ IV в. до н. э. .У него нет чисто математических работ. Но он является основоположником формальной логики, так как сформулировал все6 основные логические законы, и Евклид, когда писал свои “Начала”, должен был эти законы учитывать. Аристотель систематизировал формы мышления: понятие, суждение, умозаключение. Он в своих работах часто рассматривал важные вопросы математики, в частности, считал, что математика должна строиться на дедуктивной основе, что доказательства выясняют сущность вещей и служат средством упорядочения предложений. Аристотель основал в Афинах учебное заведение – Ликей, где систематически читал лекции.

Теперь рассмотрим прямых предшественников Евклида. К ним относятся Евдокс и Теэтет. Были и другие, например, Архит.

2.Евдокс Книдский (IVв. до н. э.) являлся одним из крупнейших математиков IVв. до н. э.. Он был также выдающимся астрономом. географом, философом, врачом и оратором, возглавлял научную школу, имевшую обсерваторию, в которой впервые в Греции систематически велись астрономические наблюдения, впервые был составлен звездный каталог.

С именем Евдокса связаны два важнейших открытия греческой математики – построение теории пропорций для величин и создание метода исчерпывания.

2.1.После открытия пифагорейцами существования несоизмеримых отрезков перед греческими учеными встал вопрос: что же понимать под отношением двух отрезков, вообще, двух однородных величин? Такие отношения приходилось рассматривать при построении учения о подобии и при доказательстве предложений об отношении площадей фигур и объемов тел. Дело в том, что древние греки не знали теории действительных чисел, в частности, не владели понятием иррационального числа; были известны лишь натуральные числа и их отношения, причем последние числами не считались. Евдокс остроумно обошел эту трудность, пользуясь только натуральными числами.

Сначала он дает определение отношения в такой форме: говорят, что две величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. По существу, это определение архимедовых (однородных) величин.

Теперь дается определение пропорциональности для таких величин, которое мы приведем в осовремененном виде: говорят, что две величины 𝒶,b имеют то же отношение, что и величины c, d, если для любых натуральных чисел m и n либо и, либоилибоиПри этом Евдокс не пользуется никакой символикой. Во втором случае отношенияиравны рациональному числу.

Наконец, дается определение понятия “больше” для отношений: говорят, что отношение больше отношения, если существуют такие натуральные числаm и n , что и одновременноЭто определение соответствует современному пониманию того же понятия, так как условие можно привести к видуи, а отсюда следует, что

Далее Евдокс доказывает многочисленные теоремы об отношениях величин. В совокупности получается целая теория, близкая к современной строгой теории действительных (положительных) чисел Дедекинда.

2.2.При вычислении площадей криволинейных фигур и объемов криволинейных тел, а также объема пирамиды древним грекам понадобилась теория пределов. Но мы с вами уже знаем, что теории пределов в явном виде у них не было. Вместо нее Евдокс изобрел метод исчерпывания. Названия метода объясняется тем. что криволинейные фигуры или тело как бы “исчерпывались” более простыми прямолинейными фигурами или телами.

В основе метода лежал принцип исчерпывания: если даны две величины α и b, где то, вычитая из величиныα больше ее половины, из полученного остатка больше его половины и т.д., через конечное число шагов получим остаток Этот принцип доказывался автором в качестве теоремы.

Рассмотрим образец применения метода исчерпывания.

Пример. Круги относятся как квадраты на диаметрах:

где и– диаметры кругов площадии.

Для доказательства предположим, что эта пропорция не выполняется. Тогда существует площадь такая, что

Пусть . Впишем во вторую окружность квадрат площадии опишем вокруг нее квадрат площади(рис.12). Тогда2(это свойство вписанного и описанного квадратов было хорошо известно).

Так как 2, то.

Следовательно, отделив от второго круга вписанный квадрат, мы выбросим из него фигуру, составляющую больше половины круга (по площади), как это и требуется по принципу исчерпывания.

Впишем теперь во вторую окружность правильный восьмиугольник. Тогда каждый из треугольников ABC будет больше половины соответствующего кругового сегмента, поскольку этот треугольник после удвоения превратится в прямоугольник AKLC, больший, чем этот сегмент:

.

Значит, после выбрасывания из круга восьмиугольника мы отделяем от остатка, полученного на предыдущем шаге и состоящего из четырех равных круговых сегментов, больше его половины. И т.д.

На основании принципа исчерпывания мы придем к остатку площади такому, что

.

Теперь в первую окружность впишем правильный многоугольник площади с тем же числом сторон, что и у многоугольника площади. Тогда

, .

Но последнее равенство невозможно, так как его левая часть меньше 1, а правая, по предыдущему, больше 1.

Аналогично опровергается и допущение . Остается принять, что .

Обратим внимание, что доказательство получилось довольно громоздким, и это для сравнительно просто предложения; нужно еще учесть, что у Евдокса это проводилось лишь словесно, без использования какой-либо символики. Доказательство велось от противного; это характерная особенность метода исчерпывания. Еще одна особенность метода, являющаяся его принципиальным недостатком: с помощью метода исчерпывания можно только доказать заранее сформулированную теорему, т.е. математик сначала должен был каким-то образом догадаться, что такое-то предложение справедливо, и лишь потом мог приступить к его доказательству. В этом отношении метод исчерпывания существенно уступает современному методу пределов.

Результаты Евдокса составили содержание двух книг (5-й и 12-й) книг “Начал” Евклида.

3.Теэтет – выдающейся греческий математикIV в. до н. э. Он сумел общим образом охарактеризовать класс иррациональностей вида , гдеα− натуральное число, не являющееся точным квадратом.

Теэтет дал определение соизмеримых и несоизмеримых величин. Затем у него идет следующее определение: два отрезка называются соизмеримым в степени, если квадраты на них соизмеримы. Например, диагональ квадрата соизмерима в степени с его стороной, так как отношение площадей квадратов на этих отрезках равно2. Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков Теэтет использует, еще до Евклида, алгоритм Евклида, откладывая меньший отрезок на большем, полученный остаток – на меньшем отрезке, новый остаток – на первом остатке и т. д.

Он доказал следующие предложения.

а) Если при алгоритме Евклида процесс откладывания бесконечен, то исходные отрезки несоизмеримы.

б) Если площадь квадрата равна натуральному числу, не являющемуся точным квадратом, то его сторона несоизмерима со стороной единичного квадрата.

в) Соизмеримые величины относятся друг к другу, как число к числу (т.е. их отношение равно рациональному числу).

г) Обратное предложение.

д) Квадраты на двух соизмеримых отрезках относятся друг к другу, как одно квадратное число к другому квадратному числу.

е) Обратное утверждение.

Смысл этих предложений в том, что Теэтет сводит геометрический вопрос о соизмеримости или несоизмеримости двух отрезков к арифметическому вопросу отношении двух чисел.

Далее Теэтет дает классификацию иррациональностей, образовав классы отрезков

и др. Его классификация весьма громоздка.

Теэтету в “Началах” Евклида принадлежит 10-якнига, которая и посвящена квадратичным иррациональностям, а также основная часть 13-й книги. В 13-й книге “Начал”рассматриваются правильные многогранники, в частности в ней излагается выражение ребер этих многогранников через радиус описанной сферы с помощью иррациональностей из 10-й книги.